Cette thèse est divisée en deux parties. Dans la première partie on s'intéresse aux problèmes de commande optimale déterministes et on étudie des approximations intérieures pour deux problèmes modèles avec des contraintes de non-négativité sur la commande. Le premier modèle est un problème de commande optimale dont la fonction de coût est quadratique et dont la dynamique est régie par une équation différentielle ordinaire. Pour une classe générale de fonctions de pénalité intérieure, on montre comment calculer le terme principal du développement ponctuel de l'état et de l'état adjoint. Notre argument principal se fonde sur le fait suivant: si la commande optimale pour le problème initial satisfait les conditions de complémentarité stricte pour le Hamiltonien sauf en un nombre fini d'instants, les estimations pour le problème de commande optimale pénalisé peuvent être obtenues à partir des estimations pour un problème stationnaire associé. Nos résultats fournissent plusieurs types de mesures de qualité de l'approximation pour la technique de pénalisation: estimations des erreurs de la commande , estimations des erreurs pour l'état et l'état adjoint et aussi estimations de erreurs pour la fonction valeur. Le second modèle est le problème de commande optimale d'une équation semi-linéaire elliptique avec conditions de Dirichlet homogène au bord, la commande étant distribuée sur le domaine et positive. L'approche est la même que pour le premier modèle, c'est-à-dire que l'on considère une famille de problèmes pénalisés, dont la solution définit une trajectoire centrale qui converge vers la solution du problème initial. De cette manière, on peut étendre les résultats, obtenus dans le cadre d'équations différentielles, au contrôle optimal d'équations elliptiques semi-linéaires. Dans la deuxième partie on s'intéresse aux problèmes de commande optimale stochastiques. Dans un premier temps, on considère un problème linéaire quadratique stochastique avec des contraintes de non-negativité sur la commande et on étend les estimations d'erreur pour l'approximation par pénalisation logarithmique. La preuve s'appuie sur le principe de Pontriaguine stochastique et un argument de dualité. Ensuite, on considère un problème de commande stochastique général avec des contraintes convexes sur la commande. L'approche dite variationnelle nous permet d'obtenir un développement au premier et au second ordre pour l'état et la fonction de coût, autour d'un minimum local. Avec ces développements on peut montrer des conditions générales d'optimalité de premier ordre et, sous une hypothèse géométrique sur l'ensemble des contraintes, des conditions nécessaires du second ordre sont aussi établies.

Dans de nombreux phénomènes de la vie réelle en raison des caractéristiques physiques inhérentes des systèmes, la non-négativité est une contrainte désirée et éventuellement imposée sur les paramètres à estimer. L'objectif de cette thèse est d'étudier les théories et algorithmes pour l'identification de système sous contraintes, en particulier la contrainte de non-négativité et celle de somme-à-un sur le vecteur de paramètres. La première partie de la thèse traite le problème de système d'identification en-ligne soumis la non-négativité. L'algorithme Non-negative Least-Mean-Square (NNLMS) et ses variantes sont proposés. Les comportements stochastiques de ces algorithmes dans des environnements non-stationnaires sont étudiés analytiquement. Enfin, l'extension de ces algorithmes nous permet de dériver un algorithme de type LMS avec la régularisation de norme L1 La deuxième partie de la thèse porte sur un problème d'identification système spécifique - démélange non-linéaire de spectres, avec la contrainte de non-négativité et celle de somme-à-un. Nous formulons un nouveau paradigme avec noyaux sous l'hypothèse que le mélange peut être décrite par un mélange linéaire de composantes spectrales, avec des fluctuations additives non-linéaires définies dans un espace de Hilbert à noyau reproduisant. Un algorithme basé sur l'apprentissage des noyaux, est proposé afin de déterminer les abondances de matériels purs sous les contraintes. Enfin, la corrélation spatiale entre pixels est utilisée comme information a priori pour améliorer la performance.