Cette thèse de doctorat traite d’un cadre en géométrie complexe et de méthodes pouvant y être développées pour résoudre des ensembles d’équations différentielles compatibles venant de systèmes intégrables, classiques ou quantiques, dans le contexte de la géométrie d’espaces de modules de connexions au-dessus de courbes complexes, ou surfaces de Riemann. Elle vient de l’idée en physique mathématique que les symétries des systèmes intégrables imposent aux objets d’intérêt (fonctions de partitions ou de corrélations) des contraintes algébro-différentielles nommées équations de boucles. Le but est par la suite de résoudre ces contraintes par récurrence dans des régimes dits topologiques en utilisant une procédure nommée récurrence topologique. Leurs solutions sont en général les fonctions génératrices de quantités issues de problèmes de géométrie énumérative. Étant principalement déterminées par les conditions initiales de la récurrence, on produit au passage une classification algébro-géométrique de la famille de systèmes intégrables considérée. / This PhD thesis is about a framework in complex geometry and methods thereof for solving sets of compatible differential equations arising from integrable systems, classical or quantum, in the context of the geometry of moduli spaces of connections over complex curves, or Riemann surfaces. It is based on the idea in mathematical Physics that integrable systems posess symmetries that impose algebro-differential constraints, so-called loop equations, on the objects of interest (e.g. partition or correlation functions). In turn, we intend to solve these constraints recursively in certain topological regimes using a particular procedure called the topological recursion. Their solutions are in general generating functions of enumerative-geometric quantities. Since they are for the most part determined by the initial data of the recursive process, it realizes in the making an algebro-geometric classification of the family of integrable models under consideration.