Este trabalho aborda o escoamento incompressível ao redor de um cilindro circular. A tese que se quer defender, com base em experimentos numéricos, é: A equação de Landau pode ser obtida a partir das equações de Navier-Stokes por uma análise de estabilidade não-linear global. A teoria produz um procedimento bem-definido para determinação dos coeficientes da equação de Landau, permitindo assim a sua interpretação como um modelo simplificado (equações reduzidas de Navier-Stokes) para a predição das forças aplicadas pelo fluido ao cilindro, que podem ser comparados com resultados experimentais. O modelo não-linear se baseia em uma teoria assintótica que, como se sabe, tem sua faixa de validade no espaço de parâmetros determinada a posteriori, por meio da própria comparação com dados de laboratório. Resultados na faixa 46 <= Re <= 80 são apresentados. Descobriu-se, que a faixa de aplicabilidade da teoria como aqui exposta é restrita, não excedendo em muito o valor crítico do número de Reynolds. Argumentos são expostos para justificar esta afirmação e possíveis maneiras de modificar a teoria para estender esta faixa são apresentadas. São reportados, ainda, teoria e resultados sobre um novo tipo de condição de contorno,denominado impedância fluida, que permite reduzir o tamanho do domínio de cálculo necessário para simulação de escoamentos externos, comparativamente à comumente utilizada condição de outflow. Neste caso, abordou-se a faixa 20 <= Re <= 600. / This work adresses the incompressible flow around a circular cylinder. What we want to prove, based on numerical experiments, reads: The Landau equation can be derived from the Navier-Stokes equations by means of a global nonlinear stability analysis. The theory leads to a procedure for calculating numerically the coefficients of these equation, thus permitting their interpretation as a simplified model - reduced Navier-Stokes equation - for the prediction of the forces applied by the fluid on the cylindrical structure, which can be compared against experimental data. The nonlinear model is based on an asymptotic theory which, as is known, has its validity range in the parameter space determined a posteriori. The focus lies in the range 46 <= Re <= 80. It was found that the theorys applicability range as presented here is restricted to a small neighborhood of Rec. This affirmation in justified and possible means of modifying the theory in order to enlarge this range are proposed. Theory and results concerning a new type of boundary condition called fluid impedance are also reported, permitting the reduction of the domain size necessary for simulating external flows, comparatively to the commonly used outflow condition. In this case, the range 20 <= Re <= 600 was considered.

Este trabalho aborda o escoamento incompressível ao redor de um cilindro circular. A tese que se quer defender, com base em experimentos numéricos, é: A equação de Landau pode ser obtida a partir das equações de Navier-Stokes por uma análise de estabilidade não-linear global. A teoria produz um procedimento bem-definido para determinação dos coeficientes da equação de Landau, permitindo assim a sua interpretação como um modelo simplificado (equações reduzidas de Navier-Stokes) para a predição das forças aplicadas pelo fluido ao cilindro, que podem ser comparados com resultados experimentais. O modelo não-linear se baseia em uma teoria assintótica que, como se sabe, tem sua faixa de validade no espaço de parâmetros determinada a posteriori, por meio da própria comparação com dados de laboratório. Resultados na faixa 46 <= Re <= 80 são apresentados. Descobriu-se, que a faixa de aplicabilidade da teoria como aqui exposta é restrita, não excedendo em muito o valor crítico do número de Reynolds. Argumentos são expostos para justificar esta afirmação e possíveis maneiras de modificar a teoria para estender esta faixa são apresentadas. São reportados, ainda, teoria e resultados sobre um novo tipo de condição de contorno,denominado impedância fluida, que permite reduzir o tamanho do domínio de cálculo necessário para simulação de escoamentos externos, comparativamente à comumente utilizada condição de outflow. Neste caso, abordou-se a faixa 20 <= Re <= 600. / This work adresses the incompressible flow around a circular cylinder. What we want to prove, based on numerical experiments, reads: The Landau equation can be derived from the Navier-Stokes equations by means of a global nonlinear stability analysis. The theory leads to a procedure for calculating numerically the coefficients of these equation, thus permitting their interpretation as a simplified model - reduced Navier-Stokes equation - for the prediction of the forces applied by the fluid on the cylindrical structure, which can be compared against experimental data. The nonlinear model is based on an asymptotic theory which, as is known, has its validity range in the parameter space determined a posteriori. The focus lies in the range 46 <= Re <= 80. It was found that the theorys applicability range as presented here is restricted to a small neighborhood of Rec. This affirmation in justified and possible means of modifying the theory in order to enlarge this range are proposed. Theory and results concerning a new type of boundary condition called fluid impedance are also reported, permitting the reduction of the domain size necessary for simulating external flows, comparatively to the commonly used outflow condition. In this case, the range 20 <= Re <= 600 was considered.

Esta tese apresenta o estudo da transição para um escoamento tridimensional da esteira de um cilindro oscilando. Esta é a transição secundária do escoamento ao redor de um cilindro, sendo a primária a própria esteira de von Kármán. A investigação é realizada na mesma faixa de número de Reynolds (Re) que ocorre a transição da esteira de um cilindro fixo: 200 Re 400. O estudo envolve simulações numéricas diretas bi- e tridimensionais do escoamento incompressível ao redor de um cilindro oscilando usando o método dos elementos espectrais. A transição também é analisada através do estudo de estabilidade linear do escoamento. O método de Gaston Floquet é adequado para a análise de estabilidade a perturbações tridimensionais devido à periodicidade característica da esteira de von Kármán. Além disto, o método é mais geral e não é aplicado somente a equações autônomas com soluções periódicas: ele também pode ser usado em análises cujo campo base é estacionário como a análise da transição primária da esteira de um cilindro. Mostra-se que a transição da esteira para tridimensionalidade é influenciada pela oscilação do cilindro. As oscilações podem atrasar a transição quando em amplitudes baixas e com escoamento a um número de Reynolds até 260. Em outros casos, a transição é similar à observada no escoamento ao redor um cilindro fixo. Além disso, quando há mudança de padrões de desprendimento de vórtices devido às oscilações, desencadeiam-se modos instáveis diferentes dos observados na esteira de um cilindro fixo. A comparação dos resultados da análise de estabilidade de Floquet com simulações numéricas diretas e experimentos publicados mostra na maioria dos casos que, apesar de ser uma análise de estabilidade linear, muitas características da análise persistem além do limiar de estabilidade. As situações com discrepâncias são identificadas nesta tese, como padrão de desprendimento diferentes em simulações bi- e tridimensionais na mesma situação. As causa das discrepâncias são estudadas através das simulações numéricas diretas e considerações sobre o sistema linearizado e a abrangência da análise de estabilidade. Em adição, mostra-se que há um limiar de amplitude de oscilação acima do qual a dinâmica da esteira, e portanto a transição secundária, é afetada. Abaixo deste limiar, retoma-se o comportamento do escoamento ao redor de um cilindro fixo. / This thesis presents the investigation of the transition to a three-dimensional flow in the wake of an oscillating circular cylinder. This is the secondary transition of the flow around a circular cylinder, while the primary transition leads to the von Kármán wake. The investigative work is performed in the Reynolds number (Re) range which occurs the secondary transition of the wake o a circular cylinder: 200 Re 400. The study consists of two- and three-dimensional direct numerical simulations of the incompressible flow around an oscillating circular cylinder by means of the spectral/hp method. The transition is also analyzed through linear stability study of the flow. The Gaston Floquet method is an appropriate method for this linear stability analysis to three-dimensional perturbations due to the typical periodicity of the von Kármán wake. Furthermore, the Floquet method is of a general kind and it is not specifically applied to autonomous equation with periodic solutions: it can be employed in analysis with a stationary base flow like the primary transition of the wake of a circular cylinder. The thesis shows that the transition to a three-dimensional wake is affected by the cylinder oscillation. The oscillations can delay the transition when they have low amplitudes and the flow has Reynolds number below 260. In other situations, the transition is similar to that observed in the flow of a fixed circular cylinder. In addition, when there is a change in the vortex shedding pattern due to the oscillatory motion, the observed unstable modes are different than those in a wake of a fixed circular cylinder. The comparison of the results from the Floquet stabilty analysis with the ones from direct numerical simulations and published experiments shows that in most cases, despite the linearization for the stability analysis, many features of the analysis persist beyond the instability threshold. The discrepant features observed are specified in this thesis, e.g. vortex shedding patterns different in two- and three-dimensional simulations with the same parameters. The cause of the discrepancies are studied through direct numerical simulations and careful considerations on the linearized system and the range of the stability analysis. In addition, this thesis shows that there is a threshold amplitude of oscillation for which the wake dynamics, therefore the secondary transition, is affected. Below this threshold, the wake behaves the same way as in the flow around a fixed circular cylinder.

Esta tese apresenta o estudo da transição para um escoamento tridimensional da esteira de um cilindro oscilando. Esta é a transição secundária do escoamento ao redor de um cilindro, sendo a primária a própria esteira de von Kármán. A investigação é realizada na mesma faixa de número de Reynolds (Re) que ocorre a transição da esteira de um cilindro fixo: 200 Re 400. O estudo envolve simulações numéricas diretas bi- e tridimensionais do escoamento incompressível ao redor de um cilindro oscilando usando o método dos elementos espectrais. A transição também é analisada através do estudo de estabilidade linear do escoamento. O método de Gaston Floquet é adequado para a análise de estabilidade a perturbações tridimensionais devido à periodicidade característica da esteira de von Kármán. Além disto, o método é mais geral e não é aplicado somente a equações autônomas com soluções periódicas: ele também pode ser usado em análises cujo campo base é estacionário como a análise da transição primária da esteira de um cilindro. Mostra-se que a transição da esteira para tridimensionalidade é influenciada pela oscilação do cilindro. As oscilações podem atrasar a transição quando em amplitudes baixas e com escoamento a um número de Reynolds até 260. Em outros casos, a transição é similar à observada no escoamento ao redor um cilindro fixo. Além disso, quando há mudança de padrões de desprendimento de vórtices devido às oscilações, desencadeiam-se modos instáveis diferentes dos observados na esteira de um cilindro fixo. A comparação dos resultados da análise de estabilidade de Floquet com simulações numéricas diretas e experimentos publicados mostra na maioria dos casos que, apesar de ser uma análise de estabilidade linear, muitas características da análise persistem além do limiar de estabilidade. As situações com discrepâncias são identificadas nesta tese, como padrão de desprendimento diferentes em simulações bi- e tridimensionais na mesma situação. As causa das discrepâncias são estudadas através das simulações numéricas diretas e considerações sobre o sistema linearizado e a abrangência da análise de estabilidade. Em adição, mostra-se que há um limiar de amplitude de oscilação acima do qual a dinâmica da esteira, e portanto a transição secundária, é afetada. Abaixo deste limiar, retoma-se o comportamento do escoamento ao redor de um cilindro fixo. / This thesis presents the investigation of the transition to a three-dimensional flow in the wake of an oscillating circular cylinder. This is the secondary transition of the flow around a circular cylinder, while the primary transition leads to the von Kármán wake. The investigative work is performed in the Reynolds number (Re) range which occurs the secondary transition of the wake o a circular cylinder: 200 Re 400. The study consists of two- and three-dimensional direct numerical simulations of the incompressible flow around an oscillating circular cylinder by means of the spectral/hp method. The transition is also analyzed through linear stability study of the flow. The Gaston Floquet method is an appropriate method for this linear stability analysis to three-dimensional perturbations due to the typical periodicity of the von Kármán wake. Furthermore, the Floquet method is of a general kind and it is not specifically applied to autonomous equation with periodic solutions: it can be employed in analysis with a stationary base flow like the primary transition of the wake of a circular cylinder. The thesis shows that the transition to a three-dimensional wake is affected by the cylinder oscillation. The oscillations can delay the transition when they have low amplitudes and the flow has Reynolds number below 260. In other situations, the transition is similar to that observed in the flow of a fixed circular cylinder. In addition, when there is a change in the vortex shedding pattern due to the oscillatory motion, the observed unstable modes are different than those in a wake of a fixed circular cylinder. The comparison of the results from the Floquet stabilty analysis with the ones from direct numerical simulations and published experiments shows that in most cases, despite the linearization for the stability analysis, many features of the analysis persist beyond the instability threshold. The discrepant features observed are specified in this thesis, e.g. vortex shedding patterns different in two- and three-dimensional simulations with the same parameters. The cause of the discrepancies are studied through direct numerical simulations and careful considerations on the linearized system and the range of the stability analysis. In addition, this thesis shows that there is a threshold amplitude of oscillation for which the wake dynamics, therefore the secondary transition, is affected. Below this threshold, the wake behaves the same way as in the flow around a fixed circular cylinder.