Este trabalho propõe um esquema de diferenças finitas compacta de alta ordem para resolver problemas elípticos com coeficientes variáveis em malhas composta. São apresentados a formulação matemática e a dedução do método compacto de quarta ordem aplicado à problemas elípticos bidimensionais, em malha regular e composta. Foi adotado o uso da biblioteca PETSc com os seus pré-condicionadores e métodos numéricos para resolver os sistemas lineares resultantes da discretização do problema. Por fim, testes visando verificar o código foram feitos, utilizando o método de soluções manufaturadas, para mostrar alta eficiência e acurácia do método desenvolvido. / This paper proposes a scheme of compact finite difference higher order for solve elliptic problems with variable coeficients in composite meshes. we present the mathematical formulation and the deduction of the compact method of fourth order applied to two-dimensional elliptic problems in regular and composite mesh . It was adopted using the PETSc library with its pre- conditioners and numerical methods for solving linear systems resulting from discretization of the problem. Finally , tests to verify the code were made using the method of manufactured solutions to show high eficiency and accuracy of the method developed .

O presente trabalho de pesquisa tem por objetivo estudar a paralelização de algoritmos voltados à solução de equações diferenciais parciais. Esses algoritmos são utilizados para gerar a solução numérica das equações de Navier-Stokes em um escoamento bidimensional incompressível de um fluido newtoniano. As derivadas espaciais são calculadas através de um método de diferenças finitas compactas com a utilização de aproximações de altas ordens de precisão. Uma vez que o cálculo de derivadas espaciais com alta ordem de precisão da forma compacta adotado no presente estudo requer a solução de sistemas lineares tridiagonais, é importante realizar estudos voltados a resolução desses sistemas, para se obter uma boa performance. Ressalta-se ainda que a solução de sistemas lineares também faz-se presente na solução numérica da equação de Poisson. Os resultados obtidos decorrentes da solução das equações diferenciais parciais são comparados com os resultados onde se conhece a solução analítica, de forma a verificar a precisão dos métodos implementados. Os resultados do código voltado à resolução das equações de Navier-Stokes paralelizado para simulação de escoamentos incompressíveis são comparados com resultados da teoria de estabilidade linear, para validação do código final. Verifica-se a performance e o speedup do código em questão, comparando-se o tempo total gasto em função do número de elementos de processamento utilizados / The objective of the present work is to study the parallelization of partial differential equations. The aim is to achieve an effective parallelization to generate numerical solution of Navier-Stokes equations in a two-dimensional incompressible and isothermal flow of a Newtonian fluid. The spatial derivatives are calculated using compact finite differences approximations of higher order accuracy. Since the calculation of spatial derivatives with high order adopted in the present work requires the solution of tridiagonal systems, it is important to conduct studies to solve these systems and achieve good performance. In addiction, linear systems solution is also present in the numerical solution of a Poisson equation. The results generated by the solution of partial differential equations are compared to analytical solution, in order to verify the accuracy of the implemented methods. The numerical parallel solution of a Navier-Stokes equations is compared with linear stability theory to validate the final code. The performance and the speedup of the code in question is also checked, comparing the execution time in function of the number of processing elements

Este trabalho propõe um esquema de diferenças finitas compacta de alta ordem para resolver problemas elípticos com coeficientes variáveis em malhas composta. São apresentados a formulação matemática e a dedução do método compacto de quarta ordem aplicado à problemas elípticos bidimensionais, em malha regular e composta. Foi adotado o uso da biblioteca PETSc com os seus pré-condicionadores e métodos numéricos para resolver os sistemas lineares resultantes da discretização do problema. Por fim, testes visando verificar o código foram feitos, utilizando o método de soluções manufaturadas, para mostrar alta eficiência e acurácia do método desenvolvido. / This paper proposes a scheme of compact finite difference higher order for solve elliptic problems with variable coeficients in composite meshes. we present the mathematical formulation and the deduction of the compact method of fourth order applied to two-dimensional elliptic problems in regular and composite mesh . It was adopted using the PETSc library with its pre- conditioners and numerical methods for solving linear systems resulting from discretization of the problem. Finally , tests to verify the code were made using the method of manufactured solutions to show high eficiency and accuracy of the method developed .

O presente trabalho de pesquisa tem por objetivo estudar a paralelização de algoritmos voltados à solução de equações diferenciais parciais. Esses algoritmos são utilizados para gerar a solução numérica das equações de Navier-Stokes em um escoamento bidimensional incompressível de um fluido newtoniano. As derivadas espaciais são calculadas através de um método de diferenças finitas compactas com a utilização de aproximações de altas ordens de precisão. Uma vez que o cálculo de derivadas espaciais com alta ordem de precisão da forma compacta adotado no presente estudo requer a solução de sistemas lineares tridiagonais, é importante realizar estudos voltados a resolução desses sistemas, para se obter uma boa performance. Ressalta-se ainda que a solução de sistemas lineares também faz-se presente na solução numérica da equação de Poisson. Os resultados obtidos decorrentes da solução das equações diferenciais parciais são comparados com os resultados onde se conhece a solução analítica, de forma a verificar a precisão dos métodos implementados. Os resultados do código voltado à resolução das equações de Navier-Stokes paralelizado para simulação de escoamentos incompressíveis são comparados com resultados da teoria de estabilidade linear, para validação do código final. Verifica-se a performance e o speedup do código em questão, comparando-se o tempo total gasto em função do número de elementos de processamento utilizados / The objective of the present work is to study the parallelization of partial differential equations. The aim is to achieve an effective parallelization to generate numerical solution of Navier-Stokes equations in a two-dimensional incompressible and isothermal flow of a Newtonian fluid. The spatial derivatives are calculated using compact finite differences approximations of higher order accuracy. Since the calculation of spatial derivatives with high order adopted in the present work requires the solution of tridiagonal systems, it is important to conduct studies to solve these systems and achieve good performance. In addiction, linear systems solution is also present in the numerical solution of a Poisson equation. The results generated by the solution of partial differential equations are compared to analytical solution, in order to verify the accuracy of the implemented methods. The numerical parallel solution of a Navier-Stokes equations is compared with linear stability theory to validate the final code. The performance and the speedup of the code in question is also checked, comparing the execution time in function of the number of processing elements

Uma grande limitação dos métodos de diferenças finitas é que eles estão restritos a malhas e domínios retangulares. Para descrever escoamentos em domínios complexos, como, por exemplo, problemas com superfícies livres, faz-se necessário o uso de técnicas acessórias. O método de interfaces imersas é uma dessas técnicas. Nesse trabalho, primeiramente foi desenvolvido um método de projeção, totalmente livre de pressão, para as equações de Navier-Stokes com variáveis primitivas em malha deslocada. Esse método é baseado em diferenças finitas compactas, possuindo segunda ordem temporal e quarta ordem espacial. Esse método foi combinado com o método de interface imersa de Linnick e Fasel [2] para resolver numericamente as equações de Stokes com quarta ordem de precisão. A verificação do código foi feita por meio do método das soluções manufaturadas e da comparação com resultados de outros autores em problemas clássicos da literatura. / A great limitation of finite differences methods is that they are restricted to retangular meshes and domains. In order to describe flows in complex domains, e.g. free surface problems, it is necessary to use accessory techniques. The immersed interface method is one of such techniques. In the present work, firstly, a projection method was developed, which is completely pressure-free, for the Navier-Stokes equations with primitive variables in a staggered mesh. This method is based on compact finite differences, with temporal second-order precision and spatial foruth-order precision. This method was combined with the immersed interface method from Linnick e Fasel [2] in order to numerically solve the Stokes equations with fourth-order precision. The verification of the code was performed with the manufactured solutions method and by comparing results with other authors for some classical problems in the literature.

Uma grande limitação dos métodos de diferenças finitas é que eles estão restritos a malhas e domínios retangulares. Para descrever escoamentos em domínios complexos, como, por exemplo, problemas com superfícies livres, faz-se necessário o uso de técnicas acessórias. O método de interfaces imersas é uma dessas técnicas. Nesse trabalho, primeiramente foi desenvolvido um método de projeção, totalmente livre de pressão, para as equações de Navier-Stokes com variáveis primitivas em malha deslocada. Esse método é baseado em diferenças finitas compactas, possuindo segunda ordem temporal e quarta ordem espacial. Esse método foi combinado com o método de interface imersa de Linnick e Fasel [2] para resolver numericamente as equações de Stokes com quarta ordem de precisão. A verificação do código foi feita por meio do método das soluções manufaturadas e da comparação com resultados de outros autores em problemas clássicos da literatura. / A great limitation of finite differences methods is that they are restricted to retangular meshes and domains. In order to describe flows in complex domains, e.g. free surface problems, it is necessary to use accessory techniques. The immersed interface method is one of such techniques. In the present work, firstly, a projection method was developed, which is completely pressure-free, for the Navier-Stokes equations with primitive variables in a staggered mesh. This method is based on compact finite differences, with temporal second-order precision and spatial foruth-order precision. This method was combined with the immersed interface method from Linnick e Fasel [2] in order to numerically solve the Stokes equations with fourth-order precision. The verification of the code was performed with the manufactured solutions method and by comparing results with other authors for some classical problems in the literature.