A general global approximation scheme is developed and its generality is demonstrated by the derivation of classical Lagrange and Hermite interpolation and finite difference and finite element approximations as its special cases. It is also shown that previously reported general approximation techniques which use the idea of moving least square are also special cases of the present method. The combination of the developed general global approximation technique with the weighted residual methods provides a very powerful scheme for the solution of the boundary value problems formulated in terms of differential equations. Although this application is the main purpose of the this project, nevertheless, the power and flexibility of the developed approximation allows it to be used in many other areas. In this study the following applications of the described approximation are developed: 1- data fitting (including curve and surface fitting) 2- plane mapping (both in cases where a conformal mapping exists and for non-conformal mapping) 3- solution of eigenvalue problems with particular application to spectral expansions used in the modal representation of shallow water equations 4- solution of ordinary differential equations (including Sturm-Liouville equations, non-homogeneous equations with non-smooth right hand sides and 4th order equations) 5- elliptic partial differential equations (including Poisson equations with non-smooth right hand sides) A computer program which can handle the above applications is developed. This program utilises symbolic, numerical and graphical and the programming language provided by the Mathematica package.

L’acier à double phase (DP) a été développé par l'industrie automobile pour le but de réduire le poids, l'amélioration de la performance de la sécurité et l'efficacité énergétique. Habituellement, l'acier DP contient des îlots de martensite dure noyée dans une matrice de ferrite doux. La synergie entre ces deux phases avec la microstructure inhomogène présente d'excellentes propriétés mécaniques. Les propriétés mécaniques (comportements de plasticité et de dégâts) d'acier DP sont principalement dérivés de sa microstructure, par exemple, la fraction de volume, la taille, la distribution et la morphologie de chaque phase constituante. Les approches micromécaniques sont largement appliquées pour prédire la plasticité et d'autres propriétés mécaniques de l'acier DP selon divers scénarios de chargement. Dans ce travail, la modélisation micromécanique de l'acier DP a été réalisée en utilisant des microstructures réelles ou artificielles. Une véritable microstructure est obtenue à partir de l'image métallographique, tandis qu'un générateur de microstructure artificielle à l'aide d'un algorithme d'affectation de phase améliorée basée sur l'optimisation de la topologie matériau est proposé d'étudier les propriétés mécaniques. Dans ce générateur artificiel, un processus d'affectation de phase est réalisé sur une mosaïque de Voronoï modifié pour obtenir une mesure représentative de l'élément de volume (VER) avec une bonne convergence. La méthode proposée comprend également une réduction appropriée décomposition orthogonale (POD) des courbes de débit (instantanés), qui sont calculés en utilisant le schéma asymptotique homogénéisation d'extension (AEH), pour identifier le contrôle des paramètres optimaux pour l'acier DP. Cette méthode numérique est vérifiée en utilisant DP590 et DP980 aciers qui indiquent un bon accord avec la contrainte d'écoulement à partir de mesures et prédiction de RVE basés sur de vraies microstructures. Les prédictions des modèles de déformation plastique, y compris des bandes de cisaillement en utilisant la microstructure artificielle ressemblent étroitement le comportement mécanique réel dans des conditions de chargement similaires. En outre, une interpolation a été adoptée pour obtenir une corrélation entre ces paramètres de contrôles basés sur l'identification des différents aciers DP. En outre, un modèle de substitution bi-niveau réduit est élaboré et présenté pour identifier les paramètres matériels du critère de rupture de Mohr-Coulomb (MMC). En utilisant cette méthode, le processus d'identification devient possible avec un nombre limité de tests Expérimentaux. La méthode combine des éléments critiques locaux associés à des modèles globaux. Le modèle de substitution de la souche de fracture construit en utilisant l'approximation diffuse et les éléments locaux, réduit le coût de calcul pour la recherche des paramètres matériels. Des simulations de fracturation sont effectuées globales pour mettre à jour la déformation à la rupture de la cible et pour calculer le déplacement de l'apparition de la panne correspondante. Des résultats probants sont obtenus par application successive de la conception de l'expérience (DOE) et l'amélioration des algorithmes de transformation de l'espace de conception. Le protocole d'identification proposée est validé avec de l'acier DP590. Robustesse de la méthode est confirmée par des valeurs initiales différentes. Ces investigations numériques fournissent nouvelle direction pour les simulations multi-échelles de la plasticité et de dégâts des comportements d'acier DP. De plus, ils contribuent efficacement à combler le fossé entre la recherche scientifique et à l'application de l'ingénierie des matériaux hétérogènes. / Dual-phase (DP) steel has been developed by automotive industry for the purpose of weight reduction, improvement in safety performance and fuel efficiency. Usually, DP steel contains hard martensite islands embedded in a soft ferrite matrix. Synergy between these two phases with the inhomogeneous microstructure exhibits excellent mechanical properties. The mechanical properties (plasticity and damage behaviors) of DP steel are mostly derived from its microstructure, e.g., volume fraction, size, distribution and morphology of each constituent phase. Micromechanical approaches are vastly applied to predict plasticity and other mechanical properties of DP steel under various loading scenarios. In this work, micromechanical modelling of DP steel has been performed using real or artificial microstructures. A real microstructure is obtained from metallographic image, while an artificial microstructure generator with an enhanced phase assignment algorithm based on material topology optimization is proposed to investigate the mechanical properties. In this artificial generator, phase assignment process is performed on a modified Voronoï tessellation to achieve the tailored representative volume element (RVE) with a good convergence. The proposed method also includes a proper orthogonal decomposition (POD) reduction of flow curves (snapshots), which are computed using the asymptotic extension homogenization (AEH) scheme, to identify the optimal controlling parameters for DP steel. This numerical method is verified using DP590 and DP980 steels that indicate a good agreement with the flow stress from measurements and RVE prediction based on real microstructures. Predictions of plastic strain patterns including shear bands using the artificial microstructure closely resemble the actual mechanical behavior under similar loading conditions. Moreover, an interpolation has been adopted to obtain a correlation between these controlling parameters based on the identification for various DP steels. Additionally, a bi-level reduced surrogate model is developed and presented to identify the material parameters of the Mohr-Coulomb (MMC) fracture criterion. Using this method, the identification process becomes feasible with a limited number of experimental tests. The method combines local critical elements associated with global models. The surrogate model of fracture strain constructed using the diffuse approximation and the local elements, reduced the computational cost for searching material parameters. Global fracture simulations are performed to update the target fracture strain and to compute the corresponding failure onset displacement. Convincing results are obtained via successive application of design of experiment (DOE) and enhanced design space transformation algorithms. The proposed identification protocol is validated with DP590 steel. Robustness of the method is confirmed with different initial values. These numerical investigations provide new direction for multiscale simulations of the plasticity and damage behaviors of DP steel. Moreover, they efficiently contribute to bridge the gap between scientific research and engineering application of heterogeneous materials.