A digital signature is the electronic counterpart to the hand written signature. It can prove the source and integrity of any digital data, and is a tool that is becoming increasingly important as more and more information is handled electronically. Digital signature schemes use a pair of keys. One key is secret and allows the owner to sign some data, and the other is public and allows anyone to verify the signature. Assuming that the keys are large enough, and that a secure scheme is used, it is impossible to find the private key given only the public key. Since a signature is valid for the signed message only, this also means that it is impossible to forge a digital signature. The most well-used scheme for constructing digital signatures today is RSA, which is based on the hard mathematical problem of integer factorization. There are, however, other mathematical problems that are considered even harder, which in practice means that the keys can be made shorter, resulting in a smaller memory footprint and faster computations. One such alternative approach is using elliptic curves. The underlying mathematical problem of elliptic curve cryptography is different to that of RSA, however some structure is shared. The purpose of this thesis was to evaluate the performance of elliptic curves compared to RSA, on a system designed to efficiently perform the operations associated with RSA. The discovered results are that the elliptic curve approach offers some great advantages, even when using RSA hardware, and that these advantages increase significantly if special hardware is used. Some usage cases of digital signatures may, for a few more years, still be in favor of the RSA approach when it comes to speed. For most cases, however, an elliptic curve system is the clear winner, and will likely be dominant within a near future. / En digital signatur är den elektroniska motsvarigheten till en handskriven signatur. Den kan bevisa källa och integritet för valfri data, och är ett verktyg som blir allt viktigare i takt med att mer och mer information hanteras digitalt. Digitala signaturer använder sig av två nycklar. Den ena nyckeln är hemlig och tillåter ägaren att signera data, och den andra är offentlig och tillåter vem som helst att verifiera signaturen. Det är, under förutsättning att nycklarna är tillräck- ligt stora och att det valda systemet är säkert, omöjligt att hitta den hemliga nyckeln utifrån den offentliga. Eftersom en signatur endast är giltig för datan som signerades innebär detta också att det är omöjligt att förfalska en digital signatur. Den mest välanvända konstruktionen för att skapa digitala signaturer idag är RSA, som baseras på det svåra matematiska problemet att faktorisera heltal. Det finns dock andra matematiska problem som anses vara ännu svårare, vilket i praktiken innebär att nycklarna kan göras kortare, vilket i sin tur leder till att mindre minne behövs och att beräkningarna går snabbare. Ett sådant alternativ är att använda elliptiska kurvor. Det underliggande matematiska problemet för kryptering baserad på elliptiska kurvor skiljer sig från det som RSA bygger på, men de har en viss struktur gemensam. Syftet med detta examensarbete var att utvärdera hur elliptiska kurvor presterar jämfört med RSA, på ett system som är designat för att effektivt utföra RSA. De funna resultaten är att metoden med elliptiska kurvor ger stora fördelar, även om man nyttjar hårdvara avsedd för RSA, och att dessa fördelar ökar mångfaldigt om speciell hårdvara används. För några användarfall av digitala signaturer kan, under några år framöver, RSA fortfarande vara fördelaktigt om man bara tittar på hastigheten. För de flesta fall vinner dock elliptiska kurvor, och kommer troligen vara dominant inom kort.

Nowadays, the long-term identifier of a user in a mobile network, namely International Mobile Subscriber Identity or IMSI, is transmitted in clear text over the radiointerface. Given that this interface is used as a shared medium, anyone with a radio transceiver and processing software can thus read such identifier. This fact constitutes a threat to user privacy, considering that the user is traceable by following the presence of the identifier in the network. Moreover, the menace has been known in the literature for the last 25 years, but no countermeasures have been deployed because the severity was judged not to be sufficiently high. However, the current situation is different. One the one hand, the user is made more vulnerable: the needed equipment for catching IMSIs over the radio interface is becoming cheaper, while user-related connected devices are arising in the form of Internet of Things. On the other hand, mobile devices are now computationally more powerful, and the upcoming standardization of 5G represents an opportunity to address such issues. This dissertation presents a proposal to encrypt the IMSI based on Elliptic Curve Integrated Encryption Scheme, a public-key approach in which the long-term subscription identifier is concealed over the radio interface. By doing so, the IMSI is never publicly disclosed, and thus privacy is enhanced. Besides, research was conducted to show the technical feasibility of the proposal. First, the impact of the encrypted identifier on the network was studied. Secondly,the execution time needed for Android devices to perform encryption operations was measured. In both cases, the results were favorable, drawing the conclusion that there are no impediments to the adoption of the presented solution. The Thesis was developed in cooperation with Ericsson AB, Security Research. / Den långsiktiga identifieraren för en användare i ett mobilt nätverk, IMSI (International Mobile Subscriber Identity), överförs i klartext via radiogränssnittet. Med detta gränssnitt som delat medium kan någon med en radiomottagare och mjukvara läsasåna identierare. Detta utgör ett hot mot användarnas personliga integritet med tanke på att användaren kan spåras genom att följa förekomsten av identifierare i nätverket. Dessutom har hotet varit känt under de senaste 25 åren, men inga åtgärder har använts eftersom att risken bedömdes inte vara tillräckligt hög. Däremot är den nuvarande situationen annorlunda. Å ena sidan är användaren mer sårbar: den utrustning som behövs för att fånga IMSI över radiogränssnittet blir billigare medan antalet användarrelaterade anslutna enheter ökar. Å andra sidan kan moderna mobila enheter utföra mycket mer beräkningar, och den kommande standardiseringen av 5G utgör en möjlighet att lösa sådana problem. Rapporten presenterar ett förslag för att kryptera IMSI baserat på ECIES (Elliptic Curve Integrated Encryption Scheme), en asymmetrisk-kryptografi algoritm där den långsiktiga identifieraren är dold över radiogränssnittet. Genom att göra så avslöjas aldrig IMSI, och därmed förbättras den personliga integriteten. Dessutom har forskning bedrivits för att visa den tekniska genomförbarheten avförslaget. Först studerades effekten av den krypterade identifieraren i nätverket. Sedan mättes exekveringstiden som krävs för Android-enheter för att utföra krypteringsoperationer. I båda fallen var resultaten gynnsamma, och därav dras slutsatsen att det inte finns några hinder för antagandet av den presenterade lösningen. Denna rapport framställdes i samarbete med Ericsson AB, Security Research.

This thesis deals with creation of elliptic curves generator. MIRACL library and C++ language are used. One of important issues is to determine the order of the elliptic curve group. SEA algorithm (Schoof–Elkies–Atkin) is used for point counting on the elliptic curve. Method with this algorithm is called as counting points method, SEA method etc. Next method is CM method. Both methods are available in the generator. The measurements of dependency of basic operations speed on the group size and parameters were done. ECIES hybrid scheme was implemented. It is practical verification of proper functionality of the generator. Another benchmarks measured dependency of ECIES encryption and decryption on various parameters, e.g. size of the curve, generating method, message size etc.