Las ecuaciones de Boussinesq son un tipo de ecuaciones derivadas de las ecuaciones de Euler y que modelan la propagación sensiblemente bidimensional de ondas largas de gravedad y de pequeña amplitud sobre la super cie de un canal. Un modelo de este tipo en un canal de fondo plano está dado por el sistema (P1)donde las variables adimensionales y w representan respectivamente, la de flección de la super ficie libre del líquido respecto a su posición de reposo y la velocidad horizontal del fluido a una profundidad de raíz cuadrada 2/3h; donde h es la profundidad del fluido en reposo. Dicho modelo es desde luego un sistema de ecuaciones diferenciales de Korteweg-de Vries acopladas a través de los efectos dispersivos y los términos no lineales. Por otro lado, el sistema (P1) al estar referido a un fl uido incompresible no viscoso no recoge los efectos de la viscosidad ; sin embargo al ser desacoplado podemos introducir tales efectos, resultando un sistema del tipo Korteweg-de Vries - Burger dado por (P2) En este trabajo se estudia el PVI asociado a (P2) en los espacios Hs estableciendo su buena formulación local para s > 3/2 y buena formulación global para s >= 2; en este último caso se muestra adicionalmente que la solución global decae asíntoticamente en el tiempo. Finalmente, se muestra que el PVI asociado a (P1) está bien formulado localmente como consecuencia de la buena formulación local de (P2). / Tesis

El objetivo en esta tesis consiste en demostrar la buena formulación local del problema de valor inicial donde u = u(x,t) para x E R y t >= 0 en los espacios de Sobolev clásicos H1/4(R). Para la demostración se utiliza el método de los estimados lineales de Kenig, Ponce y Vega con el fin de probar la existencia y unicidad de solución local de la ecuación integral asociada al PVI (1), además la dependencia continua de la solución respecto del dato inicial. La técnica usada para obtener estos resultados está basada en el teorema de punto fijo de Banach combinado con los efectos regularizantes del grupo de operadores unitarios asociados a la parte lineal. / Tesis

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El objetivo en esta tesis consiste en demostrar la buena formulación local del problema de valor inicial donde u = u(x,t) para x E R y t >= 0 en los espacios de Sobolev clásicos H1/4(R). Para la demostración se utiliza el método de los estimados lineales de Kenig, Ponce y Vega con el fin de probar la existencia y unicidad de solución local de la ecuación integral asociada al PVI (1), además la dependencia continua de la solución respecto del dato inicial. La técnica usada para obtener estos resultados está basada en el teorema de punto fijo de Banach combinado con los efectos regularizantes del grupo de operadores unitarios asociados a la parte lineal. / Tesis

Las ecuaciones de Boussinesq son un tipo de ecuaciones derivadas de las ecuaciones de Euler y que modelan la propagación sensiblemente bidimensional de ondas largas de gravedad y de pequeña amplitud sobre la super cie de un canal. Un modelo de este tipo en un canal de fondo plano está dado por el sistema (P1)donde las variables adimensionales y w representan respectivamente, la de flección de la super ficie libre del líquido respecto a su posición de reposo y la velocidad horizontal del fluido a una profundidad de raíz cuadrada 2/3h; donde h es la profundidad del fluido en reposo. Dicho modelo es desde luego un sistema de ecuaciones diferenciales de Korteweg-de Vries acopladas a través de los efectos dispersivos y los términos no lineales. Por otro lado, el sistema (P1) al estar referido a un fl uido incompresible no viscoso no recoge los efectos de la viscosidad ; sin embargo al ser desacoplado podemos introducir tales efectos, resultando un sistema del tipo Korteweg-de Vries - Burger dado por (P2) En este trabajo se estudia el PVI asociado a (P2) en los espacios Hs estableciendo su buena formulación local para s > 3/2 y buena formulación global para s >= 2; en este último caso se muestra adicionalmente que la solución global decae asíntoticamente en el tiempo. Finalmente, se muestra que el PVI asociado a (P1) está bien formulado localmente como consecuencia de la buena formulación local de (P2). / Tesis

El objetivo principal en este trabajo es estudiar el comportamiento asint´otico en el tiempo de las soluciones del problema de valor inicial ∂ᵘt+ ∂ᶟᵪu + α∂ᶟᵪv + uᵖ∂ᵪu + vp∂ᵛᵪ = 0 ∂tᵛ + ∂ᶟᵪ v + α∂ᶟᵪu + vᵖ∂ᵪᵛ + ∂ᵪ (uvᵖ) = 0 u (x, 0) = u₀ v (x, 0) = v₀, donde α es una constante real menor que 1. El sistema se considera para x ∈ R y t ≥ 0. El exponente p es un entero mayor o igual a 1. El sistema tiene la estructura de un par de ecuaciones de Korteweg-de Vries generalizadas acopladas a través de ambos efectos dispersivos y no lineales, y es un caso particular del sistema derivado por Gear y Grimshaw como un modelo para describir la interacción fuerte de ondas largas débilmente no lineales. Para esto se demuestra, mediante la teoría de T. Kato para ecuaciones de evolución cuasi lineales del tipo hiperbólico, que el problema está bien formulado localmente en los espacios clásicos de Sobolev Hs (R) × Hs (R) para s ≥ 3. Usando el método de la fase estacionaria analizamos la parte lineal del sistema y entonces usando la versión integral de nuestro problema se genera el siguiente resultado: existe una constante C > 0 tal que: II(u, v) (t)IIH³͚ ≤ C (1 + t)-⅓ cuando t → ∞, suponiendo que el dato inicial en t = 0 satisface las condiciones para p ≥ 4 y |α| < 1. / Tesis

El objetivo principal en este trabajo es estudiar el comportamiento asint´otico en el tiempo de las soluciones del problema de valor inicial ∂ᵘt+ ∂ᶟᵪu + α∂ᶟᵪv + uᵖ∂ᵪu + vp∂ᵛᵪ = 0 ∂tᵛ + ∂ᶟᵪ v + α∂ᶟᵪu + vᵖ∂ᵪᵛ + ∂ᵪ (uvᵖ) = 0 u (x, 0) = u₀ v (x, 0) = v₀, donde α es una constante real menor que 1. El sistema se considera para x ∈ R y t ≥ 0. El exponente p es un entero mayor o igual a 1. El sistema tiene la estructura de un par de ecuaciones de Korteweg-de Vries generalizadas acopladas a través de ambos efectos dispersivos y no lineales, y es un caso particular del sistema derivado por Gear y Grimshaw como un modelo para describir la interacción fuerte de ondas largas débilmente no lineales. Para esto se demuestra, mediante la teoría de T. Kato para ecuaciones de evolución cuasi lineales del tipo hiperbólico, que el problema está bien formulado localmente en los espacios clásicos de Sobolev Hs (R) × Hs (R) para s ≥ 3. Usando el método de la fase estacionaria analizamos la parte lineal del sistema y entonces usando la versión integral de nuestro problema se genera el siguiente resultado: existe una constante C > 0 tal que: II(u, v) (t)IIH³͚ ≤ C (1 + t)-⅓ cuando t → ∞, suponiendo que el dato inicial en t = 0 satisface las condiciones para p ≥ 4 y |α| < 1. / Tesis