La première partie de ce mémoire porte sur l’identification aveugle des codes correcteurs d’erreurs non-binaires, travaillant dans le corps de Galois GF(2m). Une étude sur les propriétés des corps de Galois et des codes non-binaires a été conduite afin d’obtenir les éléments indispensables à la mise en oeuvre des méthodes d’identification aveugle. A partir de la seule connaissance des symboles reçus, nous avons développé des méthodes permettant d’identifier les paramètres des codes non-binaires lors d’une transmission non-bruitée et nous avons mis en évidence la pertinence de cette approche lorsque les paramètres de GF(2m) utilisés à l’émission sont connus à la réception. Nous avons aussi mené une étude théorique approfondie pour justifier l’utilisation du critère du rang par la plupart des méthodes d’identification existantes. Dans le cas d’une transmission bruitée, nous avons développé trois algorithmes dédiés à l’identification en aveugle de la taille des mots de code pour des codes binaires et non-binaires. Pour identifier une base du code dual, nous avons généralisé une technique existante pour les codes binaires, basée sur l’utilisation d’un démodulateur à décision ferme, au cas des codes non-binaires. Puis, nous avons amélioré les performances de détection de cette technique en introduisant un processus itératif basé sur l’utilisation conjointe d’un démodulateur à décision souple et d’un algorithme de décodage à décision souple. Dans la deuxième partie de ce mémoire, nous avons tout d’abord proposé un formalisme mathématique pour étudier l’impact des fonctions de mapping-demapping sur la manipulation des données d’un corps de Galois dans le cas des codes non-binaires. Ensuite, nous avons exploité ce formalisme pour détecter et corriger quelques défauts de transmission. Enfin, nous avons étudié l’impact de certaines fonctions de mapping-demapping sur l’identification aveugle des paramètres des codes non-binaires. / In the first part of this thesis, we have focused on the blind identification of non-binary error correcting codes over the Galois field GF(2m). A study of the properties of Galois fields and non-binarycodes has been presented so as to get the essential elements for a blind identification of non-binary codes parameters. From the knowledge of only the received symbols, methods have been developed to identify the code parameters in the case of a noiseless transmission. The relevance of this approach has been highlighted when the parameters of the used Galois field are known bythe receiver. A theoretical study of rank criterion behaviors has been also presented to justify its use by the most existing identification methods. Then, three blind identification methods of the codeword size for binary and non-binary linear codes have been developped in the framework of a noisy transmission. In order to identify a dual code basis, an existing method for binary codes based on the use of a hard decision demodulation has been generalized to non-binary codes. The detection performance of this technique has been improved when an iterative process based on the joint use of a soft-decision demodulator and a soft-decision iterative decoding is introduced. In the second part of this thesis manuscript, a mathematical formalism is proposed in order to investigate the impact of mapping-demapping functions on linear algebra computations and properties over Galois field in the case of non-binary error correcting codes. Finally, this formalism has been exploited to detect or/and correct some digital transmission problems such as a bad synchronization. Finally, we have studied the impact of some mapping-demapping functions on the blind identification ofnon-binary error correcting codes parameters.

Les systèmes de téléphonie mobile de 4ème et 5ème générations ont adopté comme techniques de codage de canal les turbocodes, les codes LDPC et les codes polaires binaires. Cependant, ces codes ne permettent pas de répondre aux exigences, en termes d’efficacité spectrale et de fiabilité, pour les réseaux de communications futurs (2030 et au-delà), qui devront supporter de nouvelles applications telles que les communications holographiques, les véhicules autonomes, l’internet tactile … Un premier pas a été fait il y a quelques années vers la définition de codes correcteurs d’erreurs plus puissants avec l’étude de codes LDPC non binaires, qui ont montré une meilleure performance que leurs équivalents binaires pour de petites tailles de code et/ou lorsqu'ils sont utilisés sur des canaux non binaires. En contrepartie, les codes LDPC non binaires présentent une complexité de décodage plus importante que leur équivalent binaire. Des études similaires ont commencé à émerger du côté des turbocodes. Tout comme pour leurs homologues LDPC, les turbocodes non binaires présentent d’excellentes performances pour de petites tailles de blocs. Du point de vue du décodage, les turbocodes non binaires sont confrontés au même problème d’augmentation de la complexité de traitement que les codes LDPC non binaire. Dans cette thèse nous avons proposé une nouvelle structure de turbocodes non binaires en optimisant les différents blocs qui la constituent. Nous avons réduit la complexité de ces codes grâce à la définition d’un algorithme de décodage simplifié. Les codes obtenus ont montré des performances intéressantes en comparaison avec les codes correcteur d’erreur de la littérature. / Nowadays communication standards have adopted different binary forward error correction codes. Turbo codes were adopted for the long term evolution standard, while binary LDPC codes were standardized for the fifth generation of mobile communication (5G) along side with the polar codes. Meanwhile, the focus of the communication community is shifted towards the requirement of beyond 5G standards. Networks for the year 2030 and beyond are expected to support novel forward-looking scenarios, such as holographic communications, autonomous vehicles, massive machine-type communications, tactile Internet… To respond to the expected requirements of new communication systems, non-binary LDPC codes were defined, and they are shown to achieve better error correcting performance than the binary LDPC codes. This performance gain was followed by a high decoding complexity, depending on the field order.Similar studies emerged in the context of turbo codes, where the non-binary turbo codes were defined, and have shown promising error correcting performance, while imposing high complexity. The aim of this thesis is to propose a new low-complex structure of non-binary turbocodes. The constituent blocks of this structure were optimized in this work, and a new low complexity decoding algorithm was proposed targeting a future hardware implementation. The obtained results are promising, where the proposed codes are shown to outperform existing binary and non-binary codes from the literature.

La multiplication dans le corps de Galois à 2^m éléments (i.e. GF(2^m)) est une opérations très importante pour les applications de la théorie des correcteurs et de la cryptographie. Dans ce mémoire, nous nous intéressons aux réalisations parallèles de multiplicateurs dans GF(2^m) lorsque ce dernier est généré par des trinômes irréductibles. Notre point de départ est le multiplicateur de Montgomery qui calcule A(x)B(x)x^(-u) efficacement, étant donné A(x), B(x) in GF(2^m) pour u choisi judicieusement. Nous étudions ensuite l'algorithme diviser pour régner PCHS qui permet de partitionner les multiplicandes d'un produit dans GF(2^m) lorsque m est impair. Nous l'appliquons pour la partitionnement de A(x) et de B(x) dans la multiplication de Montgomery A(x)B(x)x^(-u) pour GF(2^m) même si m est pair. Basé sur cette nouvelle approche, nous construisons un multiplicateur dans GF(2^m) généré par des trinôme irréductibles. Une nouvelle astuce de réutilisation des résultats intermédiaires nous permet d'éliminer plusieurs portes XOR redondantes. Les complexités de temps (i.e. le délais) et d'espace (i.e. le nombre de portes logiques) du nouveau multiplicateur sont ensuite analysées: 1. Le nouveau multiplicateur demande environ 25% moins de portes logiques que les multiplicateurs de Montgomery et de Mastrovito lorsque GF(2^m) est généré par des trinômes irréductible et m est suffisamment grand. Le nombre de portes du nouveau multiplicateur est presque identique à celui du multiplicateur de Karatsuba proposé par Elia. 2. Le délai de calcul du nouveau multiplicateur excède celui des meilleurs multiplicateurs d'au plus deux évaluations de portes XOR. 3. Nous determinons le délai et le nombre de portes logiques du nouveau multiplicateur sur les deux corps de Galois recommandés par le National Institute of Standards and Technology (NIST). Nous montrons que notre multiplicateurs contient 15% moins de portes logiques que les multiplicateurs de Montgomery et de Mastrovito au coût d'un délai d'au plus une porte XOR supplémentaire. De plus, notre multiplicateur a un délai d'une porte XOR moindre que celui du multiplicateur d'Elia au coût d'une augmentation de moins de 1% du nombre total de portes logiques. / The multiplication in a Galois field with 2^m elements (i.e. GF(2^m)) is an important arithmetic operation in coding theory and cryptography. In this thesis, we focus on the bit- parallel multipliers over the Galois fields generated by trinomials. We start by introducing the GF(2^m) Montgomery multiplication, which calculates A(x)B(x)x^{-u} in GF(2^m) with two polynomials A(x), B(x) in GF(2^m) and a properly chosen u. Then, we investigate the rule for multiplicand partition used by a divide-and-conquer algorithm PCHS originally proposed for the multiplication over GF(2^m) with odd m. By adopting similar rules for splitting A(x) and B(x) in A(x)B(x)x^{-u}, we develop new Montgomery multiplication formulae for GF(2^m) with m either odd or even. Based on this new approach, we develop the corresponding bit-parallel Montgomery multipliers for the Galois fields generated by trinomials. A new bit-reusing trick is applied to eliminate redundant XOR gates from the new multiplier. The time complexity (i.e. the delay) and the space complexity (i.e. the logic gate number) of the new multiplier are explicitly analysed: 1. This new multiplier is about 25% more efficient in the number of logic gates than the previous trinomial-based Montgomery multipliers or trinomial-based Mastrovito multipliers on GF(2^m) with m big enough. It has a number of logic gates very close to that of the Karatsuba multiplier proposed by Elia. 2. While having a significantly smaller number of logic gates, this new multiplier is at most two T_X larger in the total delay than the fastest bit-parallel multiplier on GF(2^m), where T_X is the XOR gate delay. 3. We determine the space and time complexities of our multiplier on the two fields recommended by the National Institute of Standards and Technology (NIST). Having at most one more T_X in the total delay, our multiplier has a more-than-15% reduced logic gate number compared with the other Montgomery or Mastrovito multipliers. Moreover, our multiplier is one T_X smaller in delay than the Elia's multiplier at the cost of a less-than-1% increase in the logic gate number.