Neste trabalho fizemos uma revisão geral e encontramos resultados novos sobre a simetria unitária simplética. Obtivemos uma fórmula simples para a exponencial da álgebra de Lie simplética complexa em quatro dimensões, sp(4, C). A partir da decomposição de Gauss do referido grupo, impusemos a unitariedade para obtermos expressões analíticas para esta decomposição. Ao impormos a condição unitária ao grupo simplético, formamos o grupo unitário simplético e obtivemos as regras de multiplicação deste grupo, as quais estão implementadas simbólicamente tendo em mente aplicações futuras. Como uma consequência encontramos uma representação da álgebra de Lie em termos de operadores diferenciais. Uma segunda e mais importante conseqüência foi a obtenção da métrica de Haar deste grupo, a qual é fundamental no estudo dos estados coerentes. Um rápido estudo da quebra de simetria entre a cadeia canônica e a cadeia de termos Majorana é apresentada no apêndice tendo em vista futuras aplicações ao estudo algébrico do código genético. Os estados coerentes do grupo Usp(4) foram calculados para uma representação arbitrária e a supercompleteza foi demonstrada devido a métrica de Haar, isto completa o programa iniciado por Novaes em sua tese de PhD. Os valores médios dos geradores da álgebra de Lie foram obtidos tendo em mente a aplicação a um hamiltoniano algébrico. Por fim, obtivemos a forma simplética numa representação arbitrária, preparando o campo para aplicações aos sistemas dinâmicos. / In this work we take a general revision and take new results on the unitary symplectic symmetry. We have obtained a simple form for the exponential of the complex symplectic Lie algebra on four dimensions, sp(4, C). With the Gauss decomposition for this group, we impose the unitarity to obtain analytical expressions for that Gauss decomposition. Imposing the analytical expressions to the Gauss decomposition for the complex symplectic algebra, we have been obtained explicit multiplication formulas for the unitarian group and iinplemented symbolically have in mind further application. As a consequence a representation of the Lie algebra in terms of differential operators have been obtained. The Haar measure that plays a fundamental role in the study of coherent states is calculated in an arbitrary representation. An early study envolving the symmetry breaking of canonical Sp(4) tree by Majorana operators is presented in the appendix in the spirit of algebraic approach to genetic code. The coherent states of USp (4) have been calculated for an arbitrary representation and the overcompletness is demonstred thanks to the Haar measure, the program initiate by Novaes in his PhD thesis is now fully completed. The mean values of the Lie algebra generators in a coherent state base are calculated having in mind application to algebraic hamiltonian. Finally we obtained the symplectic form in a arbitrary representation have also been calculate preparing the field for applications to dynamical systems.

Neste trabalho fizemos uma revisão geral e encontramos resultados novos sobre a simetria unitária simplética. Obtivemos uma fórmula simples para a exponencial da álgebra de Lie simplética complexa em quatro dimensões, sp(4, C). A partir da decomposição de Gauss do referido grupo, impusemos a unitariedade para obtermos expressões analíticas para esta decomposição. Ao impormos a condição unitária ao grupo simplético, formamos o grupo unitário simplético e obtivemos as regras de multiplicação deste grupo, as quais estão implementadas simbólicamente tendo em mente aplicações futuras. Como uma consequência encontramos uma representação da álgebra de Lie em termos de operadores diferenciais. Uma segunda e mais importante conseqüência foi a obtenção da métrica de Haar deste grupo, a qual é fundamental no estudo dos estados coerentes. Um rápido estudo da quebra de simetria entre a cadeia canônica e a cadeia de termos Majorana é apresentada no apêndice tendo em vista futuras aplicações ao estudo algébrico do código genético. Os estados coerentes do grupo Usp(4) foram calculados para uma representação arbitrária e a supercompleteza foi demonstrada devido a métrica de Haar, isto completa o programa iniciado por Novaes em sua tese de PhD. Os valores médios dos geradores da álgebra de Lie foram obtidos tendo em mente a aplicação a um hamiltoniano algébrico. Por fim, obtivemos a forma simplética numa representação arbitrária, preparando o campo para aplicações aos sistemas dinâmicos. / In this work we take a general revision and take new results on the unitary symplectic symmetry. We have obtained a simple form for the exponential of the complex symplectic Lie algebra on four dimensions, sp(4, C). With the Gauss decomposition for this group, we impose the unitarity to obtain analytical expressions for that Gauss decomposition. Imposing the analytical expressions to the Gauss decomposition for the complex symplectic algebra, we have been obtained explicit multiplication formulas for the unitarian group and iinplemented symbolically have in mind further application. As a consequence a representation of the Lie algebra in terms of differential operators have been obtained. The Haar measure that plays a fundamental role in the study of coherent states is calculated in an arbitrary representation. An early study envolving the symmetry breaking of canonical Sp(4) tree by Majorana operators is presented in the appendix in the spirit of algebraic approach to genetic code. The coherent states of USp (4) have been calculated for an arbitrary representation and the overcompletness is demonstred thanks to the Haar measure, the program initiate by Novaes in his PhD thesis is now fully completed. The mean values of the Lie algebra generators in a coherent state base are calculated having in mind application to algebraic hamiltonian. Finally we obtained the symplectic form in a arbitrary representation have also been calculate preparing the field for applications to dynamical systems.