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Aquisição de frequência em sinais de satélites de baixa órbita por meio do critério da máxima correntropiaCavalcante, Hugo Rafael Gonçalves 16 February 2018 (has links)
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Previous issue date: 2018-02-16 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / Satélites de baixa órbita (LEO) se deslocam a altíssimas velocidades e são capazes
de circunscrever o planeta por diversas vezes em um mesmo dia. Esse ambiente muito
dinâmico induz valores consideráveis de deslocamento Doppler e aceleração Doppler nos
sinais de comunicações espaciais, o que é conhecido como deslocamento Doppler dinâmico.
Estabelecer comunicação com esses sistemas é um processo de múltiplas tarefas
e, devido ao deslocamento Doppler dinâmico, uma das mais críticas é a aquisição fina
da frequência da portadora. Diversos trabalhos já investigaram técnicas de estimação de
frequência de sinais de satélite considerando ambientes de comunicação caracterizados
pelo ruído aditivo Gaussiano branco (AWGN). Entretanto, os efeitos do ruído impulsivo
também devem ser considerados em uma caracterização mais fiel do cenário de comunicação
dos satélite LEO. Este trabalho introduz um novo método de aquisição de frequência
para satélites de baixa órbita baseado no cálculo de similaridade obtido com o critério
de máxima correntropia. A correntropia se mostra muito eficiente no processamento de
sinais com ruído não-gaussiano, especialmente em ambientes de ruído impulsivo. Foi investigada
a robustez da técnica proposta neste trabalho em um ambiente de comunicação
caracterizado pelo ruído impulsivo, e seu desempenho foi comparado com o obtido por
abordagens clássicas, baseadas no critério de erro médio quadrado. O método de aquisição
fina da frequência da portadora de satélites LEO proposto neste trabalho pode ser
usado no desenvolvimento de um decodificador completo para sinais do Sistema Brasileiro
de Coleta de Dados Ambientais (SBCD ou SBCDA) e o sistema Franco-Americano
de coleta de dados ambientais (ARGOS). / Low-earth orbit (LEO) satellites move at very high speeds and can circumscribe the
planet several times in a single day. These high dynamics environments induce considerable
Doppler shift and Doppler rate values in spatial communications signals, which
is known as dynamic Doppler shift. Establishing communication with these systems is
a multi-task process and, due to the dynamic Doppler shift, a critical task is the fine acquisition
of the carrier frequency. Several studies have investigated frequency estimation
techniques of satellite signals, considering communication environments characterized by
additive white Gaussian noise (AWGN). However, the effects of impulsive noise should
also be considered in a more accurate characterization of the LEO satellite communication
scenario. This work introduces a new method of frequency acquisition for low-orbit satellites
based on similarity calculus by maximum correntropy criterion. Due to some of its
properties, correntropy is very efficient in the processing of non-Gaussian signals, especially
in impulsive noise environments. It was investigated the robustness of the technique
proposed in this work on a communication environment characterized by impulsive noise,
and compare its performance with that obtained by a classical approach, based on the correlation
coefficient. The carrier frequency acquisition method for LEO satellites proposed
in this work can be used in the development of a decoder for signals from the Brazilian
Environmental Data Collection System (SBCD or SBCDA) and Franco-American Environmental
Data Collection System (ARGOS).
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Algoritmos evolutivos como estimadores de frequência e fase de sinais elétricos: métodos multiobjetivos e paralelização em FPGAs / Evolutionary algorithm as estimators of frequency and phase of electrical signal: multi objective methods and FPGA parallelizationSilva, Tiago Vieira da 19 September 2013 (has links)
Este trabalho propõe o desenvolvimento de Algoritmos Evolutivos (AEs) para estimação dos parâmetros que modelam sinais elétricos (frequência, fase e amplitude) em tempo-real. A abordagem proposta deve ser robusta a ruídos e harmônicos em sinais distorcidos, por exemplo devido à presença de faltas na rede elétrica. AEs mostram vantagens para lidar com tais tipos de sinais. Por outro lado, esses algoritmos quando implementados em software não possibilitam respostas em tempo-real para uso da estimação como relé de frequência ou Unidade de Medição Fasorial. O desenvolvimento em FPGA apresentado nesse trabalho torna possível paralelizar o cálculo da estimação em hardware, viabilizando AEs para análise de sinal elétrico em tempo real. Além disso, mostra-se que AEs multiobjetivos podem extrair informações não evidentes das três fases do sistema e estimar os parâmetros adequadamente mesmo em casos em que as estimativas por fase divirjam entre si. Em outras palavras, as duas principais contribuições computacionais são: a paralelização do AE em hardware por meio de seu desenvolvimento em um circuito de FPGA otimizado a nível de operações lógicas básicas e a modelagem multiobjetiva do problema possibilitando análises dos sinais de cada fase, tanto independentemente quanto de forma agregada. Resultados experimentais mostram superioridade do método proposto em relação ao estimador baseado em transformada de Fourier para determinação de frequência e fase / This work proposes the development of Evolutionary Algorithms (EAs) for the estimation of the basic parameters from electrical signals (frequency, phase and amplitude) in real time. The proposed approach must be robust to noise and harmonics in signals distorted, for example, due to the presence of faults in the electrical network. EAs show advantages for dealing with these types of signals. On the other hand, these algorithms when implemented in software cant produce real-time responses in order to use their estimations as frequency relay or Phasor Measurement Unit. The approach developed on FPGA proposed in this work parallelizes in hardware the process of estimation, enabling analyses of electrical signals in real time. Furthermore, it is shown that multi-objective EAs can extract non-evident information from the three phases of the system and properly estimate parameters even when the phase estimates diverge from each other. This research proposes: the parallelization of an EA in hardware through its design on FPGA circuit optimized at level of basic logic operations and the modeling of the problem enabling multi-objective analyses of the signals from each phase in both independent and aggregate ways. Experimental results show the superiority of the proposed method compared to an estimator based on Fourier transform for determining frequency and phase
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Algoritmos evolutivos como estimadores de frequência e fase de sinais elétricos: métodos multiobjetivos e paralelização em FPGAs / Evolutionary algorithm as estimators of frequency and phase of electrical signal: multi objective methods and FPGA parallelizationTiago Vieira da Silva 19 September 2013 (has links)
Este trabalho propõe o desenvolvimento de Algoritmos Evolutivos (AEs) para estimação dos parâmetros que modelam sinais elétricos (frequência, fase e amplitude) em tempo-real. A abordagem proposta deve ser robusta a ruídos e harmônicos em sinais distorcidos, por exemplo devido à presença de faltas na rede elétrica. AEs mostram vantagens para lidar com tais tipos de sinais. Por outro lado, esses algoritmos quando implementados em software não possibilitam respostas em tempo-real para uso da estimação como relé de frequência ou Unidade de Medição Fasorial. O desenvolvimento em FPGA apresentado nesse trabalho torna possível paralelizar o cálculo da estimação em hardware, viabilizando AEs para análise de sinal elétrico em tempo real. Além disso, mostra-se que AEs multiobjetivos podem extrair informações não evidentes das três fases do sistema e estimar os parâmetros adequadamente mesmo em casos em que as estimativas por fase divirjam entre si. Em outras palavras, as duas principais contribuições computacionais são: a paralelização do AE em hardware por meio de seu desenvolvimento em um circuito de FPGA otimizado a nível de operações lógicas básicas e a modelagem multiobjetiva do problema possibilitando análises dos sinais de cada fase, tanto independentemente quanto de forma agregada. Resultados experimentais mostram superioridade do método proposto em relação ao estimador baseado em transformada de Fourier para determinação de frequência e fase / This work proposes the development of Evolutionary Algorithms (EAs) for the estimation of the basic parameters from electrical signals (frequency, phase and amplitude) in real time. The proposed approach must be robust to noise and harmonics in signals distorted, for example, due to the presence of faults in the electrical network. EAs show advantages for dealing with these types of signals. On the other hand, these algorithms when implemented in software cant produce real-time responses in order to use their estimations as frequency relay or Phasor Measurement Unit. The approach developed on FPGA proposed in this work parallelizes in hardware the process of estimation, enabling analyses of electrical signals in real time. Furthermore, it is shown that multi-objective EAs can extract non-evident information from the three phases of the system and properly estimate parameters even when the phase estimates diverge from each other. This research proposes: the parallelization of an EA in hardware through its design on FPGA circuit optimized at level of basic logic operations and the modeling of the problem enabling multi-objective analyses of the signals from each phase in both independent and aggregate ways. Experimental results show the superiority of the proposed method compared to an estimator based on Fourier transform for determining frequency and phase
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Uma contribuição à análise espectral de sinais estacionários e não estacionáriosMenezes, Alam Silva 01 September 2014 (has links)
Submitted by Renata Lopes (renatasil82@gmail.com) on 2016-02-16T09:52:46Z
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alamsilvamenezes.pdf: 8301590 bytes, checksum: aed618e30f38206da4bf4f329924f87e (MD5) / Approved for entry into archive by Adriana Oliveira (adriana.oliveira@ufjf.edu.br) on 2016-02-26T12:30:53Z (GMT) No. of bitstreams: 1
alamsilvamenezes.pdf: 8301590 bytes, checksum: aed618e30f38206da4bf4f329924f87e (MD5) / Made available in DSpace on 2016-02-26T12:30:53Z (GMT). No. of bitstreams: 1
alamsilvamenezes.pdf: 8301590 bytes, checksum: aed618e30f38206da4bf4f329924f87e (MD5)
Previous issue date: 2014-09-01 / A presente tese propõe soluções ao problema da explicitação do conteúdo espectral de
processos estacionários e não estacionários, com aplicações na estimação de frequência,
estimação da densidade espectral de potência e no monitoramento do espectro. A técnica
de estimação de frequência proposta nesta tese, baseada na warped discrete Fourier
transform, apresenta, de acordo com as simulações computacionais, o melhor desempenho
frente às demais técnicas comparadas, atingindo o Cramer-Rao bound para uma ampla
faixa de relação sinal ruído. Em relação a estimação da densidade espectral de potência,
a Hartley Multitaper method, proposta nesta tese, apresenta desempenho similar à
multitaper method, em termos da variância de estimação e da polarização do espectro,
mas simpli cação de implementação. Uma técnica para monitoramento do espectro para
sistemas power line communication é proposta, levando em consideração o conceito de
quanta e a diversidade observada quando os sinais são aquisitados a partir da rede de
energia elétrica e do ar. Baseando-se em sinais sintéticos, gerados em computador, assim
como dados de medição do espectro, obtidos utilizando uma antena e o cabo de energia
elétrica como elementos sensores, veri fica-se que o desempenho da técnica proposta supera
a monitoração padrão, sobretudo quando a diversidade gerada pelo cabo e pela antena
sobre o sinal monitorado é explorada na detecção. / This dissertation aims at discussing solutions to deal with spectral analysis of stationary
and non-stationary processes for frequency estimation, power spectral density estimation
and spectral monitoring applications. The frequency estimation techniques are assessed
through computer simulations. The proposed technique for frequency estimation is
based on warped discrete Fourier transform outperforms other techniques, achieving the
Cramer-Rao Bound for a wide range of signal to noise ratio. Regarding the power spectral
density estimation, the proposed Hartley Multitaper Method shows similar performance,
in terms of variance of estimates and polarization spectrum; however, it can simplify
the implementation complexity. The introduced spectrum sensing technique is based on
quanta de nition and the diversity o ered by the signals acquired from the electric power
grids and the air. Based on computer-generation data and those one obtained during a
measurement campaign, which one in this thesis is evaluated using synthetic signals, generated
by computer, as well as measurement data of the spectrum. The numerical results
show that the proposed technique outperforms a previous technique and can attain the
very detection ratio and the very low false alarm when the diversity yielded by electric
power grid and air is exploited.
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Compensação das formas de onda distorcidas pela saturação de transformadores de corrente com auxílio da estimação de frequência / Compensation of secondary current waveforms distorted by current transformers saturation with the aid of frequency estimationSantos, Eduardo Machado dos 02 March 2015 (has links)
Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / This work presents innovative methods for detection and correction of the distorted portions of the secondary current waveforms, which occur due to the core saturation of current transformers (CTs). The detection technique is based on the analysis of the plans formed by the secondary current (i2) and their difference-functions (deln). The distance between consecutive points in these plans has a significant increase when saturation occurs, bucking the trend during the undistorted intervals, which are not corrupted by CT saturation. Additionally, the proposed correction of these signals is based on a technique of curve fitting by least squares, which uses the frequency signal estimated from the secondary current signals as a parameter of compensation. The aforementioned frequency signal is estimated using the Mathematical Morphology operators of dilation and erosion, which are used to estimate future values of the α and β signals obtained from the Clarke Transform. Computational simulations of short circuits were performed to obtain the secondary current signals distorted by CT saturation. The detection method was evaluated in terms of the ability to identify saturation intervals and its speed of response. Moreover, the correction technique was evaluated in terms of the compensation accuracy and its processing time. Calculations of transient error and the use of a full cycle Fourier filter were the basis for the qualitative analysis of the performance of the correction technique. The tests revealed that the combination of the proposed techniques ensures excellent accuracy during correction signals distorted by saturation, showing that the proposals constitute a robust tool for use in numerical relays, increasing the reliability of protection schemes in situations involving the saturation of TCs. / Este trabalho apresenta métodos inovadores para detecção e correção dos trechos distorcidos da forma de onda dos sinais da corrente secundária, que ocorrem em virtude da saturação do núcleo dos transformadores de corrente (TCs). A técnica de detecção é fundamentada na análise dos planos formados pela corrente secundária (i2) e suas funções-diferença (deln). A distância entre pontos consecutivos nesses planos tem um aumento significativo quando a saturação ocorre, contrariando a tendência durante os intervalos não distorcidos por saturação. Além disso, a proposta para correção desses sinais utiliza uma técnica de ajuste de curvas por Mínimos Quadrados, a qual emprega o sinal de frequência estimado a partir dos sinais da corrente secundária como parâmetro de compensação. O referido sinal de frequência é estimado por uma metodologia fundamentada em Morfologia Matemática, cujos operadores de dilatação e erosão são utilizados para estimação de valores futuros dos sinais α e β, obtidos a partir da Transformada de Clarke. Simulações computacionais de curtos-circuitos foram realizadas para a obtenção dos sinais da corrente secundária distorcida por saturação. O método de detecção foi avaliado em termos da capacidade de reconhecimento dos intervalos de saturação e velocidade de resposta. Ainda, a técnica de correção foi avaliada com relação à precisão da compensação e do tempo de processamento. Cálculos de erro transitório e a utilização de um filtro de Fourier de ciclo completo foram a base para a análise qualitativa do desempenho da técnica de correção. Os testes revelaram que a combinação entre as técnicas propostas garante excelente precisão durante a correção dos sinais distorcidos por saturação, mostrando que as propostas constituem uma ferramenta robusta para aplicação em relés numéricos, aumentando a confiabilidade dos esquemas de proteção em situações que envolvam a saturação dos TCs.
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Estimadores de frequência aplicados a sistemas elétricos de potência / Frequency estimators applied to electrical power systemMarchesan, Gustavo 08 March 2013 (has links)
The frequency estimation is a problem widely studied in many fields including electric power systems. Several methods have been proposed for this purpose, and most of them perform well when the signal is not distorted by harmonics or noises. This paper presents two new methods based on Artificial Neural Networks for frequency estimation. Both use Clarck s transform to generate a phasor that represent the system s signal. In the first methodology this phasor is normalized and feeds the Generalized Regression Neural Network, that ponders the values. At the end it s obtained a phasor where noisy and harmonics are attenuated. The neural network output is then used to calculate the electrical system frequency. Otherwise, the second methodology uses the Adaptive Linear Neural Network. This work tested also various methodologies of frequency estimation proposed in other knowledge fields such as radar, sonar, communications, biomedicine and aviation however with electrical power systems signals. These methods are: Lavopa (proposed by Lavopa et al. 2007), Quinn (proposed by Quinn, 1994), Jacobsen (proposed by Jacobsen e Kootsookos, 2007), Candan (proposed by Candan, 2011), Macleod (proposed by Macleod, 1998), Aboutanios (proposed by Aboutanios, 2004), Mulgrew (proposed by Aboutanios e Mulgrew, 2005), Ferreira (proposed by Ferreira 2001) e DPLL (proposed by Sithamparanathan, 2008). With the exception of DPLL the remaining methods are based on the Discrete Fourier Transform and seek the spectrum frequency peak to than find the fundamental frequency. The nine methodologies are compared with the proposed methods and with the commonly techniques used or studied for electric power systems. Tests include noisy signals, harmonics, sub-harmonics, frequency variations on step, ramp and sinusoidal, also variations on voltage and phase are considered. The tests also include a simulated signal where a load block is inserted and immediately after removed from the system. At the end a comparison is made between the techniques, been able to point each technique advantage and disadvantage trough the comparison identify the best methods to be applied on electrical power systems. / A estimação de frequência é um problema muito estudado em diversas áreas, dentre elas a dos sistemas elétricos de potência. Inúmeras metodologias foram propostas para esse fim, sendo que a maioria delas apresenta bom desempenho quando o sinal não está distorcido por componentes harmônicas ou ruídos. Este trabalho propõe duas novas metodologias fundamentadas em Redes Neurais Artificiais, de modo a estimar a frequência. Elas utilizam a transformada de Clarck para gerar um fasor que representa o sinal trifásico do sistema. Na primeira metodologia, esse fasor é normalizado e alimenta a Rede Neural de Regressão Generalizada, que faz a ponderação dos valores. Ao final, obtém-se um fasor em que ruídos e harmônicas são atenuados. A saída da rede neural é, então, utilizada para o cálculo da frequência do sistema elétrico. A segunda metodologia utiliza a Rede Neural Linear Adaptativa. Neste trabalho, também são testadas, para uso em sistemas elétricos de potência, diversas metodologias propostas em outras áreas de conhecimento, tais como radar, sonar, comunicação, biomedicina e aviação. São elas: Lavopa (proposta por Lavopa et al. 2007), Quinn (proposta por Quinn, 1994), Jacobsen (proposta por Jacobsen e Kootsookos, 2007), Candan (proposta por Candan, 2011), Macleod (proposta por Macleod, 1998), Aboutanios (proposta por Aboutanios, 2004), Mulgrew (proposta por Aboutanios e Mulgrew, 2005), Ferreira (proposta por Ferreira 2001) e DPLL (proposta por Sithamparanathan, 2008). Com exceção da DPLL, os demais métodos são fundamentados na transformada discreta de Fourier e buscam encontrar o pico do espectro de frequências, para, então, encontrar a frequência fundamental. As nove metodologias são comparadas juntamente com os métodos propostos e as técnicas já comumente usadas ou estudadas para sistemas elétricos. Os testes incluem sinais com ruídos, harmônicas, sub-harmônicas, variações de frequência em degrau, rampa e senoidal, variações de fase e tensão em degrau. Os testes ainda incluem um sinal provindo de simulação em que um bloco de carga é inserido e logo após retirado do sistema. Ao final é realizada uma comparação entre as técnicas, sendo possível identificar as vantagens e desvantagens de cada uma e, assim, indicar as melhores a serem usadas em sistemas elétricos de potência.
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Modelagem computacional de funções de proteção baseadas em medidas de frequência para detecção de ilhamento de geração distribuída / Computational modeling of frequency-based protection functions for distributed generation islanding detectionMotter, Daniel 28 January 2014 (has links)
O ilhamento em sistemas elétricos contendo geração distribuída ocorre quando parte da rede elétrica torna-se eletricamente isolada da concessionária e o subsistema isolado continua a ser energizado por geradores distribuídos. É importante detectar essa condição, que pode, por exemplo, levar a problemas como alteração da qualidade da energia elétrica e religamento automático fora de sincronismo, causando danos irreversíveis aos equipamentos da rede elétrica. Uma forma de detecção do ilhamento é o uso de funções de proteção de frequência e suas variações, tais como a função de taxa de variação de frequência e a função de deslocamento de fase (ou salto de vetor). Neste contexto, é importante que se tenham modelos computacionais e analíticos confiáveis dessas funções de proteção para que sejam executadas simulações, permitindo validar ajustes e verificar condições anormais de operação. O objetivo desta dissertação é desenvolver e validar modelos computacionais e analíticos das funções de proteção de sub/sobre frequência, taxa de variação de frequência e deslocamento de fase, empregados na detecção de ilhamento de geradores distribuídos. Os modelos computacionais são desenvolvidos em uma plataforma que permite realizar simulações dinâmicas em tempo real. A validação dos modelos é efetuada utilizando funções de proteção existentes em relés comerciais. A avaliação de desempenho dos modelos em relação à proteção anti-ilhamento é realizada utilizando o conceito das curvas de desempenho, as quais foram obtidas a partir de simulações computacionais em tempo real e em malha fechada pelo uso de um simulador digital em tempo real. Os resultados permitem comprovar a efetividade dos modelos para representar as funções de proteção dos relés comerciais ensaiados, com erros abaixo de 3% para uma ampla faixa de pontos de operação do sistema elétrico e do gerador distribuído. / Islanding in power distribution systems with distributed generators occurs when part of the electrical network becomes isolated from the electrical company and the isolated area is still energized by distributed generation. It is important to detect this condition which can lead to problems such as low power quality levels and out of step reclosing, causing severe equipment damages. One of the island detection methods is the use of frequency protection functions and their variations, such as the rate of change of frequency relay and phase shift relay (or vector surge relay). In this context, it is important to obtain reliable relay computational and analytical models to execute simulations that allow verifying and validating settings, and investigating abnormal operation conditions. This dissertation aims to develop and validate computational and analytical models of under and over frequency, rate of change of frequency and phase shift protection functions applied to distributed generation islanding detection. The computational model development is performed on a real time dynamic simulation platform. The model validations are performed using protection functions of commercial relays. The models performance evaluation and validation were carried out by using the performance curves, which are obtained through real time closed loop simulations using a real time digital simulator. The results prove the model effectiveness to represent commercial protection functions, with errors below 3% for a wide range of distribution system and distributed generator operating conditions.
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Modelagem computacional de funções de proteção baseadas em medidas de frequência para detecção de ilhamento de geração distribuída / Computational modeling of frequency-based protection functions for distributed generation islanding detectionDaniel Motter 28 January 2014 (has links)
O ilhamento em sistemas elétricos contendo geração distribuída ocorre quando parte da rede elétrica torna-se eletricamente isolada da concessionária e o subsistema isolado continua a ser energizado por geradores distribuídos. É importante detectar essa condição, que pode, por exemplo, levar a problemas como alteração da qualidade da energia elétrica e religamento automático fora de sincronismo, causando danos irreversíveis aos equipamentos da rede elétrica. Uma forma de detecção do ilhamento é o uso de funções de proteção de frequência e suas variações, tais como a função de taxa de variação de frequência e a função de deslocamento de fase (ou salto de vetor). Neste contexto, é importante que se tenham modelos computacionais e analíticos confiáveis dessas funções de proteção para que sejam executadas simulações, permitindo validar ajustes e verificar condições anormais de operação. O objetivo desta dissertação é desenvolver e validar modelos computacionais e analíticos das funções de proteção de sub/sobre frequência, taxa de variação de frequência e deslocamento de fase, empregados na detecção de ilhamento de geradores distribuídos. Os modelos computacionais são desenvolvidos em uma plataforma que permite realizar simulações dinâmicas em tempo real. A validação dos modelos é efetuada utilizando funções de proteção existentes em relés comerciais. A avaliação de desempenho dos modelos em relação à proteção anti-ilhamento é realizada utilizando o conceito das curvas de desempenho, as quais foram obtidas a partir de simulações computacionais em tempo real e em malha fechada pelo uso de um simulador digital em tempo real. Os resultados permitem comprovar a efetividade dos modelos para representar as funções de proteção dos relés comerciais ensaiados, com erros abaixo de 3% para uma ampla faixa de pontos de operação do sistema elétrico e do gerador distribuído. / Islanding in power distribution systems with distributed generators occurs when part of the electrical network becomes isolated from the electrical company and the isolated area is still energized by distributed generation. It is important to detect this condition which can lead to problems such as low power quality levels and out of step reclosing, causing severe equipment damages. One of the island detection methods is the use of frequency protection functions and their variations, such as the rate of change of frequency relay and phase shift relay (or vector surge relay). In this context, it is important to obtain reliable relay computational and analytical models to execute simulations that allow verifying and validating settings, and investigating abnormal operation conditions. This dissertation aims to develop and validate computational and analytical models of under and over frequency, rate of change of frequency and phase shift protection functions applied to distributed generation islanding detection. The computational model development is performed on a real time dynamic simulation platform. The model validations are performed using protection functions of commercial relays. The models performance evaluation and validation were carried out by using the performance curves, which are obtained through real time closed loop simulations using a real time digital simulator. The results prove the model effectiveness to represent commercial protection functions, with errors below 3% for a wide range of distribution system and distributed generator operating conditions.
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