A caracterização de redes e o estudo de sistemas, ambos utilizando grafos, é algo muito usado por várias áreas científicas. Uma das linhas deste estudo é denominada de grafos aleatórios, que por sua vez auxilia na criação de modelos para análise de redes reais. Consideramos um modelo de grafo aleatório não homogêneo criado por Kang, Pachón e Rodríguez (2016), cuja construção é feita a partir da realização do grafo binomial G(n; p). Para este modelo, estudamos argumentos e métodos usados para encontrar resultados sobre o limiar de conectividade, importante propriedade relacionada a existência assintótica de vértices e componentes isolados. Em seguida, constatamos algumas características positivas e negativas a respeito da utilização do grafo para modelar redes reais complexas, onde usamos de simulações computacionais e medidas topológicas. / The characterization of networks and the study of systems, both using graphs, is very used by several scientific areas. One of the lines of this study is called random graphs, which in turn assists in creating models for the analysis of real networks. We consider an inhomogeneous random graph model created by Kang, Pachón e Rodríguez (2016), where its construction is made from the realization of the binomial graph G(n; p). For this model, we studied the arguments and methods used to find results on the connectivity threshold, important property related to asymptotic existence of vertices and isolated components. Then we found some positive and negative characteristics about the use of the graph to model complex real networks, using computer simulations and topological measures.

A caracterização de redes e o estudo de sistemas, ambos utilizando grafos, é algo muito usado por várias áreas científicas. Uma das linhas deste estudo é denominada de grafos aleatórios, que por sua vez auxilia na criação de modelos para análise de redes reais. Consideramos um modelo de grafo aleatório não homogêneo criado por Kang, Pachón e Rodríguez (2016), cuja construção é feita a partir da realização do grafo binomial G(n; p). Para este modelo, estudamos argumentos e métodos usados para encontrar resultados sobre o limiar de conectividade, importante propriedade relacionada a existência assintótica de vértices e componentes isolados. Em seguida, constatamos algumas características positivas e negativas a respeito da utilização do grafo para modelar redes reais complexas, onde usamos de simulações computacionais e medidas topológicas. / The characterization of networks and the study of systems, both using graphs, is very used by several scientific areas. One of the lines of this study is called random graphs, which in turn assists in creating models for the analysis of real networks. We consider an inhomogeneous random graph model created by Kang, Pachón e Rodríguez (2016), where its construction is made from the realization of the binomial graph G(n; p). For this model, we studied the arguments and methods used to find results on the connectivity threshold, important property related to asymptotic existence of vertices and isolated components. Then we found some positive and negative characteristics about the use of the graph to model complex real networks, using computer simulations and topological measures.

Orientador: Gabriela Castellano / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Física Gleb Wataghin / Made available in DSpace on 2018-08-30T20:31:19Z (GMT). No. of bitstreams: 1 TapiaHerrera_LuisCarlos1982-_D.pdf: 17368597 bytes, checksum: b04bfdc96a80f7bba2cdca7390a9d09e (MD5) Previous issue date: 2016 / Resumo: Os neurônios são elementos que no cérebro trabalham em grupo e de forma organizada. A técnica de ressonância magnética funcional (fMRI) permite identificar redes corticais e subcorticais do cérebro quando ele desenvolve atividades cognitivas motoras ou perceptivas. No entanto, redes nomeadas de redes em estado de repouso, estão presentes em ausência de tarefas específicas. Alguns estudos modelaram redes funcionais do cérebro com a ajuda da teoria de grafos. Um dos objetivos deste trabalho foi analisar, utilizando teoria de grafos, dados funcionais do cérebro coletados com a técnica de fMRI, de 10 voluntários saudáveis, que participaram de dois protocolos: uma aquisição em estado de repouso e outra durante uma tarefa de produção de palavras. Outro objetivo do trabalho foi testar duas métricas matemáticas (correlação de Pearson e informação mútua), para determinar quais delas conseguem captar melhor diferenças entre as duas condições mencionadas. Também se objetivou comparar parâmetros termodinâmicos das redes de repouso obtidas por meio dos dados reais com os de redes simuladas computacionalmente via modelo de Ising. Finalmente, um último objetivo foi explorar os dados para ver que informação poderia ser obtida a partir dos mesmos, sem uso prévio de modelos sobre as tarefas realizadas. Utilizando a teoria de grafos, achamos diferenças entre as redes nas condições de repouso e de produção de palavras para os parâmetros grau médio e coeficiente de cluster. Adicionalmente foram comparadas as redes dos hemisférios direito e esquerdo nas redes geradas na condição de produção de palavras, e achamos que o grau médio das redes pode predizer a lateralização (dominância hemisférica para linguagem), também achada com análises padrões de fMRI. Relativo às métricas matemáticas, a correlação de Pearson e a informação mútua foram comparadas para determinar qual destas métricas captura melhor a similaridade ou sincronia entre duas séries temporais que contêm atividade hemodinâmica do cérebro. Concluímos que a correlação linear é uma medida capaz de caracterizar de forma satisfatória a sincronia entre duas séries desse tipo. Simulações computacionais do modelo de Ising foram desenvolvidas para posteriormente criar redes funcionais em três regimes diferentes: crítico, subcrítico e supercrítico. Esta abordagem do estado de repouso foi examinada em trabalhos prévios, e foi concluído que o cérebro como sistema dinâmico possui uma maior semelhança com o sistema simulado no regime crítico. Finalmente, uma metodologia independente de modelo foi implementada para detectar áreas ativas do cérebro em tarefas dirigidas. Esta metodologia foi testada nos dados na condição de produção de palavras, permitindo identificar as áreas envolvidas na execução da tarefa / Abstract: Neuronal elements in the brain are not isolated, they work together and work in an organized way. The functional magnetic resonance imaging (fMRI) technique allows identifying cortical networks when the brain develops a task. However, resting state brain networks are present in the absence of any task. Some studies have modeled the brain networks architecture with aid of graph theory. One of the main aims of this work was the analysis of resting state and language task fMRI data sets, of ten healthy subjects, using graph theory. In order to study the linear and nonlinear relationships between time series of cortical areas of the brain, two metrics were compared the Pearson correlation and the mutual information. Also, graphs parameters built from resting state data and graph parameters built using simulations of the Ising model were compared. Finally, we developed a methodology to study the time series of differents regions of the brain in order to obtain information of the task without using predefined models of the brain activity. We found differences in the mean degree and the cluster coefficient of the network between the two conditions. In addition, we compared the networks corresponding to the left and right hemispheres during the language task, and found that the mean degree of these networks can predict the language lateralization found with standard fMRI analysis in most cases. The mean degree of the network and the cluster coefficient shows differences for the two conditions. Relative to the comparison between the Pearson correlation and the mutual information, we conclude that the linear correlation is an efficient metric to characterize the synchrony between the haemodynamic time series of the brain. Computational simulations of the Ising model for three different phases were developed: in critical, subcritical and supercritical phases. This comparison was presented in a previous work, and it was concluded that the brain as a dynamical system has remarkable similarities with the computational model in the critical phase. Relatively to the model independent methodology developed, it was possible to identify brain areas engaged with the word production task / Doutorado / Física / Doutor em Ciências / 157356/2011-6 / CNPQ