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Although time measurements are routinely performed in laboratories, their theoretical description is still an open problem. Similarly, also the validity and the status of the energy-time uncertainty relation is unsettled. In the first part of this work the necessity of positive operator valued measures (POVM) as descriptions of every quantum experiment is reviewed, as well as the suggestive role played by the probability current in time measurements. Furthermore, it is shown that no POVM exists, which approximately agrees with the probability current on a very natural set of wave functions; nevertheless, the choice of the set is crucial, and on more restrictive sets the probability current does provide a good arrival time prediction. Some ideas to experimentally detect quantum effects in time measurements are discussed. In the second part of the work the energy-time uncertainty relation is considered, in particular for a model of alpha decay for which the variance of the energy can be calculated explicitly, and the variance of time can be estimated. This estimate is tight for systems with long lifetimes, in which case the uncertainty relation is shown to be satisfied. Also the linewidth-lifetime relation is shown to hold, but contrary to the common expectation, it is found that the two relations behave independently, and therefore it is not possible to interpret one as a consequence of the other. To perform the mentioned analysis quantitative scattering estimates are necessary. To this end, bounds of the form $\|\1_Re^{-iHt}\psi\|_2^2 \leq C t^{-3}$ have been derived, where $\psi$ denotes the initial state, $H$ the Hamiltonian, $R$ a positive constant, and $C$ is explicitly known. As intermediate step, bounds on the derivatives of the $S$-matrix in the form $\|\1_K S^{(n)}\|_\infty \leq C_{n,K} $ have been established, with $n=1,2,3$, and the constants $C_{n,K}$ explicitly known. / Obwohl Zeitmessungen tagtäglich in vielen Laboren durchgeführt werden, ist ihre theoretische Beschreibung noch unklar. Gleichermaßen sind Gültigkeit und Bedeutung der Energie-Zeit-Unschärfe ungeklärt. Der erste Teil dieser Arbeit diskutiert die Notwendigkeit von positive operator valued measures (POVM) zur Beschreibung von allen Quantenexperimenten, sowie die bedeutende Rolle des Wahrscheinlichkeitsstroms in Zeitmessungen. Außerdem, wird gezeigt, dass kein POVM existiert, der den Wahrscheinlichkeitsstrom jeder Wellenfunktion in einer natürlichen Menge annähert. Die Wahl dieser Menge ist aber entscheidend, und auf beschränkten Mengen ist der Wahrscheinlichkeitsstrom eine gute Vorhersage für Zeitmessungen. Einige Ideen sind diskutiert, wie man Zeitexperimente durchführen kann, um Quanteneffekten zu detektieren. Der zweite Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit der Energie-Zeit-Unschärfe, insbesondere für ein Modell von Alpha-Zerfall, wobei man die Energievarianz explizit berechnen kann, und die Zeitvarianz abschätzt. Diese Abschätzung ist für Systeme mit langen Lebensdauern gut, und in diesem Fall wird gezeigt, dass die Energie-Zeit-Unschärfe gilt. Ebenso wird gezeigt, dass die linewidth-lifetime relation gilt. Im allgemein wird angenommen, dass diese zwei Relationen dieselben sind. Im Gegensatz dazu, wird in der Dissertation aber gezeigt, dass sie sich unabhängig voneinander verhalten. Für diese Resultate, braucht man quantitative Streuabschätzungen. Zu diesem Zweck werden Schranken in der Form $\|\1_Re^{-iHt}\psi\|_2^2 \leq C t^{-3}$ in der Dissertation gezeigt, wo $\psi$ der Anfangszustand ist, $H$ der Hamiltonoperator, $R$ eine positive Konstante, und $C$ explizit bekannt ist. Als Zwischenschritt werden Schranken für die Ableitungen der $S$-Matrix in der Form $\|\1_K S^{(n)}\|_\infty \leq C_{n,K} $ bewiesen, wobei $n=1,2,3$, und die Konstanten $C_{n,K}$ explizit bekannt sind.

This thesis is concerned with quantum mechanical decay processes and their mathematical description. It consists out of three parts: In the first part we look at Laser induced ionization, whose mathematical description is often based on the so-called dipole approximation. Employing it essentially means to replace the Laser's vector potential $\vec A(\vec r,t)$ in the Hamiltonian by $\vec A(0, t).$ Heuristically this is justified under usual experimental conditions, because the Laser varies only slowly in $\vec r$ on atomic length scales. We make this heuristics rigorous by proving the dipole approximation in the limit in which the Laser's length scale becomes infinite compared to the atomic length scale. Our results apply to $N$-body Hamiltonians. In the second part we look at alpha decay as described by Skibsted (Comm. Math. Phys. 104, 1986) and show that Skibsted's model satisfies an energy-time uncertainty relation. Since there is no self-adjoint time operator, the uncertainty relation for energy and time can not be proven in the same way as the uncertainty relation for position and momentum. To define the time variance without a self-adjoint time operator, we will use the arrival time distribution obtained from the quantum current. Our proof of the energy-time uncertainty relation is then based on the quantitative scattering estimates that will be derived in the third part of the thesis and on a result from Skibsted. In addition to that, we will show that this uncertainty relation is different from the well known {\it linewidth-lifetime relation}. The third part is about quantitative scattering estimates, which are of interest in their own right. For rotationally symmetric potentials having support in $[0,R_V]$ we will show that for $R\geq R_V$, the time evolved wave function $e^{-iHt}\psi$ satisfies \begin{align}\nonumber \|\1_R e^{-iHt}\psi\|_2^2\leq c_1t^{-1}+c_2t^{-2}+c_3t^{-3}+c_4t^{-4} \end{align} with explicit quantitative bounds on the constants $c_n$ in terms of the resonances of the $S$-Matrix. While such bounds on $\|\1_R e^{-iHt}\psi\|_2$ have been proven before, the quantitative estimates on the constants $c_n$ are new. These results are based on a detailed analysis of the $S$-matrix in the complex momentum plane, which in turn becomes possible by expressing the $S$-matrix in terms of the Jost function that can be factorized in a Hadamard product. / Gegenstand dieser Arbeit ist die mathematische Beschreibung von quantenmechanischen Zerfallsprozessen. Im ersten von drei Teilen, werden wir die durch Laser induzierte Ionisation von Atomen untersuchen, die üblicherweise mit Hilfe der sogenannten Dipolapproximation beschrieben wird. Bei dieser Approximation wird das Vektorpotential $\vec A(\vec r,t)$ des Lasers im Hamiltonoperator durch $\vec A(0, t)$ ersetzt, was oft dadurch gerechtfertigt ist, dass sich das Vektorpotential des Lasers auf atomaren Längenskalen in $\vec r$ kaum verändert. Ausgehend von dieser Heuristik werden wir die Dipolapproximation in dem Limes beweisen, in dem die Wellenlänge des Lasers im Verhältnis zur atomaren Längenskala unendlich groß wird. Unsere Resultate sind auf $N$-Teilchen Systeme anwendbar. Im zweiten Teil wenden wir uns dem Alphazerfallsmodell von Skibsted (Comm. Math. Phys. 104, 1986) zu und beweisen, dass es eine Energie-Zeit Unschärfe erfüllt. Da kein selbstadjungierter Zeitoperator existiert, kann die Energie-Zeit Unschärfe nicht auf gleiche Weise wie die Orts-Impuls Unschärfe bewiesen werden. Um ohne einen selbstadjungierten Zeitoperator Zugriff auf die Zeitvarianz zu bekommen, werden wir mit Hilfe des quantenmechanischen Wahrscheinlichkeitsstroms eine Ankunftszeitverteilung definieren. Der Beweis der Energie-Zeit Unschärfe folgt dann aus einem Resultat von Skibsted und aus den quantitativen Streuabschätzungen, die im dritten Teil der Dissertation bewiesen werden. Darüber hinaus werden wir zeigen, dass diese Unschärfe von der {\it linewidth-lifetime relation} zu unterscheiden ist. Hauptresultat des dritten Teils sind quantitative Streuabschätzungen, die als eigenständiges Resultat von Interesse sind. Für rotationssymmetrische Potentiale mit Träger in $[0,R_V]$ werden wir für alle $R\geq R_V$ die Abschätzung \begin{align}\nonumber \|\1_R e^{-iHt}\psi\|_2^2\leq c_1t^{-1}+c_2t^{-2}+c_3t^{-3}+c_4t^{-4} \end{align} beweisen und darüber hinaus, das ist das Novum, quantitative Schranken für die Konstanten $c_n$ angeben, die von den Resonanzen der $S$-Matrix abhängen. Um zu diesen Schranken zu gelangen, werden wir die analytische Struktur der $S$-Matrix studieren, indem wir die Beziehung der $S$-Matrix zur Jost-Funktion ausnutzen und die wiederum in ein Hadamard-Produkt zerlegen.

Online Soziale Netzwerke (OSNs) repräsentieren das vorherrschende Medium zur computergestützten Kommunikation und Verbreitung persönlicher, geschäftlicher oder auch wissenschaftlicher Inhalte. Eine Reihe von Vorkommnissen in der jüngsten Vergangenheit hat gezeigt, dass die Bereitstellung privater Informationen in OSNs mit erheblichen Risiken für die Sicherheit und den Schutz der Privatsphäre seiner Nutzer verbunden ist. Gleiches gilt für die Bereiche Wirtschaft und Wissenschaft. Ursächlich dafür ist die zentralisierte Verwaltung der Nutzer und ihrer publizierten Inhalte unter einer singulären administrativen Domäne. Mit Vegas präsentiert der erste Teil dieser Arbeit ein dezentrales OSN, das mit seiner restriktiven Sicherheitsarchitektur diesem Problem begegnet. Oberstes Ziel ist die technische Umsetzung des Rechts auf informationelle Selbstbestimmung. Dazu schränkt Vegas den Zugriff auf den sozialen Graphen und jeglichen Informationsaustausch auf die Nutzer des eigenen Egonetzwerks ein. Neben der Möglichkeit zur Kommunikation und der Bereitstellung persönlicher Informationen erlauben einige OSNs auch das Browsen des sozialen Graphen und die Suche nach Inhalten anderer Nutzer. Um auch in sicheren und die Privatsphäre schützenden OSNs wie Vegas vom akkumulierten Wissen des sozialen Graphen zu profitieren, beschäftigt sich der zweite Teil dieser Arbeit mit der Entwicklung und Analyse intelligenter Priorisierungsstrategien zur Weiterleitung von Suchanfragen innerhalb dezentraler OSNs. Im Kontext von OSNs werden neue Algorithmen und Protokolle zunächst simulativ evaluiert. Die Grundlage bildet in der Regel der Crawling-Datensatz eines OSNs. Offensichtlich ist das Crawling in sicheren und die Privatsphäre schützenden dezentralen OSNs wie Vegas nicht möglich. Um diesem Problem zu begegnen, beschäftigt sich der dritte Teil dieser Arbeit mit der Entwicklung eines generischen Modells zur künstlichen Erzeugung sozialer Interaktionsgraphen. Neben den strukturellen Besonderheiten zentralisierter und dezentraler Systeme wird erstmals auch das Interaktionsverhalten der Nutzer eines OSNs modelliert. Die Eignung des Modells wird auf der Grundlage gecrawlter sozialer Graphen evaluiert. / Online Social Networks (OSNs) represent the dominating media for computer-aided communication and the distribution of personal, commercial, and scientific content. Recently a series of incidents has shown that, for its users, the provision of private information in an OSN can create considerable security and privacy risks. The same statement holds for the commercial and the scientific domain. The problem arises from a centralized organization of users and their published contents and its management through a single administrative domain. To overcome this problem, the first part of this thesis introduces Vegas, a decentralized OSN which is based on a highly restrictive security architecture. The major goal of Vegas is to provide a technical implementation of the right for informational self-determination. Therefore Vegas restricts access to the social graph and the exchange of information to users of the own ego-network. In addition to the possibility to communicate and to provide personal data, several OSNs allow for browsing the social graph and for searching content of other users. To benefit from the accumulated knowledge of the social graph in secure and privacy-preserving OSNs like Vegas, the second part of this thesis addresses the development and the analysis of intelligent prioritization strategies for query forwarding in decentralized OSNs. In context of OSNs, the evaluation of new algorithms and protocols takes place through simulation which is based on crawling data of an OSN. Obviously crawling secure and privacy-preserving OSNs like Vegas is not possible. Therefore the third part of this thesis presents a generic model to synthesize social interaction graphs. Besides structural characteristics of centralized and decentralized OSNs, the model also considers the interaction behavior of its users. Its applicability is evaluated on the basis of social graph crawling data.

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