Neste trabalho tratamos da solução de um problema não linear do tipo tração-difusão, na modelagem de dispersão de insetos. Começamos estabelecendo uma lei de conservação e a partir desta, deduzimos algumas equações importantes para o desenvolvimento do nosso estudo, tais como a equação de convecção, de difusão e simultaneamente convecção e difusão. Se considerarmos uma escala de tempo que possibilite a adição ou retirada de indivíduos no meio, conforme seja considerada reprodução, migração ou morte, podemos acrescentar ao processo difusivo um termo de reação, obtendo então, a equação do tipo reação-difusão. Se o temp de reação for deendendee da densidade populacional e do tipo logístico, obtém-se a equação de Fischer. Dessa equação abordamos alguns aspectos, tais como, determinação dos estados estacionários, análise da estabillidade dos mesmos, representação gráfica no plano de fase e por último investigamos a existência de solução do tipo onda viajante. Abordamos, também, alguns exemplos apresentados na literatura, envolvendo equação da difusão com coeficiente constante e com coeficiente dependente da densidade populacional. Além disso, apresentamos o resultados obtidos com a modelagem em tempo discreto, a partir de um trabalho experimental com besouros marcados para o experimento e depois liberados Banks et al (1985) , em que os autores admitiram uma variação temporal e a partir dos dados obtidos fizeram uma estimativa para o coeficiente de difusão D (t), bem como para o coeficiente de decaimento α(t) do termo de reação linear em u. Construimos curvas que se ajustam a essas alternativas e apresentamos esses coeficientes em versão continua D (t) e α(t), dependentes da variável tempo t. Através de uma abordagem numérica, os modelos foram comparadas da variável tempo t. Através de uma abordagem numérica, os modelos foram comparados para diversos casos, usando diferentes combinação de D constante e D variando no tempo, a constante e a variando no tempo. Além disso, analisamos tambén, o efeito da substituição do coeficiente de difusão D constante por D(t) na equação de Fisher.

Neste trabalho tratamos da solução de um problema não linear do tipo tração-difusão, na modelagem de dispersão de insetos. Começamos estabelecendo uma lei de conservação e a partir desta, deduzimos algumas equações importantes para o desenvolvimento do nosso estudo, tais como a equação de convecção, de difusão e simultaneamente convecção e difusão. Se considerarmos uma escala de tempo que possibilite a adição ou retirada de indivíduos no meio, conforme seja considerada reprodução, migração ou morte, podemos acrescentar ao processo difusivo um termo de reação, obtendo então, a equação do tipo reação-difusão. Se o temp de reação for deendendee da densidade populacional e do tipo logístico, obtém-se a equação de Fischer. Dessa equação abordamos alguns aspectos, tais como, determinação dos estados estacionários, análise da estabillidade dos mesmos, representação gráfica no plano de fase e por último investigamos a existência de solução do tipo onda viajante. Abordamos, também, alguns exemplos apresentados na literatura, envolvendo equação da difusão com coeficiente constante e com coeficiente dependente da densidade populacional. Além disso, apresentamos o resultados obtidos com a modelagem em tempo discreto, a partir de um trabalho experimental com besouros marcados para o experimento e depois liberados Banks et al (1985) , em que os autores admitiram uma variação temporal e a partir dos dados obtidos fizeram uma estimativa para o coeficiente de difusão D (t), bem como para o coeficiente de decaimento α(t) do termo de reação linear em u. Construimos curvas que se ajustam a essas alternativas e apresentamos esses coeficientes em versão continua D (t) e α(t), dependentes da variável tempo t. Através de uma abordagem numérica, os modelos foram comparadas da variável tempo t. Através de uma abordagem numérica, os modelos foram comparados para diversos casos, usando diferentes combinação de D constante e D variando no tempo, a constante e a variando no tempo. Além disso, analisamos tambén, o efeito da substituição do coeficiente de difusão D constante por D(t) na equação de Fisher.

Neste trabalho tratamos da solução de um problema não linear do tipo tração-difusão, na modelagem de dispersão de insetos. Começamos estabelecendo uma lei de conservação e a partir desta, deduzimos algumas equações importantes para o desenvolvimento do nosso estudo, tais como a equação de convecção, de difusão e simultaneamente convecção e difusão. Se considerarmos uma escala de tempo que possibilite a adição ou retirada de indivíduos no meio, conforme seja considerada reprodução, migração ou morte, podemos acrescentar ao processo difusivo um termo de reação, obtendo então, a equação do tipo reação-difusão. Se o temp de reação for deendendee da densidade populacional e do tipo logístico, obtém-se a equação de Fischer. Dessa equação abordamos alguns aspectos, tais como, determinação dos estados estacionários, análise da estabillidade dos mesmos, representação gráfica no plano de fase e por último investigamos a existência de solução do tipo onda viajante. Abordamos, também, alguns exemplos apresentados na literatura, envolvendo equação da difusão com coeficiente constante e com coeficiente dependente da densidade populacional. Além disso, apresentamos o resultados obtidos com a modelagem em tempo discreto, a partir de um trabalho experimental com besouros marcados para o experimento e depois liberados Banks et al (1985) , em que os autores admitiram uma variação temporal e a partir dos dados obtidos fizeram uma estimativa para o coeficiente de difusão D (t), bem como para o coeficiente de decaimento α(t) do termo de reação linear em u. Construimos curvas que se ajustam a essas alternativas e apresentamos esses coeficientes em versão continua D (t) e α(t), dependentes da variável tempo t. Através de uma abordagem numérica, os modelos foram comparadas da variável tempo t. Através de uma abordagem numérica, os modelos foram comparados para diversos casos, usando diferentes combinação de D constante e D variando no tempo, a constante e a variando no tempo. Além disso, analisamos tambén, o efeito da substituição do coeficiente de difusão D constante por D(t) na equação de Fisher.

Abordamos dois problemas que têm em comum a presença de múltiplas escalas de tempo. No primeiro problema, a questão é a interação entre espécies com tempos de desenvolvimento diferentes. O modelo analisado é uma interação presa-predador com múltiplas escalas de tempo, no qual as espécies se reproduzem e migram com frequência diferente uma da outra. Observou-se que a presença de mais de uma escala de tempo altera as regiões de estabilidade dos pontos de equilíbrio de coexistência e as densidades das espécies. O segundo problema considera diferentes escalas entre a movimentação e a dinâmica vital da própria espécie. Investigamos como a presença de múltiplas escalas de movimentação afeta dinâmicas metapopulacionais. Obtemos alguns resultados analíticos e depois realizamos simulações numéricas com modelos ecológicos especí cos. Constata-se que a consideração de múltiplas escalas de movimentação diminui a ocorrência de instabilidades causadas pela migração. / We approach two problems that have in common the presence of multiple time scales. In the rst problem, the question is the interaction between species with di erent development times. The model proposed is a predator-prey interaction in which predator and prey have di erent time scales in their reproduction and dispersal processes. We observed that the presence of more than one time scale modi es stability regions of equilibrium points and species densities. In the second problem, we consider di erent scales between the movement and the vital dynamic of the same specie. We investigated how the presence of multiple movement scales a ects metapopulation dynamics. We obtain analytical results and after we performed numerical simulations with speci c ecological models. We argue that the consideration of multiple movement scales decreases the occurrence of instability caused by migration.

Neste trabalho, um modelo metapopulacional composto por sítios distribuídos em duas escalas geográficas é proposto de modo a estudar a estabilidade de dinâmicas sincronizadas. Na escala local, grupos de sítios conectados por processo de dispersão de curta distância são formados. Na escala regional, dispersão de longo alcance é responsável por conectar os sítios que estão em diferentes grupos. A cada geração, consideramos que existem 3 processos envolvidos na dinâmica populacional: a) a dinâmica local, que consiste de reprodução e sobrevivência; b) a dispersão de indivíduos entre os sítios que formam um grupo por processo de dispersão de curta distância; e c) a dispersão de indivíduos entre os grupos por processo de dispersão de longo alcance. Analisamos a sincronização do modelo em duas escalas geográficas. Apresentamos um critério analítico para a sincronização onde todos os grupos de sítios evoluem com a mesma densidade. Analisamos também a possibilidade de um sincronismo total onde todos os sítios da rede seguem a mesma dinâmica. A existência desse estado nem sempre é garantida, mesmo considerando que todos os sítios tem a mesma dinâmica local. Através de simulações numéricas, discutimos os diferentes modos dos grupos de sítios sincronizarem. Isso depende de como os indivíduos são distribuídos nos sítios que compõem o habitat durante o processo de migração na escala regional. / In this work, a metapopulation model composed of patches distributed in two spatial scales is proposed in order to study the stability of synchronous dynamics. In a local scale, clusters of patches connected by short-range dispersal are assumed to be formed. In a regional scale, long distance dispersal is responsible to link patches that are in di erent clusters. During each time step, we assume that there are three processes involved in the population dynamics: a) the local dynamics, which consists of reproduction and survival; b) short-range dispersal of individuals between the patches of each cluster; and c) the movement between the clusters. We analyze the synchronization of the model in the two geographical scales. We present an analytic criterion for synchronization where only the cluster of patches in the regional scale evolve with the same dynamics, we then discuss the possibility of a full synchronism, where all patches in the network follow the same time evolution. The existence of such a state is not always ensured, even considering that all patches have the same local dynamics. Through numerical simulations, we discuss the di erent synchronization modes. It depends on how the individuals are distributed in the local patches that compose a habitat after migration takes place in the regional scale.

O estudo de sincronização de sistemas metapopulacionais tem despertado interesse em muitos estudiosos na área de biologia matemática, uma vez que é a partir da sincronização que podemos avaliar e prever o risco da extinção de espécies. Este presente trabalho propõe estudar os fatores que causam o fenômeno da sincronização de um modelo metapopulacional de uma única espécie, composta por n sítios discretos no tempo e no espaço, com taxa de reprodutividade intrínseca dependente do tempo. Consideramos a configuração da rede em forma de anéis cíclicos, matriz de iteração simétrica e migração independente da densidade. Apresentamos condições que o sistema deve satisfazer para obtermos sincronização, a qual é determinada por dois parâmetros distintos: o número de Lyapunov, que está relacionado à dinâmica local, e Lambda, que está relacionado à migração. O produto desses dois parâmetros estabelece um critério para estabilidade local assintótica de órbitas caóticas, possibilitando ou não a sincronia do sistema. Apresentamos resultados numéricos com a taxa de reprodução dependente do tempo através de medidas de distribuição, a fim de analisarmos o comportamento do modelo e a verificação do critério analítico para a sincronização. / The study of synchronization metapopulations systems has aroused interest in many scholars in the field of mathematical biology, since it is important to evaluate to evaluate and predict the risk of global extinction. The present work proposes to study the factors causing the phenomenon of synchronization of a metapopulation model of a single species, with n discrete patches in time and space, with intrinsic reproductive rate dependent on time. We consider the network configuration in the form of cyclic rings, symmetric iteration matrix and migration independent of density. We present conditions that the system must satisfy to obtain synchronization, which is determined by two distinct parameters: the number of Lyapunov, which is related to local dynamics, and Lambda, which is related to migration. The product of these two parameters provides a criterion for the local asymptotic stability of chaotic orbits, allowing or not the system synchronization. We present numerical results with the rate of reproduction time-dependent through distribution measures, in order to analyze the behavior of the model and verification of the analytical criterion for synchronization.

Abordamos dois problemas que têm em comum a presença de múltiplas escalas de tempo. No primeiro problema, a questão é a interação entre espécies com tempos de desenvolvimento diferentes. O modelo analisado é uma interação presa-predador com múltiplas escalas de tempo, no qual as espécies se reproduzem e migram com frequência diferente uma da outra. Observou-se que a presença de mais de uma escala de tempo altera as regiões de estabilidade dos pontos de equilíbrio de coexistência e as densidades das espécies. O segundo problema considera diferentes escalas entre a movimentação e a dinâmica vital da própria espécie. Investigamos como a presença de múltiplas escalas de movimentação afeta dinâmicas metapopulacionais. Obtemos alguns resultados analíticos e depois realizamos simulações numéricas com modelos ecológicos especí cos. Constata-se que a consideração de múltiplas escalas de movimentação diminui a ocorrência de instabilidades causadas pela migração. / We approach two problems that have in common the presence of multiple time scales. In the rst problem, the question is the interaction between species with di erent development times. The model proposed is a predator-prey interaction in which predator and prey have di erent time scales in their reproduction and dispersal processes. We observed that the presence of more than one time scale modi es stability regions of equilibrium points and species densities. In the second problem, we consider di erent scales between the movement and the vital dynamic of the same specie. We investigated how the presence of multiple movement scales a ects metapopulation dynamics. We obtain analytical results and after we performed numerical simulations with speci c ecological models. We argue that the consideration of multiple movement scales decreases the occurrence of instability caused by migration.

Neste trabalho, um modelo metapopulacional composto por sítios distribuídos em duas escalas geográficas é proposto de modo a estudar a estabilidade de dinâmicas sincronizadas. Na escala local, grupos de sítios conectados por processo de dispersão de curta distância são formados. Na escala regional, dispersão de longo alcance é responsável por conectar os sítios que estão em diferentes grupos. A cada geração, consideramos que existem 3 processos envolvidos na dinâmica populacional: a) a dinâmica local, que consiste de reprodução e sobrevivência; b) a dispersão de indivíduos entre os sítios que formam um grupo por processo de dispersão de curta distância; e c) a dispersão de indivíduos entre os grupos por processo de dispersão de longo alcance. Analisamos a sincronização do modelo em duas escalas geográficas. Apresentamos um critério analítico para a sincronização onde todos os grupos de sítios evoluem com a mesma densidade. Analisamos também a possibilidade de um sincronismo total onde todos os sítios da rede seguem a mesma dinâmica. A existência desse estado nem sempre é garantida, mesmo considerando que todos os sítios tem a mesma dinâmica local. Através de simulações numéricas, discutimos os diferentes modos dos grupos de sítios sincronizarem. Isso depende de como os indivíduos são distribuídos nos sítios que compõem o habitat durante o processo de migração na escala regional. / In this work, a metapopulation model composed of patches distributed in two spatial scales is proposed in order to study the stability of synchronous dynamics. In a local scale, clusters of patches connected by short-range dispersal are assumed to be formed. In a regional scale, long distance dispersal is responsible to link patches that are in di erent clusters. During each time step, we assume that there are three processes involved in the population dynamics: a) the local dynamics, which consists of reproduction and survival; b) short-range dispersal of individuals between the patches of each cluster; and c) the movement between the clusters. We analyze the synchronization of the model in the two geographical scales. We present an analytic criterion for synchronization where only the cluster of patches in the regional scale evolve with the same dynamics, we then discuss the possibility of a full synchronism, where all patches in the network follow the same time evolution. The existence of such a state is not always ensured, even considering that all patches have the same local dynamics. Through numerical simulations, we discuss the di erent synchronization modes. It depends on how the individuals are distributed in the local patches that compose a habitat after migration takes place in the regional scale.

Abordamos dois problemas que têm em comum a presença de múltiplas escalas de tempo. No primeiro problema, a questão é a interação entre espécies com tempos de desenvolvimento diferentes. O modelo analisado é uma interação presa-predador com múltiplas escalas de tempo, no qual as espécies se reproduzem e migram com frequência diferente uma da outra. Observou-se que a presença de mais de uma escala de tempo altera as regiões de estabilidade dos pontos de equilíbrio de coexistência e as densidades das espécies. O segundo problema considera diferentes escalas entre a movimentação e a dinâmica vital da própria espécie. Investigamos como a presença de múltiplas escalas de movimentação afeta dinâmicas metapopulacionais. Obtemos alguns resultados analíticos e depois realizamos simulações numéricas com modelos ecológicos especí cos. Constata-se que a consideração de múltiplas escalas de movimentação diminui a ocorrência de instabilidades causadas pela migração. / We approach two problems that have in common the presence of multiple time scales. In the rst problem, the question is the interaction between species with di erent development times. The model proposed is a predator-prey interaction in which predator and prey have di erent time scales in their reproduction and dispersal processes. We observed that the presence of more than one time scale modi es stability regions of equilibrium points and species densities. In the second problem, we consider di erent scales between the movement and the vital dynamic of the same specie. We investigated how the presence of multiple movement scales a ects metapopulation dynamics. We obtain analytical results and after we performed numerical simulations with speci c ecological models. We argue that the consideration of multiple movement scales decreases the occurrence of instability caused by migration.

O estudo de sincronização de sistemas metapopulacionais tem despertado interesse em muitos estudiosos na área de biologia matemática, uma vez que é a partir da sincronização que podemos avaliar e prever o risco da extinção de espécies. Este presente trabalho propõe estudar os fatores que causam o fenômeno da sincronização de um modelo metapopulacional de uma única espécie, composta por n sítios discretos no tempo e no espaço, com taxa de reprodutividade intrínseca dependente do tempo. Consideramos a configuração da rede em forma de anéis cíclicos, matriz de iteração simétrica e migração independente da densidade. Apresentamos condições que o sistema deve satisfazer para obtermos sincronização, a qual é determinada por dois parâmetros distintos: o número de Lyapunov, que está relacionado à dinâmica local, e Lambda, que está relacionado à migração. O produto desses dois parâmetros estabelece um critério para estabilidade local assintótica de órbitas caóticas, possibilitando ou não a sincronia do sistema. Apresentamos resultados numéricos com a taxa de reprodução dependente do tempo através de medidas de distribuição, a fim de analisarmos o comportamento do modelo e a verificação do critério analítico para a sincronização. / The study of synchronization metapopulations systems has aroused interest in many scholars in the field of mathematical biology, since it is important to evaluate to evaluate and predict the risk of global extinction. The present work proposes to study the factors causing the phenomenon of synchronization of a metapopulation model of a single species, with n discrete patches in time and space, with intrinsic reproductive rate dependent on time. We consider the network configuration in the form of cyclic rings, symmetric iteration matrix and migration independent of density. We present conditions that the system must satisfy to obtain synchronization, which is determined by two distinct parameters: the number of Lyapunov, which is related to local dynamics, and Lambda, which is related to migration. The product of these two parameters provides a criterion for the local asymptotic stability of chaotic orbits, allowing or not the system synchronization. We present numerical results with the rate of reproduction time-dependent through distribution measures, in order to analyze the behavior of the model and verification of the analytical criterion for synchronization.