Dans un contexte d'adaptabilité ciblée, l'erreur commise sur une quantité d'intérêt peut être représentée grâce aux erreurs globales des problèmes direct et adjoint. Cette représentation de l'erreur est majorée par la somme des indicateurs d'erreurs élémentaires. Ces derniers sont alors utilisés pour produire des raffinements de maillage optimaux. Dans ces travaux, nous proposons de représenter l’erreur du problème adjoint via un opérateur alternatif. L’avantage principal de notre approche est que lorsque l'on choisit correctement l'opérateur alternatif, la majoration correspondante de l'erreur à la quantité d'intérêt devient plus précise, pour autant l'adaptabilité issue de l'utilisation de ces nouveaux indicateurs s'en trouve améliorée. Ces représentations peuvent être employées pour concevoir des algorithmes adaptatifs en espace (h), en ordre d’approximation (p) ou les deux (hp), basés sur la norme d’énergie ou bien ciblés sur une quantité d'intérêt. Bien que la méthode puisse être appliquée à une large gamme de problèmes, nous nous concentrons tout d’abord sur des problèmes unidimensionnels (1D), comme le problème d’Helmholtz et le problème de convection-diffusion stationnaire à convection dominante. Les résultats numériques en 1D montrent que, pour les problèmes de propagation d'ondes, les avantages de notre méthode sont notoires lorsque l'on considère l'opérateur de Laplace pour la représentation de l'erreur. Plus précisément, les majorations issues de la nouvelle représentation sont plus précises que celles provenant de la méthode classique et ce si l'on considère l'énergie globale ou bien une quantité d'intérêt particulière. Le phénomène est d’autant plus notable lorsque l'erreur de dispersion (pollution) est significative. Le problème 1D de convection-diffusion stationnaire à convection dominante avec des conditions limites de Dirichlet homogènes présente une couche limite qui produit une perte de stabilité numérique. La nouvelle représentation d'erreur délivre des majorations plus précises. Lorsqu’appliquée à une p-adaptabilité ciblée, la représentation d'erreur alternative permet une capture plus efficace la couche limite, malgré les oscillations numériques parasites existantes. Devant ces résultats encourageants, nous nous penchons sur l'équation d'Helmholtz à deux et trois dimensions (2D et 3D). Nous montrons, au travers de multiples simulations numériques, que les majorations fournies par les représentations d'erreur alternatives sont plus précises que celle de la représentation classique. Lorsque l'on utilise les indicateurs d'erreur alternatifs, un processus naïf de p-adaptabilité ciblée converge, tandis que dans les mêmes conditions, la méthode classique échoue et requiert l'utilisation d'un opérateur de projection ou d'autre techniques pour récupérer la convergence. Dans ce travail, nous fournissons également des directives pour déterminer les opérateurs qui fournissent des représentations d’erreur induisant de majorations précises. Des résultats similaires sont aussi établis tant pour un problème 2D de convection-diffusion stationnaire à convection dominante que pour des problèmes 2D ayant des coefficients de matériaux discontinus. Nous considérons un problème de diagraphie ultra-sonique en cours de forage pour illustrer l'applicabilité de la méthode proposée. / In Goal-Oriented Adaptivity (GOA), the error in a Quantity of Interest (QoI) is represented using global error functions of the direct and adjoint problems. This error representation is subsequently bounded above by element-wise error indicators that are used to drive optimal refinements. In this work, we propose to replace, in the error representation, the adjoint problem by an alternative operator. The main advantage of the proposed approach is that, when judiciously selecting such alternative operator, the corresponding upper bound of the error representation becomes sharper, leading to a more efficient GOA. These representations can be employed to design novel h, p, and hp energy-norm and goal-oriented adaptive algorithms. While the method can be applied to a variety of problems, in this Dissertation we first focus on one-dimensional (1D) problems, including Helmholtz and steady state convection-dominated diffusion problems. Numerical results in 1D show that for the Helmholtz problem, it is advantageous to select the Laplace operator for the alternative error representation. Specifically, the upper bounds of the new error representation are sharper than the classical ones used in both energy-norm and goal-oriented adaptive methods, especially when the dispersion (pollution) error is significant. The 1D steady state convection-dominated diffusion problem with homogeneous Dirichlet boundary conditions exhibits a boundary layer that produces a loss of numerical stability. The new error representation based on the Laplace operator delivers sharper error upper bounds. When applied to a p-GOA, the alternative error representation captures earlier the boundary layer, despite the existing spurious numerical oscillations. We then focus on the two- and three-dimensional (2D and 3D) Helmholtz equation. We show via extensive numerical experimentation that the upper bounds provided by the alternative error representations are sharper than the classical ones. When using the alternative error indicators, a naive p-adaptive process converges, whereas under the same conditions, the classical method fails and requires the use of the so-called Projection Based Interpolation (PBI) operator or some other technique to regain convergence. We also provide guidelines for finding operators delivering sharp error representation upper bounds. / En un contexto de adaptatividad orientada a un objetivo, el error en una cantidad de interés está representado a través de los errores globales de los problemas directo y adjunto. Esta representación del error se acota superiormente por una suma de indicadores de error de cada elemento. Estos se utilizan para producir refinamientos óptimos. En este trabajo, proponemos representar el error del problema adjunto utilizando un operador alternativo. La principal ventaja de nuestro enfoque es que cuando se elige correctamente dicho operador alternativo, la correspondiente cota superior se vuelve más cercana al error en la cantidad de interés, lo que permite una adaptatividad más eficiente. Estas representaciones pueden ser utilizadas para diseñar algoritmos adaptativos en h, p o hp, basados en la norma de la energía o para aproximar una cantidad de interés específica. Aunque el método propuesto se puede aplicar a una amplia gama de problemas, en esta tesis doctoral nos centramos primero en problemas unidimensionales (1D), tales como el problema de Helmholtz y el problema estacionario de convección-difusión con convección dominante. Los resultados numéricos en 1D muestran que, para los problemas de propagación de ondas, las ventajas de este método son notorias cuando se considera el operador de Laplace para la representación del error. Específicamente, las cotas superiores derivadas de la nueva representación son más cercanas a la cantidad de interés que las del método convencional. Esto es cierto tanto para la norma de la energía global como para una cantidad de interés particular, especialmente cuando el error de dispersión es significativo. El problema estacionario 1D de convección-difusión con convección dominante y con condiciones de Dirichlet homogéneas tiene una capa límite que produce una pérdida de estabilidad numérica. La nueva representación del error proporciona cotas superiores más cercanas a la cantidad de interés. Cuando se aplica a un algoritmo adaptativo en p orientado a un objetivo, la representación alternativa del error captura antes la capa límite, a pesar de las existentes oscilaciones numéricas no físicas. En esta tesis doctoral, también nos centramos en la ecuación de Helmholtz en dos y tres dimensiones (2D y 3D). Mostramos a través de múltiples experimentos numéricos que las cotas superiores proporcionadas por las representaciones alternativas del error son más cercanas a la cantidad de interés que cuando uno considera la representación clásica. Al utilizar los indicadores alternativos del error, un algoritmo adaptativo en p sencillo converge, mientras que en las mismas condiciones, el método convencional falla y requiere el uso de operadores de proyección o de otras técnicas para recuperar la convergencia. En este trabajo, también determinamos operadores que proporcionan representaciones del error que inducen cotas superiores más ajustadas. Establecemos resultados similares tanto para el problema estacionario de convección-difusión con convección dominante en 2D como para problemas 2D con materiales discontinuos. Finalmente, se considera un problema sónico en pozos petrolíferos para ilustrar la aplicabilidad del método propuesto.

La finalidad de esta tesis es la obtención de las distribuciones de velocidades, presiones y temperaturas en la convección forzada de flujos compresibles en situaciones bidimensionales y de estabilización. Es a partir de estos valores que se determina la fricción y la transferencia de calor entre el fluido y el contorno o canalización.La tesis consta de cinco capítulos. En el primero, de carácter introductorio, se plantea la problemática de resolución de las ecuaciones que describen el comportamiento del flujo. Se analizan dos niveles de modelización. De una parte, y en base al concepto de capa límite introducido por L. Prandtl, se divide el dominio por el que circula el flujo en dos zonas: unas delgadas regiones próximas a los contornos sólidos en los que la fricción y la transferencia de calor son factores condicionantes, y el resto del dominio en el que el flujo puede considerarse como no viscoso, pudiéndose despreciar los efectos de la fricción y de la transferencia de calor. En el segundo nivel de modelización se plantea la resolución directa de las ecuaciones de continuidad, cantidad de movimiento y energía en todo el dominio.Los capítulos segundo, tercero y cuarto están dedicados al primer nivel de modelización indicado. En el segundo capítulo se resuelve el flujo potencial compresible en base a la discretización del dominio mediante la generación de mallas adaptables a los contornos. Se analizan diferentes criterios de discretización de las ecuaciones siendo los resultados numéricos obtenidos contrastados entre si y con los que se derivan del empleo de mallas de discretización rectangulares. El tercer capítulo trata de la resolución de las capas límites hidrodinámicas y térmicas mediante la integración numérica de la ecuaciones de conservación. Para el análisis de las capas límite turbulentas se ha utilizado los conceptos de viscosidad turbulenta y conductividad térmica turbulenta, empleándose expresiones semiempíricas en la descripción de dichas cantidades. Se estudian diversas situaciones contrastándose los resultados numéricos obtenidos con los que se derivan de estudios experimentales presentados por distintos autores. En el cuarto capítulo se efectúa la resolución conjunta de la zona potencial y de las capas límite en el marco de un algoritmo global de resolución. A modo ilustrativo se ha realizado el estudio del flujo de aire en una tobera o canalización convergente, analizándose aspectos tales como la compresibilidad del flujo y la transferencia de calor entre el fluido y los contornos sólidos limitantes. Los resultados que se derivan de la resolución numérica, supuestos los contornos adiabáticos, son contratados con los obtenidos experimentalmente en esta tesis y en una unidad de soplado del laboratorio. En el quinto y último capítulo se aborda el segundo nivel de modelización arriba indicado, si bien la atención se centra en ecuaciones genéricas del tipo convección-difusión. Así, partiendo de una distribución de velocidades conocida, se realiza la resolución de dicha ecuación en base a la generación de sistemas ortogonales de coordenadas curvilíneas coincidentes con las propias líneas de corriente del flujo. La precisión y zonas de aplicación del método numérico son puestas de manifiesto en situaciones singulares de solución analítica conocida. Los resultados obtenidos son satisfactorios en un amplio rango de números de Peclet, y claramente superiores a los que se derivan del empleo de mallas de discretización rectangulares. / The purpose of this thesis is to obtain velocity, pressure and temperature distributions in compressible flows under steady-state conditions.The thesis has five chapters. The first one introduces the mathematical formulation and two main strategies to solve the governing equations. The first one is based on a zonal model, which solved in a coupled manner the Euler and the boundary layer equations. The second level is based on the resolution of the Navier-Stokes equations in the whole domain.The next three chapters are devoted to the first level of modelization mentioned above. The second chapter solves the Euler equations of the inviscid flow based on the discretization of the domain by means of body-fitted meshes. Numerical solutions are also carefully verificated based on grid refinement techniques. Several numerical criteria for the discretization of the equations are presented and contrasted. The third chapter deals with the numerical integration of the hydrodynamic and thermal boundary layer equations using algebraic turbulence models extended to compressible flows. A study of the different parameters which influence on flow is presented.In the fourth chapter, a coupled procedure of the two zones (inviscid zone and boundary layers) is proposed within the framework of a global algorithm. By way of illustration the study of the compressible flow in a converging channel is carried out. Different aspects related to the compressibility of the flow and the heat transfers exchanged with the solid boundaries are studied. The mathematical model is validated against experimental results obtained in a specially designed set-up.In the fifth and final chapter, the second level of modelization is presented but only the part which refers to generic convection-diffusion equations. Thus, starting from a known velocity distribution, an analysis of different standard numerical schemes is performed together with a proposal of a new scheme to reduce the numerical false diffusion effects.