Ingeniero Civil Matemático / Los resultados obtenidos en esta memoria pertenecen al área de problemas inversos en ecuaciones en derivadas parciales. El objetivo principal fue estudiar la estabilidad de parámetros en dos modelos de placas provenientes de la elasticidad lineal, en función de los datos en la frontera. Más especificamente, se estudiaron dos modelos de placas provenientes de la teoría de elasticidad lineal, para los cuales se encontraron desigualdades de estabilidad sobre potenciales en $L^\infty(\Omega)$ y $W^{1,\infty}(\Omega)$ respectivamente. La herramienta fundamental que se utilizó en las demostraciones y que también forman parte de los resultados principales son dos estimaciones de Carleman. Este tipo de desigualdades son ampliamente utilizadas en problemas inversos para probar estabilidad de parámetros y también en control para obtener desigualdades de observabilidad. Para $\Omega$ un dominio acotado de $\RR^N$ con frontera regular, $N\geq 2$ y $T>0$, se consideró la ecuación de placas de Kirchhoff-Love: $$ \begin{array}{l l} w_{tt} - \gamma_0\Delta w_{tt} + \Delta^2w + q(x)w= {g(x,t)} & \mbox{en } \Omega\times(0,T),\\ \end{array} $$ con condiciones de borde Navier (i.e. sobre $w|_{\partial\Omega}$ y $\Delta w|_{\partial\Omega}$). Aquí, $g$ es la fuente, $\gamma_0$ es una constante positiva, $q$ es un potencial en $L^\infty(\Omega)$ y en el caso $N=2$, $w$ representa la flexura de una placa delgada con respecto al plano horizontal. Para este problema se construyó una desigualdad de Carleman para funciones regulares, con observaciones en un segmento de la frontera del dominio. Como aplicación de lo anterior, se obtuvo una desigualdad de estabilidad Lipschitz, en donde se logró acotar la diferencia de dos potenciales en norma $L^2$ por la diferencia de las observaciones en norma $H^2(0,T;L^2(\partial\Omega))$ y $H^1(0,T;L^2(\partial\Omega))$. El segundo problema abordado en esta memoria fue el modelo de placas de Reissner-Mindlin: \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{l l} \theta_{tt} - \mbox{div}(\sigma(\theta)) -\displaystyle \mu^*(x)\,h_0^{-2}(\nabla w - \theta) = f(x,t) & \mbox{en } \Omega\times(0,T) \\ w_{tt} - \mbox{div}(\mu(x)(\nabla w - \theta)) + q(x)w = g(x,t) & \mbox{en } \Omega\times(0,T),\\ \end{array}\right. \end{equation*} con condiciones de borde Dirichlet y donde suponemos $\Omega$ dominio acotado en $\RR^2$ con frontera regular. El operador $\sigma(\cdot)$ est\'a relacionado con el tensor de esfuerzos de la elasticidad, $f$ y $g$ son fuentes, $h_0$ es una constante positiva que representa el espesor de la placa, $\mu^*$ se relaciona con los parámetros de Lamé y $q$ es un potencial en $W^(\Omega)$. Análogamente a los primeros resultados, se construyó una desigualdad de Carleman para este sistema, también con observaciones en la frontera y suponiendo funciones suficientemente regulares, la que luego fue aplicada en la obtención de la estabilidad H\"older del potencial $q$ en norma $L^2$ en función de las observaciones sobre el borde de $\Omega$ con normas $H^2(0,T;(L^2(\partial\Omega))^3)$ y $H^2(0,T;(H^1(\partial\Omega))^3)$. Se probó además la existencia, unicidad y regularidad de las soluciones para el sistema de Reissner-Mindlin, utilizando un método clásico que permite obtener resultados de este tipo. Este resultado resulta orignal ya que se consideran los parámetros de Lamé variables.

Estudia un sistema hiperbólico no lineal con un término discontinuo multivaluado y con término de amortiguamiento no lineal de segundo orden sobre la frontera, respecto a la existencia de solución generalizada y el comportamiento asintótico exponencial de su energía asociada al sistema dado por una ecuación específica. Se ha trabajado con la técnica dada por una consecuencia del Lema de Nakao, aplicada a energías definidas sobre subespacios finitamente generado, para luego, pasando al límite, obtener el decaimiento tanto, exponencial como polinomial. Se han tenido muchos cuidados con las estimativas de la energía tanto a derecha como a izquierda. Estas aproximaciones por energía definidas en subespacios finitamente generado pueden ser aplicables a otros problemas de E.D.P. Los problemas con inclusión diferencial generalmente se presentan en la teoría de decisiones y en la física, en especial en mecánica de sólidos. / Tesis

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