This thesis deals with the analysis and numerical simulation of different partial differential equation models arising in socioeconomic sciences. It is divided into two parts: The first part deals with a mean-field price formation model introduced by Lasry andLions in 2007. This model describes the dynamic behaviour of the price of a good being traded between a group of buyers and a group of vendors. Existence (locally in time) of smooth solutions is established, and obstructions to proving a global existence result are examined. Also, properties of a regularised version of the model are explored and numerical examples are shown. Furthermore, the possibility of reconstructing the initial datum given a number of observations, regarding the price and the transaction rate, is considered. Using a variational approach, the problem can be expressed as a non-linear constrained minimization problem. We show that the initial datum is uniquely determined by the price (identifiability). Furthermore, a numerical scheme is implemented and a variety of examples are presented. The second part of this thesis treats two different models describing the motion of (large) human crowds. For the first model, introduced by R.L. Hughes in 2002, several regularised versions are considered. Existence and uniqueness of entropy solutions are proven using the technique of vanishing viscosity. In one space dimension, the dynamic behaviour of solutions of the original model is explored for some special cases. These results are compared to numerical simulations. Moreover, we consider a discrete cellular automaton model introduced by A. Kirchner and A. Schadschneider in 2002.By (formally) passing to the continuum limit, we obtain a system of partial differential equations. Some analytical properties, such as linear stability of stationary states, areexamined and extensive numerical simulations show capabilities and limitations of the model in both the discrete and continuous setting.

In this dissertation, we present two research projects, namely finite-state mean-field games and the Hughes model for the motion of crowds. In the first part, we describe finite-state mean-field games and some applications to socio-economic sciences. Examples include paradigm shifts in the scientific community and the consumer choice behavior in a free market. The corresponding finite-state mean-field game models are hyperbolic systems of partial differential equations, for which we propose and validate a new numerical method. Next, we consider the dual formulation to two-state mean-field games, and we discuss numerical methods for these problems. We then depict different computational experiments, exhibiting a variety of behaviors, including shock formation, lack of invertibility, and monotonicity loss. We conclude the first part of this dissertation with an investigation of the shock structure for two-state problems. In the second part, we consider a model for the movement of crowds proposed by R. Hughes in [56] and describe a numerical approach to solve it. This model comprises a Fokker-Planck equation coupled with an Eikonal equation with Dirichlet or Neumann data. We first establish a priori estimates for the solutions. Next, we consider radial solutions, and we identify a shock formation mechanism. Subsequently, we illustrate the existence of congestion, the breakdown of the model, and the trend to the equilibrium. We also propose a new numerical method for the solution of Fokker-Planck equations and then to systems of PDEs composed by a Fokker-Planck equation and a potential type equation. Finally, we illustrate the use of the numerical method both to the Hughes model and mean-field games. We also depict cases such as the evacuation of a room and the movement of persons around Kaaba (Saudi Arabia).

Nous étudions dans ce travail les mouvements de foule intervenant dans les situa- tions d’urgence. Nous proposons un modèle macroscopique (la foule est représentée par une densité de personnes) obéissant à deux principes très simples. Tout d’abord, chaque personne possède une vitesse souhaitée (typiquement celle qui la mène vers la sortie), qu’elle adopterait en l’absence des autres. Ensuite, la foule doit respecter une contrainte de congestion, et la densité de personnes doit rester inférieure à une valeur fixée. Cette contrainte impose une vitesse de déplacement différente de la vitesse souhaitée. Nous choisissons de prendre comme vitesse réelle celle qui est la plus proche, au sens des moindres carrés, de la vitesse souhaitée, parmi les champs de vitesses admissibles, au sens où ils respectent la contrainte de densité maximale. Le modèle obtenu s’écrit sous la forme d’une équation de transport impliquant une vitesse peu régulière a priori, et qui ne peut être étudiée par des méthodes classiques. Nous démontrons un résultat d’existence grâce à la théorie du transport optimal, tout d’abord dans le cas d’une vitesse donnée comme le gradient d’une fonction, puis dans le cas général. Nous mettons également en œuvre un schéma numérique de type catching-up : à chaque pas de temps, la densité est déplacée selon le champ de vitesse souhaitée, puis est projetée sur l’ensemble des densités admissibles. Les résultats obtenus fournissent des temps d’évacuation dont l’ordre de grandeur est proche de la réalité. / In this work, we aim at modelling crowd motion in emergency situations. We propose a macroscopic model (where people are represented as a density) following two basic principles. First, each individual has a spontaneous velocity (typically, the one which leads to the nearest exit) which would be fulfilled in the absence of other people. On the other hand, the crowd has to respect a congestion constraint, and its density must remain underneath a critical density. This constraint prevents people from following their desired velocity. The actual velocity we consider is the closest, in a mean square sense, to the desired one, among the velocities which respect the maximal density constraint.The mathematical formulation writes as a transport equation which cannot be studied with classical methods, since the real velocity field has no a priori regularity, even if the desired velocity is smooth. Thanks to the optimal transport theory, we prove an existence result, first in the case where the desired velocity is the gradient of a given function, and then in the general framework. We also propose a numerical scheme which follows the catching-up principle: at each time step, we move the density according to the spontaneous velocity, and then project it onto the space of admissible densities. The numerical results we obtain reproduce qualitatively the experimental observations

Movité par des questions posées par F. Santambrogio, cette thèse est dédiée à l'étude de jeux à champ moyen et des modèles impliquant le transport optimal avec contraintes de densité. A fin d'étudier des modèles de MFG d'ordre deux dans l'esprit des travaux de F. Santambrogio, on introduit en tant que brique élementaire un modèle diffusif de mouvement de foule avec contraintes de densité (en généralisant dans une sense les travaux de Maury et al.). Le modèle est décrit par l'évolutions de la densité de la foule, qui peut être vu comme une courbe dans l'espace de Wasserstein. Du point de vu EDP, ça correspond à une équation de Fokker-Planck modifiée, avec un terme supplémentaire, le gradient d'une pression (seulement dans la zone saturée) dans le drift. En passant par l'équation duale et en utilisant des estimations paraboliques bien connues, on démontre l'unicité du pair densité et pression. Motivé initialement par l'algorithm de splitting (utilisé dans le résultat d'existence ci-dessus), on étudie des propriétés fines de la projection de Wasserstein en dessous d'un seuil donné. Intégrant cette question dans une classe plus grande de problèmes impliquant le transport optimal, on démontre des estimations BV pour les optimiseurs. D'autres applications possibles (en transport partiel, optimisation de forme et problèmes paraboliques dégénérés) de ces estimations BV sont également discutées.En changeant le point de vu, on étudie également des modèles de MFG variationnels avec contraintes de densité. Dans ce sens, les systèmes de MFG sont obtenus comme conditions d'optimalité de premier ordre pour deux problèmes convexes en dualité. Dans ces systèmes un terme additionnel apparaît, interpreté comme un prix à payer quand les agents passent dans des zones saturées. Premièrement, en profitant des résultats de régularité elliptique, on montre l'existence et la caractérisation de solutions des MFG de deuxième ordre stationnaires avec contraintes de densité. Comme résultat additionnel, on caractérise le sous-différentiel d'une fonctionnelle introduite par Benamou-Brenier pour donner une formulation dynamique du problème de transport optimal. Deuxièmement, (basé sur une technique de pénalisation) on montre qu'une classe de systèmes de MFG de premier ordre avec contraintes de densité est bien posée. Une connexion inattendu avec les équations d'Euler incompressible à la Brenier est égalment donnée. / Motivated by some questions raised by F. Santambrogio, this thesis is devoted to the study of Mean Field Games and models involving optimal transport with density constraints. To study second order MFG models in the spirit of the work of F. Santambrogio, as a possible first step we introduce and show the well-posedness of a diffusive crowd motion model with density constraints (generalizing in some sense the works by B. Maury et al.). The model is described by the evolution of the people's density, that can be seen as a curve in the Wasserstein space. From the PDE point of view, this corresponds to a modified Fokker-Planck equation, with an additional gradient of a pressure (only living in the saturated zone) in the drift. We provide a uniqueness result for the pair density and pressure by passing through the dual equation and using some well-known parabolic estimates. Initially motivated by the splitting algorithm (used for the above existence result), we study some fine properties of the Wasserstein projection below a given threshold. Embedding this question into a larger class of variational problems involving optimal transport, we show BV estimates for the optimizers. Other possible applications (for partial optimal transport, shape optimization and degenerate parabolic problems) of these BV estimates are also discussed.Changing the point of view, we also study variational Mean Field Game models with density constraints. In this sense, the MFG systems are obtained as first order optimality conditions of two convex problems in duality. In these systems an additional term appears, interpreted as a price to be paid when agents pass through saturated zones. Firstly, profiting from the regularity results of elliptic PDEs, we give the existence and characterization of the solutions of stationary second order MFGs with density constraints. As a byproduct we characterize the subdifferential of a convex functional introduced initially by Benamou-Brenier to give a dynamic formulation of the optimal transport problem. Secondly, (based on a penalization technique) we prove the well-posedness of a class of first order evolutive MFG systems with density constraints. An unexpected connection with the incompressible Euler's equations à la Brenier is also given

Dans cette thèse, nous nous intéressons à la modélisation de mouvements de foules. Nous proposons un modèle microscopique basé sur la théorie des jeux. Chaque individu a une certaine vitesse souhaitée, celle qu'il adopterait en l'absence des autres. Une personne est influencée par certains de ses voisins, pratiquement ceux qu'elle voit devant elle. Une vitesse réelle est considérée comme possible si elle réalise un équilibre de Nash instantané: chaque individu fait son mieux par rapport à un objectif personnel (vitesse souhaitée), en tenant compte du comportement des voisins qui l'influencent. Nous abordons des questions relatives à la modélisation ainsi que les aspects théoriques du problème dans diverses situations, en particulier dans le cas où chaque individu est influencé par tous les autres, et le cas où les relations d'influence entre les individus présentent une structure hiérarchique. Un schéma numérique est développé pour résoudre le problème dans le second cas (modèle hiérarchique) et des simulations numériques sont proposées pour illustrer le comportement du modèle. Les résultats numériques sont confrontés avec des expériences réelles de mouvements de foules pour montrer la capacité du modèle à reproduire certains effets.Nous proposons une version macroscopique du modèle hiérarchique en utilisant les mêmes principes de modélisation au niveau macroscopique, et nous présentons une étude préliminaire des difficultés posées par cette approche.La dernière problématique qu'on aborde dans cette thèse est liée aux cadres flot gradient dans les espaces de Wasserstein aux niveaux continu et discret. Il est connu que l'équation de Fokker-Planck peut s'interpréter comme un flot gradient pour la distance de Wasserstein continue. Nous établissons un lien entre une discrétisation spatiale du type Volume Finis pour l'équation de Fokker-Planck sur une tesselation de Voronoï et les flots gradient sur le réseau sous-jacent, pour une distance de type Wasserstein récemment introduite sur l'espace de mesures portées par les sommets d'un réseaux. / We are interested in the modeling of crowd motion. We propose a microscopic model based on game theoretic principles. Each individual is supposed to have a desired velocity, it is the one he would like to have in the absence of others. We consider that each individual is influenced by some of his neighbors, practically the ones that he sees. A possible actual velocity is an instantaneous Nash equilibrium: each individual does its best with respect to a personal objective (desired velocity), considering the behavior of the neighbors that influence him. We address theoretical and modeling issues in various situations, in particular when each individual is influenced by all the others, and in the case where the influence relations between individuals are hierarchical. We develop a numerical strategy to solve the problem in the second case (hierarchical model) and propose numerical simulations to illustrate the behavior of the model. We confront our numerical results with real experiments and prove the ability of the hierarchical model to reproduce some phenomena.We also propose to write a macroscopic counterpart of the hierarchical model by translating the same modeling principles to the macroscopic level and make the first steps towards writing such model.The last problem tackled in this thesis is related to gradient flow frameworks in the continuous and discrete Wasserstein spaces. It is known that the Fokker-Planck equation can be interpreted as a gradient flow for the continuous Wasserstein distance. We establish a link between some space discretization strategies of the Finite Volume type for the Fokker- Planck equation in general meshes (Voronoï tesselations) and gradient flows on the underlying networks of cells, in the framework of discrete Wasserstein-like distance on graphs recently introduced.

近年來，在電腦動畫的應用中，虛擬人群模擬的需求越來越多；但人群運動的模擬對於動畫設計師而言，仍是一件十分繁瑣耗時的工作。過去有許多研究曾以虛擬力場模擬簡單的生物群聚行為，但所模擬出的動畫品質與虛擬力場的參數及虛擬環境息息相關，因此經常需要以人工的方式耗時地調整出適當的虛擬力場參數。因此，我們提議以此問題定義成一個基因演算法的問題，針對不同的移動行為，定義適切的適應函數，再由系統根據不同環境自動演化出適當的虛擬力權重組合，以供產生不同人群移動行為之動畫時參考。在本篇論文中，我們已完成基因演算法的設計及人群動畫模擬系統，並設計了不同的典型環境進行電腦模擬實驗，以驗證此方法的可行性。 / The demands for virtual crowd simulation have been increasing in recent years but creating realistic crowd motions remains a complex and time-consuming task for a computer animator. In the literature、much work has been proposed to use virtual forces to simulate the motion of a group of virtual creatures such as birds and fishes. However、the quality of the simulations largely depends on the weights of the component virtual forces as well as the scene where the agents are situated. Usually it requires the animator to tune these parameters for a specific scene in order to obtain the desired result. In this thesis、we propose to use genetic algorithm to generate an optimal set of weighting parameters for composing virtual forces according to the given environment and desired movement behavior. We have implemented the proposed genetic algorithm as well as the crowd simulation system. Extensive experiments have also been conducted to study the effects of typical scenes and behaviors on the parameter sets and verify the feasibility of the approach.