Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2016. / Submitted by Albânia Cézar de Melo (albania@bce.unb.br) on 2016-05-19T15:35:05Z No. of bitstreams: 1 2016_RegianeLopesOliveira.pdf: 1053672 bytes, checksum: 32c45fb7b8dc64c0bc2d01ae4dd2a47d (MD5) / Approved for entry into archive by Marília Freitas(marilia@bce.unb.br) on 2016-05-28T11:24:59Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2016_RegianeLopesOliveira.pdf: 1053672 bytes, checksum: 32c45fb7b8dc64c0bc2d01ae4dd2a47d (MD5) / Made available in DSpace on 2016-05-28T11:24:59Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2016_RegianeLopesOliveira.pdf: 1053672 bytes, checksum: 32c45fb7b8dc64c0bc2d01ae4dd2a47d (MD5) / Neste trabalho estudamos uma família de relações de equivalência de nidas nos vértices de um dígrafo, as chamadas relações de alcance. Primeiramente, apresentamos diversas propriedades gerais das relações em questão e, então estudamos tais relações em conexão com propriedades de grupos de automor smos de dígrafos transitivos. Em particular, o principal resultado apresentado mostra que se um dígrafo transitivo D admite um subgrupo nilpotente H do grupo de automor smo Aut(D) de D, agindo com uma quantidade nita de órbitas sobre D, então a classe de nilpotência de H e o número de órbitas estão intimamente relacionadas com determinadas propriedades das relações de alcance. Além disso, estudamos como as propriedades das relações de alcance estão relacionadas com outras propriedades do dígrafo, tais como 'ter a propriedade Z' e condições de crescimento. _____________________________________________________________________________ ABSTRACT / In this work we study a family of equivalence relations de ned in the vertices of a digraph, the called reachability relations. First, we present several general properties of the relations in question and then we study such relations in connection with properties of automorphism groups of transitive digraphs. In particular, the main result shows that if a transitive digraph D admits a nilpotent subgroup H of the automorphism group Aut(D) of D acting with nitely many orbits on D, then the nilpotent class of H and the number of orbits are closely related to determined properties of the reachability relations. Futhermore, we study how properties of the reachability relation are related with others properties of digraphs, such as 'having propety Z' and growth conditions.

O crescimento constante dos dados musicais na Internet tem encorajado diversos pesquisadores a desenvolver ferramentas adequadas para a análise e a classificação destes dados. O objetivo principal de tais ferramentas é extrair a informação de forma compacta e representativa ao conteúdo dos bancos de dados. Dentro deste contexto, os gêneros musicais apresentam descrições importantes para o desenvolvimento destas ferramentas. Além dos mesmos serem usados frequentemente para organizar coleções musicais e refletirem a interação ente culturas, resumem características (padrões) comuns entre as peças musicais. Em face ao exposto, a principal motivação deste projeto de pesquisa é propor uma maneira original, e de baixo esforço computacional, para representar os gêneros musicais e investigar a contribuição desta representação em aplicações e estudos que estão inseridos no contexto de pesquisas que envolvem a recuperação da informação musical. A representação proposta refere-se aos padrões rítmicos das músicas, uma vez que o ritmo configura um aspecto musical significante na discriminação dos gêneros. Os padrões rítmicos são estabelecidos pela dependência temporal das notas musicais presentes na percussão, de forma que cada música é representada por um vetor de probabilidades condicionais entre pares e trios de notas computadas pelo uso de cadeias de Markov de primeira e segunda ordem. Os padrões rítmicos de diversos gêneros são explorados em aplicações como: classificação, síntese musical, recomendação musical, humor/emoção em música, e análise de aspectos evolutivos. Constatou-se que estes, como estabelecidos neste estudo, são sensíveis à discriminação dos gêneros, evidenciando sequências de notas que são comuns aos mesmos, e sequências que são distintas e características de cada um. Uma segunda motivação deste projeto é o uso de medidas topológicas de redes e dígrafos de músicas para a análise dos dados. Comunidades obtidas nestas redes proporcionaram a definição de uma abordagem não supervisionada, a qual apresentou taxas de desempenho superiores ao agrupamento hierárquico. A determinação das características rítmicas de cada música motivou o desenvolvimento de estratégias para a composição automática e para a geração de listas de reprodução, assim como para a averiguação da relação destes padrões com aspectos emotivos. Por fim, uma análise estatística da evolução do ritmo de diferentes gêneros é desempenhada, na qual verificou-se a presença de mecanismos de inovação e recuperação. Estes mecanismos parecem ser consequência da competição entre fatores que favorecem a inovação de material musical, e fatores que a previnem, como, por exemplo, a obediência às regras de composição que mantém as características fundamentais de cada gênero. / Musical databases have increased in number and size continuously, paving the way to large amounts of online music data, including discographies, biographies and lyrics. The constant growth of data on the Internet has attracted musical research for developing tools to analyze and classify music data. The main objective of such tools is to extract reliable information to adequately represent and compact music content in databases. In this context, musical genres are particularly interesting descriptors, since they have being used for years to organize music collections, reflect interaction between cultures and summarize common features (or patterns) between musical pieces. The main motivation of this study is to propose a original and low cost framework to represent musical genres, as well as investigate the contribution of this representation in applications and studies that are placed in the context of music information retrieval researches. The representation of music content is referred to the rhythmic patterns, since rhythm configures a significant aspect in the discrimination of musical genres. The rhythmic patterns are determined by the temporal dependency of the musical notes present in the percussion, so that each song is represented by a vector of conditional probabilities between pairs and triples of notes, computed by the use of first and second order Markov chains. The rhythm patterns from distinct genres are investigated in applications such as: classification, music synthesis, music recommendation, mood/emotion in music, and analysis of evolutionary aspects. The main finding is that the rhythmic patterns as established in this study are sensitive to the genre discrimination, suggesting that there are sequences of notes common to all genres, and sequences that are distinct and characteristics of each one. A second motivation for this study is the use of topological measures of music networks and music digraphs for the data analysis. Communities obtained from these networks contributed to the definition of an unsupervised approach that provided performance rates superior to the hierarchical clustering. The rhythmic patterns also motivated the development of strategies for automatic composition, for the generation of playlists, and the analysis of the relationship between these patterns and emotional aspects. Finally, a statistical analysis of the rhythm evolution is performed, in which the principal finding is the presence of innovation and retrieval mechanisms for all genres. These mechanisms seems to be the result of the competition between factors that promote the innovation, and factors that prevent it, as, for example, the obedience to composition rules that retains the fundamental characteristics of each genre.

O crescimento constante dos dados musicais na Internet tem encorajado diversos pesquisadores a desenvolver ferramentas adequadas para a análise e a classificação destes dados. O objetivo principal de tais ferramentas é extrair a informação de forma compacta e representativa ao conteúdo dos bancos de dados. Dentro deste contexto, os gêneros musicais apresentam descrições importantes para o desenvolvimento destas ferramentas. Além dos mesmos serem usados frequentemente para organizar coleções musicais e refletirem a interação ente culturas, resumem características (padrões) comuns entre as peças musicais. Em face ao exposto, a principal motivação deste projeto de pesquisa é propor uma maneira original, e de baixo esforço computacional, para representar os gêneros musicais e investigar a contribuição desta representação em aplicações e estudos que estão inseridos no contexto de pesquisas que envolvem a recuperação da informação musical. A representação proposta refere-se aos padrões rítmicos das músicas, uma vez que o ritmo configura um aspecto musical significante na discriminação dos gêneros. Os padrões rítmicos são estabelecidos pela dependência temporal das notas musicais presentes na percussão, de forma que cada música é representada por um vetor de probabilidades condicionais entre pares e trios de notas computadas pelo uso de cadeias de Markov de primeira e segunda ordem. Os padrões rítmicos de diversos gêneros são explorados em aplicações como: classificação, síntese musical, recomendação musical, humor/emoção em música, e análise de aspectos evolutivos. Constatou-se que estes, como estabelecidos neste estudo, são sensíveis à discriminação dos gêneros, evidenciando sequências de notas que são comuns aos mesmos, e sequências que são distintas e características de cada um. Uma segunda motivação deste projeto é o uso de medidas topológicas de redes e dígrafos de músicas para a análise dos dados. Comunidades obtidas nestas redes proporcionaram a definição de uma abordagem não supervisionada, a qual apresentou taxas de desempenho superiores ao agrupamento hierárquico. A determinação das características rítmicas de cada música motivou o desenvolvimento de estratégias para a composição automática e para a geração de listas de reprodução, assim como para a averiguação da relação destes padrões com aspectos emotivos. Por fim, uma análise estatística da evolução do ritmo de diferentes gêneros é desempenhada, na qual verificou-se a presença de mecanismos de inovação e recuperação. Estes mecanismos parecem ser consequência da competição entre fatores que favorecem a inovação de material musical, e fatores que a previnem, como, por exemplo, a obediência às regras de composição que mantém as características fundamentais de cada gênero. / Musical databases have increased in number and size continuously, paving the way to large amounts of online music data, including discographies, biographies and lyrics. The constant growth of data on the Internet has attracted musical research for developing tools to analyze and classify music data. The main objective of such tools is to extract reliable information to adequately represent and compact music content in databases. In this context, musical genres are particularly interesting descriptors, since they have being used for years to organize music collections, reflect interaction between cultures and summarize common features (or patterns) between musical pieces. The main motivation of this study is to propose a original and low cost framework to represent musical genres, as well as investigate the contribution of this representation in applications and studies that are placed in the context of music information retrieval researches. The representation of music content is referred to the rhythmic patterns, since rhythm configures a significant aspect in the discrimination of musical genres. The rhythmic patterns are determined by the temporal dependency of the musical notes present in the percussion, so that each song is represented by a vector of conditional probabilities between pairs and triples of notes, computed by the use of first and second order Markov chains. The rhythm patterns from distinct genres are investigated in applications such as: classification, music synthesis, music recommendation, mood/emotion in music, and analysis of evolutionary aspects. The main finding is that the rhythmic patterns as established in this study are sensitive to the genre discrimination, suggesting that there are sequences of notes common to all genres, and sequences that are distinct and characteristics of each one. A second motivation for this study is the use of topological measures of music networks and music digraphs for the data analysis. Communities obtained from these networks contributed to the definition of an unsupervised approach that provided performance rates superior to the hierarchical clustering. The rhythmic patterns also motivated the development of strategies for automatic composition, for the generation of playlists, and the analysis of the relationship between these patterns and emotional aspects. Finally, a statistical analysis of the rhythm evolution is performed, in which the principal finding is the presence of innovation and retrieval mechanisms for all genres. These mechanisms seems to be the result of the competition between factors that promote the innovation, and factors that prevent it, as, for example, the obedience to composition rules that retains the fundamental characteristics of each genre.

Orientador: Prof. Dr. Daniel Miranda Machado / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Matemática , Santo André, 2018. / Neste trabalho estudamos a teoria (co)homológica de digrafos e algumas de suas aplicações. Mais precisamente, apresentamos a teoria e seus teoremas mais importantes, da perspectiva da Topologia Algébrica; como, por exemplo, o Teorema de Künneth e o Lema de Poincaré. Generalizamos a teoria para digrafos localmente finitos e, neste contexto, provamos o Teorema da separação de Hodge. Apresentamos ainda uma interpretação das homologias maiores por meio de um processo estocástico que generaliza o passeio aleatório sobre as faces de um complexo simplicial. Por fim apresentamos nossa conjecutra de que as dimensões das homologias de um grafo de Cayley aleatório respeitam o Teorema Central do Limite, e a provamos para a primeira homologia,H0; em que o grupo subjacente é cíclico. / This work studies the (co)homological theory of digraphs and some of its applications. More precisely, we present the theory and its most important theorems, from the Algebraic Topology perspective; as, for example, the Künneth Theorem and Poincaré¿s Lemma. We generalize the theory to locally ?nite digraphs and, in this context, we prove the Hodge¿s separation Theorem. We also present an interpretation to the homologies via a stochastic process that generalizes the random walk over faces of a simplicial complex. At last we present our conjecture that the homologies¿ dimensions for a random Cayley¿s Graph satisfy the Central Limit Theorem, and prove it to the ?rst homology,H0; where the underlying group is cyclic.