Les strates de l'espace de modules des di__erentielles ab_eliennes sont naturellementmunies d'un feuilletage holomorphe, appel_e feuilletage isop_eriodique (ou feuilletagesdes p_eriodes aboslues, ou encore feuilletage du noyau). Celui-ci a _et_e introduit il y a25 ans, d'abord par A. Eskin et M. Kontsevitch, puis par K. Calta et C. McMullenavant de devenir un objet important en dynamique de Teichmuller. La questiong_en_erale abord_ee dans ce texte est la suivante :Comment les feuilles du feuilletage isop_eriodique se r_epartissent-ellesdans l'espace de module ?McMullen a d_emontr_e l'ergodicit_e du feuilletage dans les strates principales (o_u toutesles singularit_es sont simples) en genre 2 et 3 en utilisant des techniques issue dela dynamique homog_ene. Calsamiglia, Deroin & Francaviglia ont ensuite _etenduce resulat et obtenu une classi_cation _a la Ratner des ensembles ferm_es satur_espar le feuilletage. Simultan_ement, Hamenstadt a fourni une preuve alternative del'ergodicit_e, toujours dans la strate principale. De fa_con _etonnante, le seul r_esulatconnu pour les autres strates est d^u _a P. Hooper et B. Weiss : les feuilles des surfacesde Arnoux-Yoccoz sont denses dans les strates qui les contiennent.La question de la dynamique du feuilletage isop_eriodique peut ^etre formul_ee dansle contexte plus g_en_eral des sous vari_et_es a_nes. Avila, Eskin et Moller ont prouv_eque la codimension des feuilles est alors paire. Le cas de la codimension 2, ou rang1, est d_ej_a riche. Nous _etablissons un cri_ete de densit_e des feuilles et l'appliquons_a di__erentes familles de vari_et_es a_nes de rang 1. Parmi celles-la, les lieux Prymoccupent une place importante. Nous d_emontrons dans ce cadre que les feuilles sontsoit ferm_ees, soit denses, en fonction de l'artithm_eticit_e du lieu. Dans le cas nonarithm_etique, nous prouvons que le feuilletage est ergodique pour la mesure a_neassoci_ee. Cela aboutit _a la d_ecouverte de nouvelles feuilles denses dans des strates _asingularit_es multiples. Ces r_esultats sugg_erent une connection entre la g_eometrie desvari_et_es a_nes et la dynamique isop_eriodique. L'exploitation de cette connection engenre 3 aboutit _a la classi_cation des vari_et_es a_nes non arithm_etiques ne provenantpas d'orbites ferm_ees dans les strates _a deux singularit_es. / The strata of the moduli space of abelian di_erentials are endowed with a naturalholomorphic foliation, known as the isoperiodic foliation (or absolute period foliationor kernel foliation). It has been introduced 25 years ago by A. Eskin and M. Kontsevichand later by K. Calta and C. McMullen before it became a central object inTeichmuller dynamics. The general question addressed in this text is the following:How do the leaves of the isoperiodic foliation wander around in themoduli space ?McMullen proved the ergodicity of the foliation in the principal stratum (where thesingularities of the abelian di_erentials are all simple) in genus 2 and 3 using resultsfrom group actions on homogeneous space. Calsamiglia, Deroin & Francavigliageneralized this result in higher genera and obtained a Ratner-like classi_cation ofthe closed saturated subsets. Simultaneously, Hamenstadt gave an alternative proofof the ergodicity. Surprisingly enough, for the strata where at least one zero isnot simple, the only result available was due to Hooper and Weiss: the leaf of theArnoux-Yoccoz surface is dense in the stratum in which it belongs.The question of the dynamics of the isoperiodic foliation can be rephrased in the moregeneral context of a_ne manifolds. Avila, Eskin, M^oller proved that the codimensionof the leaves is even. The codimension 2 case, also known as rank 1, already displaysa rich and contrasted picture. We give a criterion for density of the leaves, and applyit to di_erent families of rank one a_ne manifolds. Among those, special attention isdedicated to the Prym eigenform loci. We prove that the leaves are either compactor dense, depending on the arithmeticity of the locus. In the non arithmetic case, weprove that the foliation is ergodic with respect to the a_ne measure. In turn, thisgives new examples of dense leaves in strata where at least one of the singularity isnot simple. The aforementioned results suggest a connection between the dynamicsof the isoperiodic foliation and the geometry of a_ne manifolds. This connection isanalyzed in genus 3 and results in a classi_cation of the proper non arithmetic a_nemanifolds in strata with 2 singularities.

La recherche d'une compactification de l'ensemble des métriques Riemanniennes à singularités coniques sur une surface amène naturellement à l'étude des "surfaces à Courbure Intégrale Bornée au sens d'Alexandrov". Il s'agit d'une géométrie singulière, développée par A. Alexandrov et l'école de Leningrad dans les années 1970, et dont la caractéristique principale est de posséder une notion naturelle de courbure, qui est une mesure. Cette large classe géométrique contient toutes les surfaces "raisonnables" que l'on peut imaginer.Le résultat principal de cette thèse est un théorème de compacité pour des métriques d'Alexandrov sur une surface ; un corollaire immédiat concerne les métriques Riemanniennes à singularités coniques. On décrit dans ce manuscrit trois hypothèses adaptées aux surfaces d'Alexandrov, à la manière du théorème de compacité de Cheeger-Gromov qui concerne les variétés Riemanniennes à courbure bornée, rayon d'injectivité minoré et volume majoré. On introduit notamment la notion de rayon de contractibilité, qui joue le rôle du rayon d'injectivité dans ce cadre singulier.On s'est également attachés à étudier l'espace (de module) des métriques d'Alexandrov sur la sphère, à courbure positive le long d'une courbe fermée. Un sous-ensemble intéressant est constitué des convexes compacts du plan, recollés le long de leurs bords. A la manière de W. Thurston, C. Bavard et E. Ghys, qui ont considéré l'espace de module des polyèdres et polygones (convexes) à angles fixés, on montre que l'identification d'un convexe à sa fonction de support fait naturellement apparaître une géométrie hyperbolique de dimension infinie, dont on étudie les premières propriétés. / If we look for a compactification of the space of Riemannian metrics with conical singularities on a surface, we are naturally led to study the "surfaces with Bounded Integral Curvature in the Alexandrov sense". It is a singular geometry, developed by A. Alexandrov and the Leningrad's school in the 70's, and whose main feature is to have a natural notion of curvature, which is a measure. This large geometric class contains any "reasonable" surface we may imagine.The main result of this thesis is a compactness theorem for Alexandrov metrics on a surface ; a straightforward corollary concerns Riemannian metrics with conical singularities. We describe here three hypothesis which pair with the Alexandrov surfaces, following Cheeger-Gromov's compactness theorem, which deals with Riemannian manifolds with bounded curvature, injectivity radius bounded by below and volume bounded by above. Among other things, we introduce the new notion of contractibility radius, which plays the role of the injectivity radius in this singular setting.We also study the (moduli) space of Alexandrov metrics on the sphere, with non-negative curvature along a closed curve. An interesting subset is the set of compact convex sets, glued along their boundaries. Following W. Thurston, C. Bavard and E. Ghys, who considered the moduli space of (convex) polyhedra and polygons with fixed angles, we show that the identification between a convex set and its support function give rise to an infinite dimensional hyperbolic geometry, for which we study the first properties.