In this master thesis, a real-time control system that stabilizes the rotational rates of a tri-copter, has been studied. The tricopter is a rotorcraft with three rotors. The tricopter has been modelled and identified, using system identification algorithms. The model has been used in a Kalman filter to estimate the state of the system and for design ofa model based controller. The control approach used in this thesis is a model predictive controller, which is a multi-variable controller that uses a quadratic optimization problem to compute the optimal con-trol signal. The problem is solved subject to a linear model of the system and the physicallimitations of the system. Two different types of algorithms that solves the MPC problem have been studied. These are explicit MPC and the fast gradient method. Explicit MPC is a pre-computed solution to the problem, while the fast gradient method is an online solution. The algorithms have been simulated with the Kalman filter and were implemented on themicrocontroller of the tricopter.

<p>Arbetet har utförts på Saab Bofors Dynamics AB i Linköping och dess syfte är att undersöka möjligheten att applicera teorin för prediktionsreglering, Model Predictive Control (MPC), på guidance systemet i en missil av typen Medium Range Air-to-Air Missiles (MRAAM). Även implementering via Explicit MPC har undersökts. </p><p>I tidigare studier har det visat sig att den moderna slutfasstyrningsalgoritmen Linear Quadratic Augmented Proportional Navigation (LQAPN), som återkopplar missilens acceleration och rotation, uppvisar en bättre prestanda än de mer klassiska styrlagarna. Det främsta intresset med denna studie är därför att undersöka hur tillvida en styrlag baserad på MPC kan mäata sig med dessa resultat. Fördelen med att använda MPC är framförallt att man kan ta hänsyn till styrsignalbegränsningar på ett direkt och intuitivt sätt. </p><p>En nackdel med MPC är beräkningstiden. På senare år har dock forskning bedrivits för att ta fram en variant av MPC som beräknar styrsignalen explicit som en affin funktion av det aktuella tillståndet. Denna metod kallas Explicit MPC och har betraktats som en separat metod i detta arbete. </p><p>Styrlagen baserad på MPC kallas i detta arbete för Model Predictive Control Augmented Proportional Navigation (MPCAPN) och utmärker sig framförallt i två fall. Dels då så kallade händelsestyrda simuleringar studeras, då den uppvisar ett klart bättre resultat än vad som erhålls med en styrlag baserad på Linear Quadratic Augmented Proportional Navigation (LQAPN). Även vid beräkningar av skjutzoner blir resultaten ibland bättre. Framförallt förbättras den inre skjutgränsen för flygscenariet då målet utför en så kallad ”tunnelroll”.</p>

Arbetet har utförts på Saab Bofors Dynamics AB i Linköping och dess syfte är att undersöka möjligheten att applicera teorin för prediktionsreglering, Model Predictive Control (MPC), på guidance systemet i en missil av typen Medium Range Air-to-Air Missiles (MRAAM). Även implementering via Explicit MPC har undersökts. I tidigare studier har det visat sig att den moderna slutfasstyrningsalgoritmen Linear Quadratic Augmented Proportional Navigation (LQAPN), som återkopplar missilens acceleration och rotation, uppvisar en bättre prestanda än de mer klassiska styrlagarna. Det främsta intresset med denna studie är därför att undersöka hur tillvida en styrlag baserad på MPC kan mäata sig med dessa resultat. Fördelen med att använda MPC är framförallt att man kan ta hänsyn till styrsignalbegränsningar på ett direkt och intuitivt sätt. En nackdel med MPC är beräkningstiden. På senare år har dock forskning bedrivits för att ta fram en variant av MPC som beräknar styrsignalen explicit som en affin funktion av det aktuella tillståndet. Denna metod kallas Explicit MPC och har betraktats som en separat metod i detta arbete. Styrlagen baserad på MPC kallas i detta arbete för Model Predictive Control Augmented Proportional Navigation (MPCAPN) och utmärker sig framförallt i två fall. Dels då så kallade händelsestyrda simuleringar studeras, då den uppvisar ett klart bättre resultat än vad som erhålls med en styrlag baserad på Linear Quadratic Augmented Proportional Navigation (LQAPN). Även vid beräkningar av skjutzoner blir resultaten ibland bättre. Framförallt förbättras den inre skjutgränsen för flygscenariet då målet utför en så kallad ”tunnelroll”.

The main topic of this thesis is model predictive control (MPC) of an unstable fighter aircraft. When flying it is important to be able to reach, but not exceed the aircraft limitations and to consider the physical boundaries on the control signals. MPC is a method for controlling a system while considering constraints on states and control signals by formulating it as an optimization problem. The drawback with MPC is the computational time needed and because of that, it is primarily developed for systems with a slowly varying dynamics. Two different methods are chosen to speed up the process by making simplifications, approximations and exploiting the structure of the problem. The first method is an explicit method, performing most of the calculations offline. By solving the optimization problem for a number of data sets and thereafter training a neural network, it can be treated as a simpler function solved online. The second method is called fast MPC, in this case the entire optimization is done online. It uses Cholesky decomposition, backward-forward substitution and warm start to decrease the complexity and calculation time of the program. Both methods perform reference tracking by solving an underdetermined system by minimizing the weighted norm of the control signals. Integral control is also implemented by using a Kalman filter to observe constant disturbances. An implementation was made in MATLAB for a discrete time linear model and in ARES, a simulation tool used at Saab Aeronautics, with a more accurate nonlinear model. The result is a neural network function computed in tenth of a millisecond, a time independent of the size of the prediction horizon. The size of the fast MPC problem is however directly affected by the horizon and the computational time will never be as small, but it can be reduced to a couple of milliseconds at the cost of optimality.

Numerical algorithms for efficiently solving optimal control problems are important for commonly used advanced control strategies, such as model predictive control (MPC), but can also be useful for advanced estimation techniques, such as moving horizon estimation (MHE). In MPC, the control input is computed by solving a constrained finite-time optimal control (CFTOC) problem on-line, and in MHE the estimated states are obtained by solving an optimization problem that often can be formulated as a CFTOC problem. Common types of optimization methods for solving CFTOC problems are interior-point (IP) methods, sequential quadratic programming (SQP) methods and active-set (AS) methods. In these types of methods, the main computational effort is often the computation of the second-order search directions. This boils down to solving a sequence of systems of equations that correspond to unconstrained finite-time optimal control (UFTOC) problems. Hence, high-performing second-order methods for CFTOC problems rely on efficient numerical algorithms for solving UFTOC problems. Developing such algorithms is one of the main focuses in this thesis. When the solution to a CFTOC problem is computed using an AS type method, the aforementioned system of equations is only changed by a low-rank modification between two AS iterations. In this thesis, it is shown how to exploit these structured modifications while still exploiting structure in the UFTOC problem using the Riccati recursion. Furthermore, direct (non-iterative) parallel algorithms for computing the search directions in IP, SQP and AS methods are proposed in the thesis. These algorithms exploit, and retain, the sparse structure of the UFTOC problem such that no dense system of equations needs to be solved serially as in many other algorithms. The proposed algorithms can be applied recursively to obtain logarithmic computational complexity growth in the prediction horizon length. For the case with linear MPC problems, an alternative approach to solving the CFTOC problem on-line is to use multiparametric quadratic programming (mp-QP), where the corresponding CFTOC problem can be solved explicitly off-line. This is referred to as explicit MPC. One of the main limitations with mp-QP is the amount of memory that is required to store the parametric solution. In this thesis, an algorithm for decreasing the required amount of memory is proposed. The aim is to make mp-QP and explicit MPC more useful in practical applications, such as embedded systems with limited memory resources. The proposed algorithm exploits the structure from the QP problem in the parametric solution in order to reduce the memory footprint of general mp-QP solutions, and in particular, of explicit MPC solutions. The algorithm can be used directly in mp-QP solvers, or as a post-processing step to an existing solution. / Numeriska algoritmer för att effektivt lösa optimala styrningsproblem är en viktig komponent i avancerade regler- och estimeringsstrategier som exempelvis modellprediktiv reglering (eng. model predictive control (MPC)) och glidande horisont estimering (eng. moving horizon estimation (MHE)). MPC är en reglerstrategi som kan användas för att styra system med flera styrsignaler och/eller utsignaler samt ta hänsyn till exempelvis begränsningar i styrdon. Den grundläggande principen för MPC och MHE är att styrsignalen och de estimerade variablerna kan beräknas genom att lösa ett optimalt styrningsproblem. Detta optimeringsproblem måste lösas inom en kort tidsram varje gång som en styrsignal ska beräknas eller som variabler ska estimeras, och således är det viktigt att det finns effektiva algoritmer för att lösa denna typ av problem. Två vanliga sådana är inrepunkts-metoder (eng. interior-point (IP)) och aktivmängd-metoder (eng. active-set (AS)), där optimeringsproblemet löses genom att lösa ett antal enklare delproblem. Ett av huvudfokusen i denna avhandling är att beräkna lösningen till dessa delproblem på ett tidseffektivt sätt genom att utnyttja strukturen i delproblemen. Lösningen till ett delproblem beräknas genom att lösa ett linjärt ekvationssystem. Detta ekvationssystem kan man exempelvis lösa med generella metoder eller med så kallade Riccatirekursioner som utnyttjar strukturen i problemet. När man använder en AS-metod för att lösa MPC-problemet så görs endast små strukturerade ändringar av ekvationssystemet mellan varje delproblem, vilket inte har utnyttjats tidigare tillsammans med Riccatirekursionen. I denna avhandling presenteras ett sätt att utnyttja detta genom att bara göra små förändringar av Riccatirekursionen för att minska beräkningstiden för att lösa delproblemet. Idag har behovet av  parallella algoritmer för att lösa MPC och MHE problem ökat. Att algoritmerna är parallella innebär att beräkningar kan ske på olika delar av problemet samtidigt med syftet att minska den totala verkliga beräkningstiden för att lösa optimeringsproblemet. I denna avhandling presenteras parallella algoritmer som kan användas i både IP- och AS-metoder. Algoritmerna beräknar lösningen till delproblemen parallellt med ett förutbestämt antal steg, till skillnad från många andra parallella algoritmer där ett okänt (ofta stort) antal steg krävs. De parallella algoritmerna utnyttjar problemstrukturen för att lösa delproblemen effektivt, och en av dem har utvärderats på parallell hårdvara. Linjära MPC problem kan också lösas genom att utnyttja teori från multiparametrisk kvadratisk programmering (eng. multiparametric quadratic programming (mp-QP)) där den optimala lösningen beräknas i förhand och lagras i en tabell, vilket benämns explicit MPC. I detta fall behöver inte MPC problemet lösas varje gång en styrsignal beräknas, utan istället kan den förberäknade optimala styrsignalen slås upp. En nackdel med mp-QP är att det krävs mycket plats i minnet för att spara lösningen. I denna avhandling presenteras en strukturutnyttjande algoritm som kan minska behovet av minne för att spara lösningen, vilket kan öka det praktiska användningsområdet för mp-QP och explicit MPC.