Considere um processo estocástico X_m em tempo discreto definido sobre o alfabeto finito A. Seja x_0^k-1 uma palavra fixa sobre A^k. No estudo das propriedades estatísticas na teoria de recorrência de Poincaré, é clássico o estudo do tempo decorrente até que a sequência fixa x_0^k-1 seja encontrada em uma realização do processo. Tipicamente, esta é uma quantidade exponencialmente grande com relação ao comprimento da palavra. Contrariamente, o primeiro tempo de retorno possível para uma sequência dada está definido como sendo o mínimo entre os tempos de entrada de todas as sequências que começam com a própria palavra e é uma quantidade tipicamente pequena, da ordem do tamanho da palavra. Neste trabalho estudamos o comportamento da probabilidade deste primeiro retorno possível de uma palavra x_0^k-1 dado que o processo começa com ela mesma. Esta quantidade mede a intensidade de que, uma vez observado um conjunto alvo, possam ser observados agrupamentos ou clusters. Provamos que, sob certas condições, a taxa de decaimento exponencial desta probabilidade converge para a entropia para quase toda a sequência quando k diverge. Apresentamos também um estimador desta probabilidade para árvores de contexto e mostramos sua consistência. / Considering a stochastic process X_m in a discrete defined time over a finite alphabet A and x_0^k-1 a fixed word over A^k. In the study of the statistical properties of the Poincaré recurrence theory, it is usual the study of the time elapsed until a fixed sequence x_0^k-1 appears in a given realization of process. This quantity is known as the hitting time and it is usually exponentially large in relation to the size of word. On the opposite, the first possible return time of a given word is defined as the minimum among all the hitting times of realizations that begins with the given word x_0^k-1. This quantity is tipically small that is of the order of the length of the sequence. In this work, we study the probability of the first possible return time given that the process begins of the target word. This quantity measures the intensity of that, once observed the target set, it can be observed in clusters. We show that, under certain conditions, the exponential decay rate of this probability converges to the entropy for all almost every word x_0^k-1 as k diverges. We also present an estimator of this probability for context trees and shows its consistency.

Considere um processo estocástico X_m em tempo discreto definido sobre o alfabeto finito A. Seja x_0^k-1 uma palavra fixa sobre A^k. No estudo das propriedades estatísticas na teoria de recorrência de Poincaré, é clássico o estudo do tempo decorrente até que a sequência fixa x_0^k-1 seja encontrada em uma realização do processo. Tipicamente, esta é uma quantidade exponencialmente grande com relação ao comprimento da palavra. Contrariamente, o primeiro tempo de retorno possível para uma sequência dada está definido como sendo o mínimo entre os tempos de entrada de todas as sequências que começam com a própria palavra e é uma quantidade tipicamente pequena, da ordem do tamanho da palavra. Neste trabalho estudamos o comportamento da probabilidade deste primeiro retorno possível de uma palavra x_0^k-1 dado que o processo começa com ela mesma. Esta quantidade mede a intensidade de que, uma vez observado um conjunto alvo, possam ser observados agrupamentos ou clusters. Provamos que, sob certas condições, a taxa de decaimento exponencial desta probabilidade converge para a entropia para quase toda a sequência quando k diverge. Apresentamos também um estimador desta probabilidade para árvores de contexto e mostramos sua consistência. / Considering a stochastic process X_m in a discrete defined time over a finite alphabet A and x_0^k-1 a fixed word over A^k. In the study of the statistical properties of the Poincaré recurrence theory, it is usual the study of the time elapsed until a fixed sequence x_0^k-1 appears in a given realization of process. This quantity is known as the hitting time and it is usually exponentially large in relation to the size of word. On the opposite, the first possible return time of a given word is defined as the minimum among all the hitting times of realizations that begins with the given word x_0^k-1. This quantity is tipically small that is of the order of the length of the sequence. In this work, we study the probability of the first possible return time given that the process begins of the target word. This quantity measures the intensity of that, once observed the target set, it can be observed in clusters. We show that, under certain conditions, the exponential decay rate of this probability converges to the entropy for all almost every word x_0^k-1 as k diverges. We also present an estimator of this probability for context trees and shows its consistency.