On étudie des propriétés des fonctions méromorphes dans un corps ultramétrique complet, algébriquement clos de caractéristique 0 qu'on note K (ex : K=Cp), ainsi que des propriétés de fonctions méromorphes dans un disque ouvert de K, prenant en compte pour cela le problème de Lazard, qu'on contourne en considérant une extension de K sphériquement complète. Les problèmes étudiés concernent d'une part la distribution des zéros pour différents types de fonctions méromorphes ultramétriques dans K ou dans un disque ouvert de K, avec notamment la Conjecture de Hayman. Et d'autre part, des problèmes d'unicité pour des fonctions méromorphes ultramétriques dans K ou dans un disque de K, qui satisfont certaines hypothèses : des fonctions du type (Po f)' et (P o g)' où P est un polynôme qui satisfait certaines conditions, ces fonctions partagent une autre fonction méromorphe qui est petite par rapport à f et g, en comptant les multiplicités. Ce dernier type de problèmes comporte naturellement des liens avec les problèmes portant sur les polynômes d'unicité pour des fonctions méromorphes dans K, et sur les ensembles d'unicité (URS). Finalement, on s'intéresse à l'existence ou non de solutions des équations fonctionnelles du type Diophantien : des équations fonctionnelles du type P(x)=Q(y) où P et Q sont des polynômes dont les coefficients sont des fonctions méromorphes. On introduit la notion de solutions admissibles pour ces type d'équations. La méthode la plus utilisée est la Théorie de Nevanlinna p-adique qui s'applique non seuleument à des fonctions méromorphes ultramétriques dans le corps K mais aussi aux fonctions méromorphes ultramétriques non bornées dans un disque ouvert de K.