Orientadores: Helena Judith Nussenzveig Lopes, Milton da Costa Lopes Filho / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-16T19:55:10Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Bronzi_AnneCaroline_D.pdf: 2733933 bytes, checksum: 87251756cbb4b7f97bdfe363274bea04 (MD5) Previous issue date: 2010 / Resumo: Neste trabalho estudamos o conceito de solução fraca de equações que modelam fluidos ideais incompressíveis. Mais precisamente, estudamos exemplos que evidenciam deficiências na definição de solução fraca das equações de Euler. Um exemplo é o fluxo de Shnirelman, que é uma solução fraca das equações de Euler, no toro bidimensional, com suporte compacto no tempo. Isso implica que as soluções fracas das equações de Euler não são únicas. Nesse trabalho construímos uma aproximação numérica do fluxo de Shnirelman, com o objetivo de obter uma visualização da estrutura do fluxo. Em um trabalho conjunto com Shnirelman, modificamos a construção original a fim de obter um fluxo com uma estrutura física mais interessante e através da qual a visualização da cascata inversa de energia se torna mais clara. Recentemente, De Lellis e Székelyhidi também construíram soluções fracas das equações de Euler, no espaço todo, com suporte compacto no tempo e espaço. A técnica utilizada por eles é inovadora e se mostrou eficiente na construção de contra-exemplos variados. Utilizamos a técnica desenvolvida por De Lellis e Székelyhidi para construir soluções fracas das equações de Euler 2D com traçador passivo que tenham suporte compacto no tempo e espaço. Por fim, em nosso trabalho também estudamos as equações de Euler com simetria helicoidal, tendo demonstrado existência global, no tempo, de soluções fracas, na ausência de rodopio helicoidal, desde que a vorticidade inicial esteja em Lp, com p > 4=3, e seja de suporte compacto no plano, periódico na direção axial. Este resultado representa uma melhoria em relação ao estado da arte, devido a Ettinger e Titi, que é a boa-colocação no caso de domínio limitado e com vorticidade inicial limitada / Abstract: In this work we study the concept of weak solution of the incompressible ideal flow equations. More precisely, we study examples that highlight the shortcomings of the definition of weak solution for the Euler equations. An example is Shnirelman's flow, which is a weak solution of the Euler equations, on the bidimensional torus, compactly supported in time. This implies that weak solutions of the Euler equations are not unique. In this work we construct a numerical approximation of Shnirelman's flow, in order to visualize the structure of the flow. In joint work with Shnirelman, we modified the original construction in order to obtain a flow with more interesting physical structure whereby the visualization of the inverse energy cascade is clearer. Recently, De Lellis and Székelyhidi also constructed weak solutions of the Euler equations, in the whole space, with compact support in time and space. The technique used by them is innovative and has proved to be very effective in the construction of several counter-examples. We used the technique developed by De Lellis and Székelyhidi in order to construct weak solutions of the 2D Euler equations, coupled with a passive tracer, which are compactly supported in time and space. Finally, in our work we also studied the Euler equations with helical symmetry; we proved global existence, in time, of weak solutions, in the absence of helical swirl, provided that the initial vorticity lies in Lp, with p > 4=3, and has compact support in the plane, periodic in the axial direction. This result represents an improvement with respect to the state of art, due to Ettinger and Titi, who established the well-posedness, for bounded helical domains, assuming that the initial vorticity is bounded / Doutorado / Matematica / Doutor em Matemática

Orientadores: Helena Judith Nussenzveig Lopes, Milton da Costa Lopes Filho / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-24T23:48:14Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Benvenutti_MaiconJose_D.pdf: 1286407 bytes, checksum: 1303364ce9343f87bf8bf6fddeb273be (MD5) Previous issue date: 2014 / Resumo: Neste trabalho, abordamos questões de existência de soluções fracas e de estabilidade não-linear para as equações de Euler incompressíveis. Mais precisamente, analisamos dois tópicos distintos dentro destes assuntos. No primeiro, consideramos as equações de Euler sob a simetria helicoidal e com a restrição geométrica de ser livre de rodopio. Assim, utilizando as reduções provenientes da simetria, estendemos as técnicas de estabilidade desenvolvidas por Burton e por Wan e Pulvirenti para o caso helicoidal. Consequentemente, para um domínio helicoidal, simplesmente conexo, suave e limitado nos planos horizontais, demonstramos que o ponto de máximo estrito da energia cinética restrito à classe de rearranjos de uma função helicoidal qualquer é uma vorticidade helicoidal estacionária e estável num sentido não-linear. Além disto, em um domínio cilíndrico, mostramos também que há uma vorticidade helicoidal estacionária e estável que pode ser vista como uma extensão do vortex patch circular. No segundo tópico, consideramos as equações de Euler bidimensionais e com dados iniciais que não decaem no infinito. Demonstramos que os vortex patches iniciais abrangidos pelo Teorema de Existência de Soluções de Serfati (isto é, soluções com velocidades e vorticidades limitadas) não podem conter bolas arbitrariamente grandes. Além disto, construímos um contra exemplo de um vortex patch com velocidade associada limitada e tal que existe um subconjunto cujo vortex patch não possui uma velocidade associada limitada / Abstract: In this work, we approach issues regarding weak solutions existences and nonlinear stability for the incompressible Euler equations. More precisely, we analyze two distinct issues within these topics. At first, we consider the Euler equations with helical symmetry and with no swirl. Then, we use the reduction through symmetry to extend the stability techniques developed by Burton and by Wan and Pulvirenti to the helical case. Consequently, for a simply connected, bounded in horizontal planes and smooth helical domain, we prove that the strict maximiser of kinetic energy relative to all rearrangement of an arbitrary helical function is a steady and stable helical vorticity. Furthermore, in a cylindrical domain, we also prove that there exists a steady and stable helical vorticity which can be seen as an extension of the circular vortex patch. On the second issue, we consider the two-dimensional Euler equations and with initial data that do not decay at infinity. We show that initial vortex patches covered by Serfati Existence of Solutions Theorem (that is, solutions with bounded velocities and vorticities) cannot contain arbitrarily large balls. In addition, we construct a counterexample of a vortex patch for which there exists an associated bounded velocity and such that there exists a subset in which the vortex patch does not have any associated bounded velocity / Doutorado / Matematica / Doutor em Matemática

Orientadores: Helena Judith Nussenzveig Lopes, Milton da Costa Lopes Filho / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-21T02:48:33Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Silva_LuizAlbertoViana_D.pdf: 1535000 bytes, checksum: dc971611cbda75b2a6dd72a0bd80d05f (MD5) Previous issue date: 2012 / Resumo: Um problema clássico em aberto é determinar se, em domínios com fronteira, soluções das equações de Navier-Stokes convergem, em um sentido apropriado, a uma solução das equações de Euler quando a viscosidade do fluido tende a zero. Baseados nesta importante questão, Kelliher, Lopes Filho e Nussenzveig Lopes examinaram, em [21], o comportamento de escoamentos com viscosidade pequena em domínios limitados com fronteira afastada, e descreveram condições precisas para que o escoamento limite fosse regido pelas equações de Euler no espaço todo. O presente trabalho é uma continuação natural do artigo mencionado, pois analisamos a dinâmica de escoamentos tridimensionais incompressíveis com viscosidade pequena em torno de obstáculos distantes. Mais precisamente, apresentamos uma estimativa fina que indica um comportamento assintótico para famílias de soluções das equações de Navier-Stokes em termos da viscosidade do escoamento e da localização do obstáculo, e contrastamos a referida estimativa com aquela demonstrada no contexto dos escoamentos em domínios limitados / Abstract: It is a classical open problem to determine if the vanishing viscosity limit can be established in the presence of boundaries. Based on this important issue, Kelliher, Lopes Filho and Nussenzveig Lopes studied in [21] the behavior of viscous incompresible flow in an expanding bounded domain when the viscosity is very small. To be more precise, these three authors described conditions under which the limiting flow satisfies the full space Euler equations. The present work is natural continuation of the aforementioned research since we consider 3D incompressible viscous flows around a distant obstacle along with the vanishing viscosity limit. Specificly, we obtain such a polynomial decay which shows an asymptotic behavior of families of 3D incompressible viscous flows, in the exterior of a single smooth obstacle, in terms of both the obstacle position and the small viscosity. Our approach allows us to compare our rate of convergence to that ones proved in [21] / Doutorado / Matematica / Doutor em Matemática