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Técnica Split Operator em Coordenadas Generalizadas. / Split Operator Technique in Generalized Coordinates

Braga, João Philipe Macedo January 2010 (has links)
BRAGA, João Philipe Macedo. Técnica split operator em coordenadas generalizadas. 2010. 84 f. Dissertação (Mestrado em Física) - Departamento de Física, Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2010. / Submitted by francisco lima (admir@ufc.br) on 2014-03-18T12:27:21Z No. of bitstreams: 1 2010_dis_jpmbraga.pdf: 953031 bytes, checksum: 788517c406c012d339bc8fe1d2fb7079 (MD5) / Approved for entry into archive by Edvander Pires(edvanderpires@gmail.com) on 2014-03-18T21:51:08Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2010_dis_jpmbraga.pdf: 953031 bytes, checksum: 788517c406c012d339bc8fe1d2fb7079 (MD5) / Made available in DSpace on 2014-03-18T21:51:08Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2010_dis_jpmbraga.pdf: 953031 bytes, checksum: 788517c406c012d339bc8fe1d2fb7079 (MD5) Previous issue date: 2010 / Quantum mechanics plays a fundamental role in the description and understanding of the natural phenomena. Actually, the phenomena that take place in atomic and subatomic scale can not be well explained without the quantum mechanics approach. Furthermore, there are a lot of phenomena in macroscopic scale that reveals the quantum behavior of nature. In this sense, we can say that quantum mechanics is fundamental for the understanding of all natural phenomena. In Quantum Mechanics the state of a particle is mathematically described by the wave function Ψ(r,t) and its time evolution is governed by time-dependent Schrödinger equation. Thus, we can state that the fundamental problem of quantum mechanics is to solve the Schrödinger Equation in an arbitrary situation. In this work, we study a numerical technique to solve the time-dependent and time-independent Schrödinger Equation known as Split Operator technique. This aproach uses approximations for the exponencial of sum of operators that do not commute in order to implement the time-evolution operator. It makes possible to reduce the solution of the Schrödinger equation to a successive processes of multiplication and solution of tridiagonal system of linear equations. It can be easily performed using a computer. The technique was studied in detail using cartesian coordinates, and we also explained how to use the technique with periodic or finite boundary conditions. We make use this technique to study the behavior of an electron subjected to a random potential. In this situation we face the Anderson Localization phenomena. Furthermore, we developed the Split Operator technique using generalized coordinates, and studied the problem of an electron confined to a cylinder surface. It was verified that the numerical results agree with the analytical ones. So we can conclude that the Split Operator technique using generalized coordinates produce reliable results. / A mecânica quântica desempenha um papel fundamental na descrição e entendimento dos fenômenos naturais. De fato, os fenômenos que ocorrem em uma escala muito pequena (atômica ou sub-atômica) não podem ser corretamente explicados fora do contexto da mecânica quântica. Além disso, existem muitos fenômenos em escala macroscópica que revelam o comportamento quântico da natureza. Nesse sentido, podemos dizer que a mecânica quântica é a base de todo nosso atual conhecimento sobre os fenômenos naturais. O estado de uma partícula em quântica é descrito matematicamente pela sua função de onda Ψ(r,t) e a evolução temporal de Ψ(r,t) é governada pela Equação de Schrödinger dependente do tempo. Dessa forma, podemos enunciar que o problema fundamental da mecânica quântica consiste em solucionar a Equação de Schrödinger numa situação arbitrária. Neste trabalho, estudamos uma técnica numérica de solução da Equação de Schrödinger dependente ou independente do tempo conhecida como Split Operator. Essa técnica utiliza formas aproximadas para a exponencial da soma de operadores que não comutam para implementar o operador evolução temporal, permitindo reduzir o processo de solução da Equação de Schrödinger a sucessivos processos de simples multiplicação e de solução de sistemas de equações lineares tridiagonais, que podem ser facilmente realizados por um computador. O formalismo da técnica em coordenadas cartesianas foi estudado em detalhes, onde mostramos como aplicá-lo para sistemas com condições de com torno periódicas ou com condições de contorno finitas. Utilizamos essa forma da técnica para estudar o comportamento de um elétron confinado numa região de energia potencial aleatória, onde nos deparamos com o fenômeno de Localização de Anderson. Além disso, desenvolvemos a técnica Split Operator em coordenadas generalizadas, aplicando-a para estudar o problema de um elétron confinado na superfície de um cilindro. Os resultados obtidos numericamente concordam muito bem com os resultados obtidos analiticamente, mostrando que a técnica Split Operator em coordenadas generalizadas nos leva a resultados confiáveis.
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TÃcnica Split Operator em Coordenadas Generalizadas. / Split Operator Technique in Generalized Coordinates

JoÃo Philipe Macedo Braga 06 August 2010 (has links)
Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / A mecÃnica quÃntica desempenha um papel fundamental na descriÃÃo e entendimento dos fenÃmenos naturais. De fato, os fenÃmenos que ocorrem em uma escala muito pequena (atÃmica ou sub-atÃmica) nÃo podem ser corretamente explicados fora do contexto da mecÃnica quÃntica. AlÃm disso, existem muitos fenÃmenos em escala macroscÃpica que revelam o comportamento quÃntico da natureza. Nesse sentido, podemos dizer que a mecÃnica quÃntica à a base de todo nosso atual conhecimento sobre os fenÃmenos naturais. O estado de uma partÃcula em quÃntica à descrito matematicamente pela sua funÃÃo de onda Ψ(r,t) e a evoluÃÃo temporal de Ψ(r,t) à governada pela EquaÃÃo de SchrÃdinger dependente do tempo. Dessa forma, podemos enunciar que o problema fundamental da mecÃnica quÃntica consiste em solucionar a EquaÃÃo de SchrÃdinger numa situaÃÃo arbitrÃria. Neste trabalho, estudamos uma tÃcnica numÃrica de soluÃÃo da EquaÃÃo de SchrÃdinger dependente ou independente do tempo conhecida como Split Operator. Essa tÃcnica utiliza formas aproximadas para a exponencial da soma de operadores que nÃo comutam para implementar o operador evoluÃÃo temporal, permitindo reduzir o processo de soluÃÃo da EquaÃÃo de SchrÃdinger a sucessivos processos de simples multiplicaÃÃo e de soluÃÃo de sistemas de equaÃÃes lineares tridiagonais, que podem ser facilmente realizados por um computador. O formalismo da tÃcnica em coordenadas cartesianas foi estudado em detalhes, onde mostramos como aplicÃ-lo para sistemas com condiÃÃes de com torno periÃdicas ou com condiÃÃes de contorno finitas. Utilizamos essa forma da tÃcnica para estudar o comportamento de um elÃtron confinado numa regiÃo de energia potencial aleatÃria, onde nos deparamos com o fenÃmeno de LocalizaÃÃo de Anderson. AlÃm disso, desenvolvemos a tÃcnica Split Operator em coordenadas generalizadas, aplicando-a para estudar o problema de um elÃtron confinado na superfÃcie de um cilindro. Os resultados obtidos numericamente concordam muito bem com os resultados obtidos analiticamente, mostrando que a tÃcnica Split Operator em coordenadas generalizadas nos leva a resultados confiÃveis. / Quantum mechanics plays a fundamental role in the description and understanding of the natural phenomena. Actually, the phenomena that take place in atomic and subatomic scale can not be well explained without the quantum mechanics approach. Furthermore, there are a lot of phenomena in macroscopic scale that reveals the quantum behavior of nature. In this sense, we can say that quantum mechanics is fundamental for the understanding of all natural phenomena. In Quantum Mechanics the state of a particle is mathematically described by the wave function Ψ(r,t) and its time evolution is governed by time-dependent SchrÃdinger equation. Thus, we can state that the fundamental problem of quantum mechanics is to solve the SchrÃdinger Equation in an arbitrary situation. In this work, we study a numerical technique to solve the time-dependent and time-independent SchrÃdinger Equation known as Split Operator technique. This aproach uses approximations for the exponencial of sum of operators that do not commute in order to implement the time-evolution operator. It makes possible to reduce the solution of the SchrÃdinger equation to a successive processes of multiplication and solution of tridiagonal system of linear equations. It can be easily performed using a computer. The technique was studied in detail using cartesian coordinates, and we also explained how to use the technique with periodic or finite boundary conditions. We make use this technique to study the behavior of an electron subjected to a random potential. In this situation we face the Anderson Localization phenomena. Furthermore, we developed the Split Operator technique using generalized coordinates, and studied the problem of an electron confined to a cylinder surface. It was verified that the numerical results agree with the analytical ones. So we can conclude that the Split Operator technique using generalized coordinates produce reliable results.
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Simulação de reservatórios de petróleo com geometria complexa via método dos volumes finitos e coordenadas generalizadas.

CORREIA, Balbina Raquel de Brito. 27 April 2018 (has links)
Submitted by Kilvya Braga (kilvyabraga@hotmail.com) on 2018-04-27T11:04:15Z No. of bitstreams: 1 BALBINA RAQUEL DE BRITO CORREIA - DISSERTAÇÃO (PPGEM) 2016.pdf: 6215965 bytes, checksum: 1bfd34b81d73a0bb406a5054fcdbdd3a (MD5) / Made available in DSpace on 2018-04-27T11:04:15Z (GMT). No. of bitstreams: 1 BALBINA RAQUEL DE BRITO CORREIA - DISSERTAÇÃO (PPGEM) 2016.pdf: 6215965 bytes, checksum: 1bfd34b81d73a0bb406a5054fcdbdd3a (MD5) Previous issue date: 2016-08-16 / CNPq / A simulação numérica é uma ferramenta utilizada para modelar e estudar reservatórios de petróleo de forma a auxiliar na aplicação de métodos de recuperação suplementar. A injeção de água é o método mais utilizado na recuperação de óleo, devido ao baixo custo de processo, a disponibilidade da água e aos mecanismos de manutenção da pressão e deslocamento de óleo. O presente estudo objetivou estudar o escoamento de óleo e água em um reservatório de óleo pesado, homogêneo, com características do Nordeste brasileiro e modelagem do tipo Black oil, de formato irregular, com o intuito de avaliar o comportamento do reservatório e previsão da recuperação de óleo com a aplicação de injeção isotérmica de água. Para tanto, foi utilizado um simulador numérico, em linguagem C++, com solução das equações governantes pelo método dos volumes finitos e uso de coordenadas generalizadas, a partir de 30 anos de injeção de água, para estudar parâmetros de reservatório e operacionais e avaliar sua influência na recuperação de óleo. Foram realizadas simulações para deliberar sobre a malha do reservatório, estudo do passo de tempo mínimo utilizado nas simulações e efeito de diferentes valores de pressão inicial do reservatório. Dessa forma, foi definida uma malha com 100x50 volumes elementares e o modelo five-spot invertido para avaliar a influência de diferentes valores de permeabilidade absoluta da rocha, grau API do óleo e diferentes vazões de injeção de água, na recuperação de óleo. Foram realizadas análises da localização de poços na malha, a partir da distância entre poços injetores e produtores. A partir dos casos estudados e por meio de gráficos de Volume Poroso Injetado (VPI) versus Volume Poroso de Óleo Recuperado (VPOR), gráficos de Corte de água no tempo e mapas de saturação de água e pressão na formação produtora, ao longo tempo, foi identificado que, no processo de injeção de água, o aumento da permeabilidade absoluta influenciou negativamente e o aumento da vazão de injeção influenciou positivamente a recuperação do óleo, enquanto que o grau API não mostrou influência significativa. Em síntese, com o estudo da alocação dos poços na malha, verificou-se que os poços produtores mais distantes dos poços injetores apresentaram melhores resultados de recuperação de óleo e menor produção de água, pois, o aumento da vazão e a proximidade dos poços, aliada a maiores permeabilidades absoluta da rocha reservatório permitem a ocorrência de fingers viscosos e Breakthrough precoce, fenômenos que reduzem a eficiência do processo de injeção de água. / Numerical simulation is a tool used for modeling and studying oil reservoirs in order to aid in applying additional recovery methods. Water injection is the most common method used in oil recovery due to the low cost process, the availability of water and pressure maintenance and oil displacement mechanisms. This study aimed to study the flow of oil and water in a homogeneous heavy oil reservoir, with Brazilian Northeast characteristics and black oil model, of irregularly form, with the purpose of evaluate the reservoir behavior and prediction of oil recovery due to application of the isothermal water injection. Thus, it was used a numerical simulator, in C++ code, with solution of the governing equations by the finite volume method and the use of generalized coordinates, from 30 years of water injection to study reservoir and opertaing parameters to assess into oil recovery influence. Simulations were accomplished to deliberate on the mesh of the reservoir, minimum time step of the study used in simulations and effects of different initial pressure values of the reservoir. A mesh with 100x50 elementary volumes was defined and inverted five-spot model to evaluate the influence of different absolute values of permeability rock, oil API gravity and different flow rates of water injection on the oil recovery. Wells location analyzes were conducted in the mesh, considering the distance between injection and producers wells. Based on the case studies and using graphs Volume Porous Injected (VPI) and Volume Porous Recovered oil (VPOR), water cut graphs, in time, and reservoir pressure and water saturation maps, over time, it was identified that the water injection process, the absolute permeability increasing have influenced negatively and injection flow rate increased have influenced positively on the oil recovery, while the API gravity has not shown significant influence. In conclusion, it was identified, with the study of allocation of wells in the mesh, that most distance form producing wells of injection wells showed better results on the oil recovery and and reduced water production, therefore, with increasing the flow rate and the proximity of the wells, it combined with larger absolute permeabilities of the reservoir rock, has allowed the occurrence of viscous fingers and early Breakthrough, phenomena which reduce the efficiency of the water injection process.
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Difusão 3d em sólidos com forma arbitrária Usando coordenadas generalizadas.

FARIAS, Vera Solange de Oliveira. 07 February 2018 (has links)
Submitted by Dilene Paulo (dilene.fatima@ufcg.edu.br) on 2018-02-07T13:41:46Z No. of bitstreams: 1 VERA SOLANGE DE OLIVEIRA FARIAS – TESE PPGEP 2011.pdf: 7179434 bytes, checksum: 4a30c9a95f4a089e00fa550fbf1b42b8 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-02-07T13:41:46Z (GMT). No. of bitstreams: 1 VERA SOLANGE DE OLIVEIRA FARIAS – TESE PPGEP 2011.pdf: 7179434 bytes, checksum: 4a30c9a95f4a089e00fa550fbf1b42b8 (MD5) Previous issue date: 2011-04-29 / CNPq / Este trabalho apresenta a solução numérica da equação de difusão tridimensional em regime transiente, para um domínio arbitrário. Para atingir os objetivos, a equação de difusão foi discretizada usando coordenadas generalizadas via método dos volumes finitos com uma formulação totalmente implícita, para condições de contorno de equilíbrio e convectiva. Para cada passo no tempo, o sistema de equações obtido para uma dada malha estruturada foi resolvido pelo método de Gauss-Seidel. O código computacional foi desenvolvido em FORTRAN, usando o estúdio CVF 6.6.0, na plataforma Windows Vista. A solução proposta foi validada usando soluções analíticas e numéricas da equação de difusão para várias geometrias, permitindo validar malhas ortogonais e não-ortogonais. A análise e comparação dos resultados mostraram que a solução proposta forneceu resultados coerentes para todos os casos investigados. O código computacional desenvolvido foi aplicado na simulação, a partir de dados experimentais da secagem de telhas cerâmicas para as seguintes condições experimentais: temperaturas de 55,6 °C, 69,7 °C, 82,7 °C e 98,6 °C e teor de umidade inicial variando de 0,2345 até 0,2405 (b.s.). A simulação tornou possível determinar o coeficiente de difusão efetivo em função da razão de umidade e da temperatura do ar de secagem e também o valor do coeficiente de transferência convectivo de massa correspondente para cada temperatura. / This work presents a three-dimensional numerical solution for the diffusion equation in transient state, in an arbitrary domain. The diffusion equation was discretized using the finite volume method with a fully implicit formulation and generalized coordinates, for the equilibrium and convective boundary condition. For each time step, the system of equations obtained for a given structured mesh was solved by the Gauss-Seidel method. A computational code in FORTRAN, using the CFV 6.6.0 Studio, in a Windows Vista platform was developed. The proposed solution was validated by analytical and numerical solutions of the diffusion equation for several geometries. The geometries tested enabled to validate both orthogonal and non-orthogonal meshes. The analysis and comparison of the results showed that the proposed solution provides correct results for all cases investigated. The developed computational code was applied in the simulation, using experimental data of the drying of ceramic roof tiles, for the following experimental conditions: temperature from 55.6; 69.7; 82.7; 72.8 and 98.7 °C, initial moisture content from 0.2345 up to 0.2405 (d.b.). The simulation makes it possible to determine an expression for the diffusion coefficient as a function of the moisture content and temperature of the drying air, and also the value of the convective mass transfer coefficient corresponding to each temperature.

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