Dans cette thèse nous étudions, d'une part, la poursuite de trajectoires pour des systèmes mécaniques soumis à des contraintes unilatérales sans frottement. L'analyse de stabilité prend en compte le caractère hybride et discontinu de la dynamique de ces systèmes. Les différences qu'il y a entre la poursuite de trajectoires pour des systèmes contraints ou non, sont expliquées en termes de trajectoires de références et de signaux de contrôles. Ce travail présente les conditions de stabilité des contrôleurs proposés. Il est montré que la conception des phases de transitions est un point clef dans l'analyse de stabilité. La robustesse de ces lois est étudiée sur quelques simulations numériques. Finalement nous présentons quelques extensions possibles de ce contrôleur aux impacts multiples. La seconde partie de ce travail traite du double impact d'un bipède avec le sol. Nous déterminons quelles sont les conditions nécessaires pour avoir une marche en double support.

Les phénomènes de contact impliquant des corps déformables abondent dans l'industrie, notamment dans les structures mécaniques. En raison de leur complexité intrinsèque, les phénomènes de contact sont modélisés à l'aide de problèmes aux limites fortement non linéaires. De ce fait, la modélisation de ces phénomènes pose plusieurs difficultés mathématiques. Dans cette thèse, nous nous intéressons à la modélisation, l'analyse variationnelle et l'analyse numérique de problèmes de contact glissant intervenant en mécanique des solides, pour des matériaux élastiques, viscoélastiques et viscoplastiques. La première partie de cette thèse rappelle quelques résultats préliminaires, notamment des outils mathématiques et mécaniques nécessaires pour réaliser la suite de ce travail. La deuxième partie est consacrée à l'étude de quelques problèmes de contact glissant sous diverses conditions de contact et frottement. Pour chacun de ces problèmes, nous introduisons les formulations fortes et des formulations variationnelles. Ensuite, nous obtenons des résultats d'existence et d'unicité des solutions faibles, sous certaines hypothèses de petitesse, ainsi que des résultats de convergence. Enfin, nous proposons une approximation numérique de certains problèmes de contact à l'aide de schémas discrétisés. Pour ces schémas, nous obtenons des résultats d'estimation de l'erreur. / Contact phenomena involving deformable bodies abound in industry, especially in mechanical structures. Due to their intrinsic complexity, contact phenomena are modelled with strongly nonlinear boundary problems. For this reason, the modelling of these phenomena gives rise to various mathematical difficulties. In this thesis, we are interested in the modelling, the variational analysis and the numerical analysis of problems of sliding contact in solid mechanics for elastic, viscoelastic and viscoplastic materials. The first part of this thesis concerns some preliminary results, in particular the mathematical and mechanical tools necessary to carry out the continuation of this work. The second part is devoted to the study of some problems of sliding contact under various conditions of contact and friction. For each of these problems, we introduce strong formulations and variational formulations. Then, we obtain results of existence and uniqueness of the weak solutions, under smallness assumptions, as well as results of convergence. Finally, we propose a numerical approximation of some contact problems based on the etudy of discretized schemes. For these schemes we obtain error estimates results.

Dans la littérature, les résultats, dans le domaine de la rééducation neurologique des patients hémiplégiques, montraient que la performance motrice du membre atteint était améliorée lorsque les deux membres homolatéraux étaient mobilisés dans des mouvements symétriques. Il a alors été suggéré que le système nerveux avait plus de facilité à adapter une commande bilatérale symétrique, qu’une commande bilatérale asymétrique.L’objet des travaux dans cette thèse est de tester la généralité de ces résultats dans le cas du processus d’initiation de la marche (IM). Le handicap est simulé par une hypomobilité de la cheville, induite avec strapping et orthèse unilatéralement ou bilatéralement. Les résultats montrent que, dès la présence d’une contrainte, la biomécanique et les activités électromyographiques, des phases de préparation posturale et d’exécution du processus d’IM, sont modifiées. De plus, la performance motrice est également perturbée. Toutefois, il apparaît des différences « locales » selon où s'applique la contrainte. Un résultat est à souligner tout particulièrement : comme pour les patients hémi-handicapés, la performance motrice (i.e. vitesse du centre des masses à la fin du premier pas) est supérieure dans la condition « contrainte bilatérale i.e. hypomobilité des deux chevilles » versus « contrainte unilatérale i.e. hypomobilité du pied d’appui ». L’ensemble des résultats est discuté dans le cadre des processus d’adaptation de la commande motrice face aux contraintes biomécaniques unilatérales et bilatérales induites sur les appuis. En d'autres termes, tout se passe comme si un rééquilibrage des capacités fonctionnelles s’opère, permettant ainsi de générer une meilleure performance motrice. Enfin, les résultats permettent d’envisager des perspectives dans le domaine de la rééducation fonctionnelle. / In the literature, the rehabilitation of hemiplegic patients showed that motor performance of the affected limb is improved when both limbs are mobilised in a symmetrical movement. It has been suggested that it was easier for the nervous system to adapt to symmetrical bilateral command. The aim of this dissertation is to test the validity of these results in gait initiation (GI). Handicap was simulated by means of blocking the ankle unilaterally or bilaterally with a strap or orthosis.Results showed that in the presence of a constraint, electromyographic activity and the kinematics of both postural preparation and step execution phase of GI declined. Furthermore, the motor performance was also perturbed.However, « Local » differences appeared according to the localisation of the constraint, reflecting the adaptation of the motor command. Nonetheless, a result needs to be particularly underlying.Like in hemi-handicapped patients, the motor performance (i.e. centre of mass velocity at the end of the first step) was higher in « bilateral constraint, hypomobility on both ankles » versus « unilateral constraint, hypomobility on stance ankle ».In the dissertation, the results are discussed in terms of the adaptation of the motor command of unilateral and bilateral induced biomechanical constraint. More specifically, we discuss how rebalancing the functional capacity of both legs should allow to increase motor performance. These results put forward new perspectives in the domain of functional rehabilitation.

Le sujet de cette thèse porte sur quelques résultats de convergence pour les inéquations variationnelles avec applications dans l'étude des problèmes aux limites décrivant le contact entre un corps déformable et une fondation. La thèse est composée de deux parties. Dans la première partie, nous nous intéressons à l'analyse des inéquations quasivariationnelles, avec ou sans opérateurs de mémoire, dans un espace de Hilbert. Nous prouvons plusieurs résultats de convergence liés à la perturbation de l'ensemble des contraintes ainsi qu'à une méthode de pénalisation. Aussi, pour une classe d'inéquations quasivariationnelles avec opérateurs de mémoire nous étudions une formulation duale pour laquelle nous présentons des résultats d'existence, d'unicité et d'équivalence. La deuxième partie est consacrée à l'application de ces résultats abstraits dans l'étude de six problèmes de contact pour des matériaux élastiques, viscoélastiques et viscoplastiques, dans le cas statique ou quasistatique. Les lois de contact considérées sont la loi de Signorini, la loi de contact avec compliance normale et contrainte unilatérale et la loi de contact avec contrainte unilatérale et seuil critique. Enfin, nous étudions un nombre de problèmes de contrôle optimal associés aux certains modèles de contact. Pour ces problèmes nous obtenons des résultats d'existence et de convergence. / The topic of this thesis concerns some convergence results for variational inequalities with applications in the study of boundary value problems which describe the contact between a deformable body and a foundation. The thesis is divided into two parts. In the first part, we are interested in the analysis of quasivariational inequalities, with or without history-dependent operators, in Hilbert spaces. We prove some convergence results related to a perturbation of the set of constraints and a penalty method, as well. Moreover, for a class of history-dependent quasivariational inequalities we study a dual formulation for which we present existence, uniqueness and equivalence results. The second part is devoted to applications of these abstract results in the study of six contact problems with elastic, viscoelastic and viscoplastic materials, both in the static or quasistatic case. The contact conditions we consider are the Signorini condition, the normal compliance condition with unilateral constraint, the unilateral constraint condition with yield limit. Finally, we study a number of optimal control problems associated to some contact models. For these problems we provide existence and convergence results.