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En este trabajo de memoria se demostró un teorema de existencia para la ecuación de Liouville con condición de borde no lineal: El primer paso en esta demostración consiste en la aproximación del problema original usando un ansatz de la solución que explota en m puntos cuando el parámetro épsilon tiende a cero, más un término de corrección, sobre el cual se obtienen un conjunto de ecuaciones que van a caracterizar la solución del problema principal. En el capítulo 4 se analizó el operador lineal asociado a estas ecuaciones y se encontró un resultado de solubilidad al modificar la ecuación con términos aditivos de coeficientes cj, j = 1, . . . , m. A continuación se estableció la existencia de una solución al problema no lineal con la modificación aditiva y se estudió su comportamiento en función de los puntos singulares. Se demostró que la solución del problema principal, dada por el hecho de encontrar un conjunto de puntos tales que cj = 0, ∀ j, puede ser reducida al análisis de los puntos críticos de una función φm. En el capítulo final se mostró que existen al menos dos de estos puntos críticos y en consecuencia al menos dos soluciones del problema principal que explotan en m puntos.

[ES] La cuantificación de incertidumbre involucra diversos métodos y técnicas computacionales para abordar las brechas inherentes en la modelización matemática de fenómenos reales. Estos métodos son especialmente útiles para modelar procesos biológicos, físicos y sociales que contienen elementos que no pueden ser determinados con precisión. Por ejemplo, la tasa de transmisión de una enfermedad infecciosa o la tasa de crecimiento de un tumor están influidas por factores genéticos, ambientales o de comportamiento que no se comprenden completamente, introduciendo incertidumbres que afectan los resultados. Esta tesis doctoral tiene como objetivo desarrollar y ampliar técnicas analíticas y computacionales para cuantificar la incertidumbre en sistemas de ecuaciones diferenciales aleatorias utilizando la función de densidad de probabilidad del sistema. Empleando el teorema de transformación de variables aleatorias y la ecuación de Liouville (continuidad), abordamos problemas de cuantificación de incertidumbre hacia adelante e inversos en sistemas aleatorios con datos reales. También diseñamos un método computacional para estimar eficientemente la densidad de probabilidad de un sistema resolviendo la ecuación de Liouville mediante aceleración de GPU. Finalmente, examinamos la evolución de la incertidumbre en una clase de sistemas forzados por impulsos, proporcionando nuevos conocimientos sobre la dinámica de sus funciones de densidad de probabilidad. / [CA] La quantificació d'incertesa involucra diversos mètodes i tècniques computacionals per a abordar les bretxes inherents en la modelització matemàtica de fenòmens reals. Aquests mètodes són especialment útils per a modelar processos biològics, físics i socials que contenen elements que no poden ser determinats amb precisió. Per exemple, la taxa de transmissió d'una malaltia infecciosa o la taxa de creixement d'un tumor estan influïdes per factors genètics, ambientals o de comportament que no es comprenen completament, introduint incerteses que afecten els resultats. Aquesta tesi doctoral té com a objectiu desenvolupar i ampliar tècniques analítiques i computacionals per a quantificar la incertesa en sistemes d'equacions diferencials aleatòries utilitzant la funció de densitat de probabilitat del sistema. Emprant el teorema de transformació de variables aleatòries i l'equació de Liouville (continuïtat), abordem problemes de quantificació d'incertesa cap endavant i inversos en sistemes aleatoris amb dades reals. També dissenyem un mètode computacional per a estimar eficientment la densitat de probabilitat d'un sistema resolent l'equació de Liouville mitjançant acceleració de GPU. Finalment, examinem l'evolució de la incertesa en una classe de sistemes forçats per impulsos, proporcionant nous coneixements sobre la dinàmica de les seues funcions de densitat de probabilitat. / [EN] Uncertainty quantification involves various methods and computational techniques to address inherent gaps in the mathematical modeling of real-world phenomena. These methods are particularly valuable for modeling biological, physical, and social processes that contain elements that cannot be precisely determined. For example, the transmission rate of an infectious disease or the growth rate of a tumor are influenced by genetic, environmental, or behavioral factors that are not fully understood, introducing uncertainties that impact outcomes. This PhD thesis aims to develop and extend analytical and computational techniques for quantifying uncertainty in random differential equation systems using a system's probability density function. By employing the random variable transformation theorem and the Liouville (continuity) equation, we tackle both forward and inverse uncertainty quantification problems in random systems with real-world data. We also design a computational method to efficiently estimate a system's probability density by solving the Liouville equation with GPU acceleration. Finally, we examine uncertainty evolution in a class of impulse-forced systems, providing new insights into the dynamics of their probability density functions. / Bevia Escrig, VJ. (2024). Advances in Random Differential Equations: Computational Methods and Multidisciplinary Applications [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/213911