[EN] The dynamics of linear operators, namely linear dynamics, is mainly concerned with the behaviour of iterates of linear transformations. Hypercyclicity is the study of linear operators that possess a dense orbit. Although the first examples of hypercyclic operators are due to G. D. Birkhoff (in 1929), G. R. MacLane (in 1952) and S. Rolewicz (in 1969), we can date the birth of the linear dynamics in 1982 with the unpublished PhD thesis of C. Kitai. Since then, many mathematicians have contributed to the development of this flourishing new area of the analysis. Linear dynamics connects functional analysis and dynamics. As for the classical dynamical systems, one can study the dynamics of linear operators from a topological point of view. In this context, we state that an operator has the specification property (SP). Precisely, the aim of this PhD thesis is to study the specification property on linear dynamical systems. A continuous map on a compact metric space satisfies the specification property if one can approximate pieces of orbits by a single periodic orbits with a certain uniformity. This Doctoral dissertation is a compendium of articles on the specification property. It is structured in four parts preceded by a chapter which introduces the notation, definitions and the basic results that will be needed throughout the thesis. The shift operators on sequence spaces constitute one of the most important test ground for discrete linear dynamical systems. Due to its simple structure, every time you introduce a new property in linear dynamics it is common to check it on weighted shifts operators. It is for this reason that the first part of this research work is devoted to study the specification property for unilateral and bilateral backward shift operators on weighted l^p-spaces and the relationship with other dynamical properties. In Chapter 3 we extend the results on the SP to shift operators on separable sequence F-spaces. An F-space is a vector space that is endowed with an F-norm and that is complete under the induced metric. The notion of an F-norm has the advantage that one can largely argue as if one was working in a Banach space. One need to be aware of the fact that the positive homogeneity of a norm is no longer available. The spaces l^p with 0 < p < 1 are F-spaces. Chaotic dynamical systems have received a great deal of attention in recent years. An operator is chaotic if it has a dense set of periodic points. The specification property is an interesting and rather strong notion of chaos (in the topological sense). We also consider a qualitative strengthening of hypercyclicity namely frequent hypercyclicity. It was introduced by Bayart and Grivaux, motivated by Birkhoff's ergodic theorem. An operator is frequently hypercyclic if there is some element whose orbit meets every non-empty open set very often. In Chapter 4 the specification property is deeply studied for linear and continuous operators on separable F-spaces. In addition, we are interested in finding out its relation with other dynamical properties such as mixing, Devaney chaos and frequent hypercyclicity. The results that we have achieved have been accepted to be publish in Journal of Mathematical Analysis and Applications. Finally, in the last chapter of this dissertation, we examine the specification property for strongly continuous semigroups on Banach spaces, that is, for C_0-semigroups. They can viewed as the continuous-time analogue of the discrete-time case of iterates of a single operator; in other words, the parameter in the continuous case plays the role of the iterations in the discrete case. Now the translation semigroups substitute the shift operators as test classes. Once again, we study the relationship between the specification property and mixing, chaos and frequent hypercyclicity properties of a C_0-semigroup. / [ES] La dinámica de operadores lineales, o simplemente dinámica lineal, estudia las órbitas generadas por las iteraciones de una transformación lineal. La hiperciclicidad es el estudio de los operadores lineales que poseen una órbita densa. Si bien G. D. Birkhoff (en 1929), G. R. MacLane (en 1952) y S. Rolewicz (en 1969) obtuvieron ejemplos de operadores lineales hipercíclicos, podemos fijar el nacimiento de la dinámica lineal en 1982 con la tesis de C. Kitai. Desde entonces muchos matemáticos han contribuido al desarrollo de esta floreciente área del análisis. La dinámica lineal conecta el análisis funcional y la dinámica. Al igual que en sistemas dinámicos clásicos, podemos estudiar la dinámica de operadores lineales desde un punto de vista topológico. En este contexto, hablamos de que un operador tiene la propiedad de especificación (SP). Precisamente, al estudio de la propiedad de especificación en sistemas dinámicos lineales está dedicada la presente tesis doctoral. Una aplicación continua en un espacio métrico satisface la propiedad de especificación si para cualquier familia de puntos podemos aproximar, con una cierta uniformidad, partes de sus órbitas por una sola órbita de un punto periódico. La tesis es un compendio de artículos sobre la propiedad de especificación. Se estructura en cuatro partes precedidas de un capítulo dedicado a introducir la notación, definir los conceptos y enunciar los resultados de ámbito general que van a ser utilizados en el resto de la memoria. Los operadores "shift" (desplazamiento) constituyen una de las clases más importantes, como campo de pruebas, en sistemas dinámicos lineales discretos. Debido a su estructura simple, siempre que se introduce un nuevo concepto en dinámica lineal es habitual comprobarlo sobre shifts ponderados. Por este motivo, en la primera parte de esta memoria, se estudia la propiedad de especificación para operadores desplazamiento unilaterales y bilaterales en espacios l^p ponderados y la relación con otras propiedades dinámicas. En el capítulo 3 se generalizan los resultados sobre la propiedad SP a operadores desplazamiento en F-espacios separables de sucesiones. Un F-espacio es un espacio vectorial, dotado de una F-norma, que es completo con la métrica inducida. La noción de F-norma tiene la ventaja de que permite trabajar como en un espacio de Banach llevando cuidado con la homogeneidad de la norma que ahora no se cumple Los sistemas dinámicos caóticos han recibido gran atención en los últimos años. Un operador lineal es caótico si admite un conjunto denso de puntos periódicos. La propiedad de especificación es una noción de caos (en el sentido topológico) más potente que la debida a Devaney. Otra variante más fuerte que la hiperciclicidad es la hiperciclicidad frequente. Este concepto fue introducido por Bayart y Grivaux motivados por el teorema ergódico de Birkhoff. Un operador es frecuentemente hipercíclico si algún elemento tiene una órbita que corta muy a menudo a cada conjunto abierto no vacío. En el capítulo 4 de esta tesis se estudia con profundidad la propiedad de especificación para operadores lineales y continuos definidos en F-espacios separables. Los resultados que presentamos han sido aceptados para su publicación en J. Math. Anal. Appl. Finalmente, en la cuarta parte de este trabajo, se extiende la propiedad de especificación a semigrupos de operadores fuertemente continuos en espacios de Banach, esto es, C_0-semigrupos. Estos operadores pueden verse como la versión continua del caso discreto correspondiente a las iteraciones de un único operador. Ahora, la labor de los operadores desplazamiento en espacios de sucesiones como clases de prueba la desempeñan los semigrupos de traslación. Al igual que en capítulos anteriores, se estudia la relación de la propiedad SP para C_0-semigrupos con otras propiedades dinámicas. / [CA] La dinàmica d'operadors lineals, o simplement dinàmica lineal, estudie les òrbites generades per les iteracions d'una transformació lineal. La hiperciclicitat es el estudi dels operadors lineal que posseeixen una òrbita densa. Si bé G. D. Birkhoff (en 1929), G. R. MacLane (en 1952) y S. Rolewicz (en 1969) van obtenir exemples d'operadors lineals hipercíclics, podem fixar el naixement de la dinàmica lineal en 1982 amb la tesi de C. Kitai [68]. Des de llavors molts matemàtics han contribuït al desenvolupament d'esta florent area de l'anàlisi. La dinàmica lineal connecta el anàlisi funcional y la dinàmica. Igual que en sistemes dinàmics clàssics, podem estudiar la dinàmica d'operadors lineals des d'un punt de vista topològic. En eixe context, parlem que un operador té la propietat d'especificació (SP). Precisament, al estudi de la propietat d'especificació en sistemes dinàmics lineals està dedicada la present tesi doctoral. Una aplicació continua en un espai mètric compleix la propietat d'especificació si per a qualsevol família de punts podem aproximar, amb certa uniformitat, parts de les seues òrbites per una sola òrbita d'un punt periòdic. La tesi es un compendi de articles sobre la propietat d'especificació. S'estructura en quatre parts precedides d'un capítol dedicat a introduir la notació, definir els conceptes i enunciar els resultats d'àmbit general que seran utilitzats en la resta de la memòria. Els operadors "shifts" (desplaçaments) constitueixen una de les classes més importants, com a camp de proves, en sistemes dinàmics lineals discrets. Degut a la seua estructura simple, sempre que es introdueix un nou concepte en dinàmica lineal es habitual comprovar-ho sobre shifts ponderats. Per esta raó, en la primera part d'esta memòria, s'estudia la propietat d'especificació per a operadors desplaçament unilaterals i bilaterals en espais l^p ponderats i la relació amb altres propietats dinàmiques. En el capítol 3 es generalitzen els resultats sobre la propietat SP a operadors desplaçament en F-espais separables de successions. Un F-espai es un espai vectorial, dotat d'una F-norma, que és complet amb la mètrica induida. La noció de F-norma té l'avantatge que permet treballar com en un espai de Banach anant en compte amb l'homogeneitat de la norma que ara no es compleix. Els espais l^p amb 0 < p < 1 són exemples de F-espais. Els sistemes dinàmics caòtics han rebut gran atenció en els últims anys. Un operador lineal és caòtic si admet un conjunt dens de punts periòdics. La propietat d'especificació és una noció de caos (en el sentit topològic) més potent que la deguda a Devaney. Una altra variant més forta que la hiperciclicitat és la hiperciclicitat freqüent. Aquest concepte va ser introduït per Bayart i Grivaux motivats per el teorema ergòdic de Birkhoff. Un operador és freqüentment hipercíclic si algun element té una òrbita que talle molt sovint a cada conjunt obert no vuit. En el capítol 4 d'esta tesi se estudie amb profunditat la propietat d'especificació per a operadors lineals i continus definits en F-espais separables. També s'incideix en la connexió de dita propietat amb altres propietats dinàmiques. Els resultats que presentem han estat acceptats per a la seva publicació en J. Math. Anal. Appl. Finalment, en la quarta part d'aquest treball, s'estén la propietat d'especificació a semigrups d'operadors fortament continus en espais de Banach, això és, C_0-semigrups. Aquests operadors poden veure's com la versió continua del cas discret corresponen a les iteracions d'un únic operador; en altres paraules, el paper de les iteracions en el cas discret ho assumeix el paràmetre en el cas continu. Ara, la labor del operadors desplaçament en espais de successions com classes de prova l'exerceixen els semigrups de translació. Igual que en capítols anteriors, s'estudia la relació de la propietat SP per a C0-semigrups amb altres propie / Bartoll Arnau, S. (2016). The specification property in linear dynamics [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/61633

The Ph.D. Thesis ¿Operators on weighted spaces of holomorphic functions¿ presented here treats different areas of functional analysis such as spaces of holomorphic functions, infinite dimensional holomorphy and dynamics of operators. After a first chapter that introduces the notation, definitions and the basic results we will use throughout the thesis, the text is divided into two parts. A first one, consisting of Chapters 1 and 2, focused on a study of weighted (LB)-spaces of entire functions on Banach spaces, and a second one, corresponding to Chapters 3 and 4, where we consider differentiation and integration operators acting on different classes of weighted spaces of entire functions to study its dynamical behaviour. In what follows, we give a brief description of the different chapters: In Chapter 1, given a decreasing sequence of continuous radial weights on a Banach space X, we consider the weighted inductive limits of spaces of entire functions VH(X) and VH0(X). Weighted spaces of holomorphic functions appear naturally in the study of growth conditions of holomorphic functions and have been investigated by many authors since the work of Williams in 1967, Rubel and Shields in 1970 and Shields and Williams in 1971. We determine conditions on the family of weights to ensure that the corresponding weighted space is an algebra or has polynomial Schauder decompositions. We study Hörmander algebras of entire functions defined on a Banach space and we give a description of them in terms of sequence spaces. We also focus on algebra homomorphisms between these spaces and obtain a Banach-Stone type theorem for a particular decreasing family of weights. Finally, we study the spectra of these weighted algebras, endowing them with an analytic structure, and we prove that each function f ¿ VH(X) extends naturally to an analytic function defined on the spectrum. Given an algebra homomorphism, we also investigate how the mapping induced between the spectra acts on the corresponding analytic structures and we show how in this setting composition operators have a different behavior from that for holomorphic functions of bounded type. This research is related to recent work by Carando, García, Maestre and Sevilla-Peris. The results included in this chapter are published by Beltrán in [14]. Chapter 2 is devoted to study the predual of VH(X) in order to linearize this space of entire functions. We apply Mujica¿s completeness theorem for (LB)-spaces to find a predual and to prove that VH(X) is regular and complete. We also study conditions to ensure that the equality VH0(X) = VH(X) holds. At this point, we will see some differences between the finite and the infinite dimensional cases. Finally, we give conditions which ensure that a function f defined in a subset A of X, with values in another Banach space E, and admitting certain weak extensions in a space of holomorphic functions can be holomorphically extended in the corresponding space of vector-valued functions. Most of the results obtained have been published by the author in [13]. The rest of the thesis is devoted to study the dynamical behaviour of the following three operators on weighted spaces of entire functions: the differentiation operator Df(z) = f (z), the integration operator Jf(z) = z 0 f(¿)d¿ and the Hardy operator Hf(z) = 1 z z 0 f(¿)d¿, z ¿ C. In Chapter 3 we focus on the dynamics of these operators on a wide class of weighted Banach spaces of entire functions defined by means of integrals and supremum norms: the weighted spaces of entire functions Bp,q(v), 1 ¿ p ¿ ¿, and 1 ¿ q ¿ ¿. For q = ¿ they are known as generalized weighted Bergman spaces of entire functions, denoted by Hv(C) and H0 v (C) if, in addition, p = ¿. We analyze when they are hypercyclic, chaotic, power bounded, mean ergodic or uniformly mean ergodic; thus complementing also work by Bonet and Ricker about mean ergodic multiplication operators. Moreover, for weights satisfying some conditions, we estimate the norm of the operators and study their spectrum. Special emphasis is made on exponential weights. The content of this chapter is published in [17] and [15]. For differential operators ¿(D) : Bp,q(v) ¿ Bp,q(v), whenever D : Bp,q(v) ¿ Bp,q(v) is continuous and ¿ is an entire function, we study hypercyclicity and chaos. The chapter ends with an example provided by A. Peris of a hypercyclic and uniformly mean ergodic operator. To our knowledge, this is the first example of an operator with these two properties. We thank him for giving us permission to include it in our thesis. The last chapter is devoted to the study of the dynamics of the differentiation and the integration operators on weighted inductive and projective limits of spaces of entire functions. We give sufficient conditions so that D and J are continuous on these spaces and we characterize when the differentiation operator is hypercyclic, topologically mixing or chaotic on projective limits. Finally, the dynamics of these operators is investigated in the Hörmander algebras Ap(C) and A0 p(C). The results concerning this topic are included by Bonet, Fernández and the author in [16]. / Beltrán Meneu, MJ. (2014). Operators on wighted spaces of holomorphic functions [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/36578 / Premios Extraordinarios de tesis doctorales