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La thèse est consacrée au problème fondamental de l'excitation et de la manipulation de systèmes quantiques à spectre d'énergie discret, via des champs lasers externes. Nous examinons le problème semi-classique à deux états quantiques, dépendant du temps, lorsque le champ électromagnétique externe est résonant ou quasi résonant pour deux des nombreux niveaux du système. La thèse est centrée sur la description analytique de l'évolution non adiabatique des systèmes quantiques soumis à une excitation par des configurations de champs avec croisements de niveaux. Dans la présente thèse, nous classifions l’ensemble complet des modèles quantiques à deux états semi-classiques dépendants du temps, qui peuvent être résolus en cinq fonctions de la classe de Heun.Les principaux résultats de la thèse sont :1. Au total, 61 classes infinies de modèles à deux états (i.e. les configurations de champ laser externe) solubles en termes de fonctions de Heun générale et confluentes sont dérivées.2. Dans ces classes infinies, trois sous-modèles originaux avec croisements de niveaux sont identifiés: l'un décrit les croisements infinis de résonance (périodiques), l'autre décrit les croisements de résonance asymétrique avec un temps de processus fini et le dernier décrit les processus de croisements infinis de résonance asymétrique. Le comportement du système quantique à deux états dans ces configurations de champ est analysé de manière exhaustive.3. Les solutions des équations de Heun en termes de fonctions bêta incomplètes, de fonctions hypergéométriques confluentes de Kummer et de fonctions Hermite d'ordre non entier sont construites.4. Des solutions analytiques du problème quantique à deux états sont projetées sur les équations d'onde relativistes et non relativistes : de nouveaux potentiels pour les équations de Schrödinger et de Klein-Gordon sont dérivés et résolus. / The thesis is devoted to the fundamental problem of excitation and manipulation of quantum systems, having discrete energy spectrum, via external laser fields. We examine the semiclassical time- dependent quantum two-state problem, when the external electromagnetic field is resonant or quasi-resonant for some two of many levels of the system. The focus of the thesis is on the analytic description of the non- adiabatic evolution of quantum systems subject to excitation by level-crossing field configurations. In the present thesis we classify the complete set of the semiclassical time-dependent quantum two-state models solvable in terms of the five function of the Heun class.Main results of the thesis are:1. In total 61 infinite classes of two-state models (i.e. external laser field configurations) solvable in terms of general and confluent Heun functions are derived.2. In these infinite classes three original level-crossing submodels are identified: one describes infinite (periodical) crossings of resonance, one describes asymmetric resonance crossing with a finite time of process and the last one describes infinite asymmetric resonance crossing process. The behavior of the two-state quantum system under these field configurations is comprehensively analyzed.3. Solutions of the Heun equations in terms of incomplete Beta functions, Kummer confluent hypergeometric functions and non-integer-order Hermite functions of a shifted and scaled argument are constructed.4. Analytic solutions of the quantum two-state problem are projected on the relativistic and non-relativistic wave-equations: new potentials for the Schrödinger and Klein-Gordon equations are derived and solved.

L’objectif de cette thèse est l’étude des différents aspects de l’interaction à quelques corps entre des atomes de Rydberg froids. Cette thèse a été réalisée dans le cadre d’une cotutelle entre l’Université Paris-Saclay et l’Université de Pise en travaillant sur deux différents montages expérimentaux sur des atomes de Rydberg froids : respectivement sur le Cs au Laboratoire Aimé Cotton et sur le Rb au département de Physique de l’Université de Pise. Au Laboratoire Aimé Cotton nous avons démontré l’existence des nouvelles interactions à quelques corps dans un gas gelé d’atomes de Rydberg. Ces nouvelles résonances sont la généralisation des résonances de Förster bien connues dans le domaine des atomes de Rydberg. Ces résonances agissent sur les degrés de liberté interne des atomes de Rydberg et ont l’effet d’un transfert résonant d’énergie et de population comme dans le cas des FRET (Fluorescence Resonance Energy Transfer). Comme dans le cas de la résonance de Förster à deux corps, les résonances FRET à trois corps sont accordées à la résonance avec un champ électrique externe et peuvent être observées pour différents nombres quantique principaux. Les effets à trois corps sont observés en absence de tout effet à deux corps et sont qualifiés de Borroméens. La présence d’un champ externe peut générer d’autres résonances entre atomes de Rydberg qui sont interdites en absence de champ électrique. Ces résonances, qu’on peut qualifier des résonances quasi-interdites, sont dues à un couplage dipole-dipole de type Förster. Nous avons identifié toutes ces résonances liées au couplage entre les niveaux de multiplicité de n différents.Dans le montage expérimental à Pise on a étudié les effets mécaniques liés à la répulsion van der Waals entre atomes de Rydberg. Nous avons étudié l’expansion due à l’interaction van der Waals dans une chaîne 1D des atomes de Rydberg de Rb qui ont étés excités avec une excitation laser hors résonance. La comparaison entre les différents désaccords de l’excitation laser démontre le rôle central joué par l’interaction van der Waals. / The aim of this thesis is to investigate different aspects of few-body interactions in cold Rydberg atoms. It has been realized in a co-tutelle program between the University of Paris-Saclay and the University of Pisa working on two different experimental set ups: one at Laboratoire Aimé Cotton on cold Cs Rydberg atoms and a second at Physics Department of Pisa on cold Rb Rydberg atoms. In Laboratoire Aimé Cotton we demonstrated the existence of new few-body interactions we observed in a frozen Rydberg gas of Cs atoms. These new resonances are a generalization of already known two-body Förster resonances. They act on the internal degrees of freedom of the Rydberg atoms leading to a resonant energy transfer analogous to the one in FRET (Fluorescence Resonance Energy Transfer). In analogy with Förster resonance, three-body FRETs are tuned with an external electric field and can be observed for different principal quantum number. The three-body interaction appeared in the absence of any two-body ones and for this reasons it has a Borromean character. The presence of this external electric field leads to additional resonances between Rydberg atoms supposedly forbidden. These resonances, we call quasi-forbidden Förster resonances, are due to dipole-dipole interaction as in the case of Förster resonance. We investigated these resonances finding a large number close to the allowed two-body and three-body FRET. A precise study was necessary in order to identify and discriminate these resonances from the allowed ones.In the experiment in Pisa we instead focus our attention on the mechanical effect of van der Waals repulsion between Rydberg atoms. We studied the spatial expansion due to a van der Waals interaction in a 1D chain of Rb Rydberg atoms excited with an off-resonant laser excitation. The comparison of the spatial expansion for different detuning of the laser excitation reveals the central role of the van der Waals interaction whose strength is equal to the detuning of the laser excitation.