The purpose of the dissertation is to prove universal tight bounds for deviation from the mean probability inequalities for functions of random variables. Universal bounds shows that they are uniform with respect to some class of distributions and quantity of variables and other parameters. The bounds are called tight, if we can construct a sequence of random variables, such that the upper bounds are achieved. Such inequalities are useful for example in insurance mathematics, for constructing effective algorithms. We extend the results for Lipschitz functions on general probability metric spaces. / Disertacijos darbo tikslas – įrodyti universalias tiksliąsias nelygybes atsitiktinių dydžių funkcijų nukrypimo nuo vidurkio tikimybėms. Universalios nelygybės pažymi, kad jos yra tolygios pagal tam tikras bendras skirstinių klases ir pagal atsitiktinių dydžių kiekį, kartais ir pagal kitus parametrus. Nelygybės vadinamos tiksliosiomis, jeigu pavyksta sukonstruoti atsitiktinių dydžių seką, kuriai nelygybės virsta lygybėmis. Tokios nelygybės labai naudingos, pavyzdžiui, draudimo matematikoje, konstruojant efektyvius algoritmus. Disertaciją sudaro šeši skyriai. Pirmasis skyrius yra įvadas, kuriame neformaliai pristatomas disertacijoje tiriamas objektas, pateikiamas bendras darbo aprašymas ir motyvacija. Detalesnė kitų autorių rezultatų apžvalga pateikiama atskirai kiekviename skyriuje. Antrasis skyrius skirtas atvejui, kai atsitiktiniai dydžiai yra aprėžti ir simetriniai. Trečiajame skyriuje įrodomos nelygybės atsitiktiniams dydžiams, tenkinantiems dispersijos aprėžtumo sąlygą. Ketvirtajame skyriuje nagrinėjamos sąlyginai aprėžtų atsitiktinių dydžių sumos. Penktajame skyriuje tiriamos atsitiktinių dydžių sekos, sudarančios martingalą arba supermartingalą, ir joms gaunamos universaliosios tikimybinės nelygybės ir sukonstruojama nehomogeninė Markovo grandinė, kuri yra martingalas, ir kuriai minėtos nelygybės virsta lygybėmis. Šeštajame skyriuje rezultatai yra apibendrinami atsitiktinių dydžių sekos Lipšico funkcijoms.

Disertacijos darbo tikslas – įrodyti universalias tiksliąsias nelygybes atsitiktinių dydžių funkcijų nukrypimo nuo vidurkio tikimybėms. Universalios nelygybės pažymi, kad jos yra tolygios pagal tam tikras bendras skirstinių klases ir pagal atsitiktinių dydžių kiekį, kartais ir pagal kitus parametrus. Nelygybės vadinamos tiksliosiomis, jeigu pavyksta sukonstruoti atsitiktinių dydžių seką, kuriai nelygybės virsta lygybėmis. Tokios nelygybės labai naudingos, pavyzdžiui, draudimo matematikoje, konstruojant efektyvius algoritmus. Disertaciją sudaro šeši skyriai. Pirmasis skyrius yra įvadas, kuriame neformaliai pristatomas disertacijoje tiriamas objektas, pateikiamas bendras darbo aprašymas ir motyvacija. Detalesnė kitų autorių rezultatų apžvalga pateikiama atskirai kiekviename skyriuje. Antrasis skyrius skirtas atvejui, kai atsitiktiniai dydžiai yra aprėžti ir simetriniai. Trečiajame skyriuje įrodomos nelygybės atsitiktiniams dydžiams, tenkinantiems dispersijos aprėžtumo sąlygą. Ketvirtajame skyriuje nagrinėjamos sąlyginai aprėžtų atsitiktinių dydžių sumos. Penktajame skyriuje tiriamos atsitiktinių dydžių sekos, sudarančios martingalą arba supermartingalą, ir joms gaunamos universaliosios tikimybinės nelygybės ir sukonstruojama nehomogeninė Markovo grandinė, kuri yra martingalas, ir kuriai minėtos nelygybės virsta lygybėmis. Šeštajame skyriuje rezultatai yra apibendrinami atsitiktinių dydžių sekos Lipšico funkcijoms. / The purpose of the dissertation is to prove universal tight bounds for deviation from the mean probability inequalities for functions of random variables. Universal bounds shows that they are uniform with respect to some class of distributions and quantity of variables and other parameters. The bounds are called tight, if we can construct a sequence of random variables, such that the upper bounds are achieved. Such inequalities are useful for example in insurance mathematics, for constructing effective algorithms. We extend the results for Lipschitz functions on general probability metric spaces.