Esta tese é um estudo acerca da análise de convergência de vários métodos numéricos de primeira e de segunda ordem para resolver problemas de programação matemática e as condições de otimalidade associadas. Nossas principais ferramentas são as condições sequenciais de otimalidade. As condições sequenciais de otimalidade oferecem um quadro teórico para a análise de convergência para várias famílias de métodos de primeira ordem sob condições de qualificações fracas. Nesta tese, apresentamos, para cada condição sequencial de otimalidade, a condição de qualificação mínima associada e mostramos as relações com outras condições de qualificação conhecidas. Este fato tem implicações práticas, uma vez que enfraquece as hipóteses requeridas para a convergência de vários métodos numéricos cujos critérios de paradas estão associados às condições sequenciais de otimalidade. Ainda mais, esse tipo de resultado não pode ser melhorado usando outras condições de qualificações. Nós estendemos a noção de condições sequenciais de otimalidade de primeira ordem, para incorporar informações de segunda ordem. Apresentamos, segundo nosso conhecimento, a primeira condição sequencial de otimalidade de segunda ordem, adequada para a análise de convergência de vários métodos numéricos com convergência a pontos estacionários de segunda ordem, como por exemplo métodos baseados no Lagrangeano aumentado, regiões de confiança e SQP regularizado. Associada com a nova condição sequencial de segunda ordem, temos uma nova condição de qualificação, mais fraca que as outras condições de qualificações utilizadas para a análise de convergência para métodos numéricos de segunda ordem. Nós situamos essa nova condição de qualificação com respeito a outras condições de qualificação usadas em análise de convergência. Finalmente apresentamos outra razão pela qual a condição fraca necessária de segunda ordem é a condição de segunda ordem adequada quando lidarmos com a convergência de algoritmos práticos / This thesis deals with the convergence analysis for several rst-and-second-order numerical methods used to solve mathematical programming problems. Our main tools are the sequential optimality conditions. First-order sequential optimality conditions oer a framework to the study of the convergence analysis of several families of rst-order methods, under weak constraint qualications. In this thesis, we will introduce, for each sequential optimality condition the minimal constraint qualications associated with it and we will show their relationships with other constraint qualications. This fact has a practical aspect, since, we improve the convergence analysis of practical methods with stopping criteria associated with sequential optimality conditions. This results can not be improved by using another weak constraint qualications. We will extend the notion of rst-order sequential optimality conditions to incorporate secondorder information. We will introduce, to the best of our knowledge, the rst second-order sequential optimality condition, suitable to the study of the convergence analysis of several second-order methods including methods based on the augmented lagrangian, trust-region and regularized SQP. Associated with the second-order sequential optimality condition, we have a new constraint qualication weaker than all constraint qualications used for the convergence analysis of second-order methods. We show the relationships of this new constraint qualications with other constraint qualications used for algorithmic purposes. We will also present a new reason why the weak secondorder necessary condition is the natural second-order condition when we are dealing with practical numerical methods

Esta tese é um estudo acerca da análise de convergência de vários métodos numéricos de primeira e de segunda ordem para resolver problemas de programação matemática e as condições de otimalidade associadas. Nossas principais ferramentas são as condições sequenciais de otimalidade. As condições sequenciais de otimalidade oferecem um quadro teórico para a análise de convergência para várias famílias de métodos de primeira ordem sob condições de qualificações fracas. Nesta tese, apresentamos, para cada condição sequencial de otimalidade, a condição de qualificação mínima associada e mostramos as relações com outras condições de qualificação conhecidas. Este fato tem implicações práticas, uma vez que enfraquece as hipóteses requeridas para a convergência de vários métodos numéricos cujos critérios de paradas estão associados às condições sequenciais de otimalidade. Ainda mais, esse tipo de resultado não pode ser melhorado usando outras condições de qualificações. Nós estendemos a noção de condições sequenciais de otimalidade de primeira ordem, para incorporar informações de segunda ordem. Apresentamos, segundo nosso conhecimento, a primeira condição sequencial de otimalidade de segunda ordem, adequada para a análise de convergência de vários métodos numéricos com convergência a pontos estacionários de segunda ordem, como por exemplo métodos baseados no Lagrangeano aumentado, regiões de confiança e SQP regularizado. Associada com a nova condição sequencial de segunda ordem, temos uma nova condição de qualificação, mais fraca que as outras condições de qualificações utilizadas para a análise de convergência para métodos numéricos de segunda ordem. Nós situamos essa nova condição de qualificação com respeito a outras condições de qualificação usadas em análise de convergência. Finalmente apresentamos outra razão pela qual a condição fraca necessária de segunda ordem é a condição de segunda ordem adequada quando lidarmos com a convergência de algoritmos práticos / This thesis deals with the convergence analysis for several rst-and-second-order numerical methods used to solve mathematical programming problems. Our main tools are the sequential optimality conditions. First-order sequential optimality conditions oer a framework to the study of the convergence analysis of several families of rst-order methods, under weak constraint qualications. In this thesis, we will introduce, for each sequential optimality condition the minimal constraint qualications associated with it and we will show their relationships with other constraint qualications. This fact has a practical aspect, since, we improve the convergence analysis of practical methods with stopping criteria associated with sequential optimality conditions. This results can not be improved by using another weak constraint qualications. We will extend the notion of rst-order sequential optimality conditions to incorporate secondorder information. We will introduce, to the best of our knowledge, the rst second-order sequential optimality condition, suitable to the study of the convergence analysis of several second-order methods including methods based on the augmented lagrangian, trust-region and regularized SQP. Associated with the second-order sequential optimality condition, we have a new constraint qualication weaker than all constraint qualications used for the convergence analysis of second-order methods. We show the relationships of this new constraint qualications with other constraint qualications used for algorithmic purposes. We will also present a new reason why the weak secondorder necessary condition is the natural second-order condition when we are dealing with practical numerical methods

Neste trabalho, realizamos uma extensão da chamada condição Aproximadamente Karush-Kuhn-Tucker (AKKT), inicialmente introduzida em programação não linear [AHM11], para os problemas de otimização sob cones simétricos não linear. Uma condição nova, a qual chamamos Trace AKKT (TAKKT), também foi apresentada para o problema de programação semidefinida não linear. TAKKT se mostrou mais prática que AKKT para programação semidefinida não linear. Provamos que, tanto a condição AKKT como a condição TAKKT são condições de otimalidade. Resultados de convergência global para o método de Lagrangiano aumentado foram obtidos. Condições de qualificação estritas foram introduzidas para medir a força dos resultados de convergência global apresentados. Através destas condições de qualificação estritas, foi pos- sível verificar que nossos resultados de convergência global se mostraram melhores do que os conhecidos na literatura. Também apresentamos uma prova para um caso particular da conjectura feita em [AMS07]. Palavras-chave: condições sequenciais de otimalidade, programação semidefinida não linear, programação sob cones simétricos não linear, condições de qualificação estritas. / In this work, we perform an extension of the so-called Approximate Karush-Kuhn-Tucker (AKKT) condition, initially introduced in nonlinear programming [AHM11], for nonlinear symmetric cone pro- gramming. A new condition, which we call Trace AKKT (TAKKT), was also presented for the nonlinear semidefinite programming problem. TAKKT proved to be more practical than AKKT for nonlinear semi- definite programming. We prove that both the AKKT condition and the TAKKT condition are optimality conditions. Results of global convergence for the augmented Lagrangian method were obtained. Strict qua- lification conditions were introduced to measure the strength of the overall convergence results presented. Through these strict qualification conditions, it was possible to verify that our results of global convergence proved to be better than those known in the literature. We also present a proof for a particular case of the conjecture made in [AMS07].