Initiée dans le cadre d’un projet ANR (le projet MODNAT) ciblé sur la modélisation stochastique de phénomènes naturels et la quantification probabiliste de leurs effets dynamiques sur des systèmes mécaniques et structuraux, cette thèse a pour objet le calcul de probabilités d’événements rares liés aux maxima en horizon fini de processus stochastiques, avec prise en compte des quatre contraintes imposées suivantes : (1) l’ensemble des processus considérés doit contenir les quatre grandes catégories de processus rencontrés en dynamique aléatoire, à savoir les gaussiens stationnaires, les gaussiens non stationnaires, les non gaussiens stationnaires et les non gaussiens non stationnaires ; (2) ces processus doivent pouvoir être, soit décrits par leurs lois, soit fonctions de processus décrits par leurs lois, soit solutions d’équations différentielles stochastiques, soit même solutions d’inclusions différentielles stochastiques ; (3) les événements en question sont des dépassements de seuils très élevés par les maxima en horizon fini des processus considérés et ces événements sont de très faible occurrence, donc de très faible probabilité (de l’ordre de 10 −4 à 10 −8 ), du fait de la valeur élevée des seuils ; et enfin (4) le recours à une approche Monte-Carlo pour effectuer ce type de calcul doit être banni, car trop chronophage compte tenu des contraintes précédentes. Pour résoudre un tel problème, dont le domaine d’intérêt s’étend bien au delà de la mécanique probabiliste et de la fiabilité structurale (on le rencontre notamment dans tous les secteurs scientifiques en connexion avec la statistique des valeurs extrêmes, comme par exemple les mathématiques financières ou les sciences économiques) une méthode innovante est proposée, dont l’idée maîtresse est née de l’analyse des résultats d’une étude statistique de grande ampleur menée dans le cadre du projet MODNAT. Cette étude, qui porte sur l’analyse du comportement des valeurs extrêmes des éléments d’un vaste ensemble de processus, a en effet mis en évidence deux fonctions germes dépendant explicitement de la probabilité cible (la première en dépendant directement, la seconde indirectement via une probabilité conditionnelle auxiliaire elle-même fonction de la probabilité cible) et possédant des propriétés de régularité remarquables et récurrentes pour tous les processus de la base de données, et c’est sur l’exploitation conjointe de ces propriétés et d’un principe d’approximation bas niveau-extrapolation haut niveau que s’appuie la construction de la méthode. Deux versions de celle-ci en sont d’abord proposées, se distinguant par le choix de la fonction germe et dans chacune desquelles cette fonction est approximée par un polynôme. Une troisième version est également développée, basée sur le formalisme de la deuxième version mais utilisant pour la fonction germe une approximation de type "fonction de survie de Pareto". Les nombreux résultats numériques présentés attestent de la remarquable efficacité des deux premières versions. Ils montrent également que celles-ci sont de précision comparable. La troisième version, légèrement moins performante que les deux premières, présente quant à elle l’intérêt d’établir un lien direct avec la théorie des valeurs extrêmes. Dans chacune de ses trois versions, la méthode proposée constitue à l’évidence un progrès par rapport aux méthodes actuelles dédiées à ce type de problème. De par sa structure, elle offre en outre l’avantage de rester opérationnelle en contexte industriel. / Initiated within the framework of an ANR project (the MODNAT project) targeted on the stochastic modeling of natural hazards and the probabilistic quantification of their dynamic effects on mechanical and structural systems, this thesis aims at the calculation of probabilities of rare events related to the maxima of stochastic processes over a finite time interval, taking into account the following four constraints : (1) the set of considered processes must contain the four main categories of processes encountered in random dynamics, namely stationary Gaussian, non-stationary Gaussian, stationary non-Gaussian and non-stationary non-Gaussian ones ; (2) these processes can be either described by their distributions, or functions of processes described by their distributions, or solutions of stochastic differential equations, or solutions of stochastic differential inclusions ; (3) the events in question are crossings of high thresholds by the maxima of the considered processes over finite time intervals and these events are of very weak occurrence, hence of very small probability, due to the high size of thresholds ; and finally (4) the use of a Monte Carlo approach to perform this type of calculation must be proscribed because it is too time-consuming given the above constraints. To solve such a problem, whose field of interest extends well beyond probabilistic mechanics and structural reliability (it is found in all scientific domains in connection with the extreme values theory, such as financial mathematics or economical sciences), an innovative method is proposed, whose main idea emerged from the analysis of the results of a large-scale statistical study carried out within the MODNAT project. This study, which focuses on analyzing the behavior of the extreme values of elements of a large set of processes, has indeed revealed two germ functions explicitly related to the target probability (the first directly related, the second indirectly via a conditional auxiliary probability which itself depend on the target probability) which possess remarkable and recurring regularity properties for all the processes of the database, and the method is based on the joint exploitation of these properties and a "low level approximation-high level extrapolation" principle. Two versions of this method are first proposed, which are distinguished by the choice of the germ function and in each of which the latter is approximated by a polynomial. A third version has also been developed. It is based on the formalism of the second version but which uses as germ function an approximation of "Pareto survival function" type. The numerous presented numerical results attest to the remarkable effectiveness of the first two versions. They also show that they are of comparable precision. The third version, slightly less efficient than the first two, presents the interest of establishing a direct link with the extreme values theory. In each of its three versions, the proposed method is clearly an improvement compared to current methods dedicated to this type of problem. Thanks to its structure, it also offers the advantage of remaining operational in industrial context.

Le fonctionnement d'un système, de façon générale, peut être affecté par un incident imprévu. Lorsque cet incident a de lourdes conséquences tant sur l'intégrité du système que sur la qualité de ses produits, on dit alors qu'il se situe dans le cadre des événements dits extrêmes. Ainsi, de plus en plus les chercheurs portent un intérêt particulier à la modélisation des événements extrêmes pour diverses études telles que la fiabilité des systèmes et la prédiction des différents risques pouvant entraver le bon fonctionnement d'un système en général. C'est dans cette optique que s'inscrit la présente thèse. Nous utilisons la Théorie des Valeurs Extrêmes (TVE) et les statistiques d'ordre extrême comme outil d'aide à la décision dans la modélisation et la gestion des risques dans l'usinage et l'aviation. Plus précisément, nous modélisons la surface de rugosité de pièces usinées et la fiabilité de l'outil de coupe associé par les statistiques d'ordre extrême. Nous avons aussi fait une modélisation à l'aide de l'approche dite du "Peaks-Over Threshold, POT" permettant de faire des prédictions sur les éventuelles victimes dans l'Aviation Générale Américaine (AGA) à la suite d'accidents extrêmes. Par ailleurs, la modélisation des systèmes soumis à des facteurs d'environnement ou covariables passent le plus souvent par les modèles à risque proportionnel basés sur la fonction de risque. Dans les modèles à risque proportionnel, la fonction de risque de base est généralement de type Weibull, qui est une fonction monotone; l'analyse du fonctionnement de certains systèmes comme l'outil de coupe dans l'industrie a montré qu'un système peut avoir un mauvais fonctionnement sur une phase et s'améliorer sur la phase suivante. De ce fait, des modifications ont été apportées à la distribution de Weibull afin d'avoir des fonctions de risque de base non monotones, plus particulièrement les fonctions de risque croissantes puis décroissantes. En dépit de ces modifications, la prise en compte des conditions d'opérations extrêmes et la surestimation des risques s'avèrent problématiques. Nous avons donc, à partir de la loi standard de Gumbel, proposé une fonction de risque de base croissante puis décroissante permettant de prendre en compte les conditions extrêmes d'opérations, puis établi les preuves mathématiques y afférant. En outre, un exemple d'application dans le domaine de l'industrie a été proposé. Cette thèse est divisée en quatre chapitres auxquels s'ajoutent une introduction et une conclusion générales. Dans le premier chapitre, nous rappelons quelques notions de base sur la théorie des valeurs extrêmes. Le deuxième chapitre s'intéresse aux concepts de base de l'analyse de survie, particulièrement à ceux relatifs à l'analyse de fiabilité, en proposant une fonction de risque croissante-décroissante dans le modèle à risques proportionnels. En ce qui concerne le troisième chapitre, il porte sur l'utilisation des statistiques d'ordre extrême dans l'usinage, notamment dans la détection de pièces défectueuses par lots, la fiabilité de l'outil de coupe et la modélisation des meilleures surfaces de rugosité. Le dernier chapitre porte sur la prédiction d'éventuelles victimes dans l'Aviation Générale Américaine à partir des données historiques en utilisant l'approche "Peaks-Over Threshold" / The operation of a system in general may at any time be affected by an unforeseen incident. When this incident has major consequences on the system integrity and the quality of system products, then it is said to be in the context of extreme events. Thus, increasingly researchers have a particular interest in modeling such events with studies on the reliability of systems and the prediction of the different risks that can hinder the proper functioning of a system. This thesis takes place in this very perspective. We use Extreme Value Theory (EVT) and extreme order statistics as a decision support tool in modeling and risk management in industry and aviation. Specifically, we model the surface roughness of machined parts and the reliability of the associated cutting tool with the extreme order statistics. We also did a modeling using the "Peaks-Over Threshold, POT" approach to make predictions about the potential victims in the American General Aviation (AGA) following extreme accidents. In addition, the modeling of systems subjected to environmental factors or covariates is most often carried out by proportional hazard models based on the hazard function. In proportional hazard models, the baseline risk function is typically Weibull distribution, which is a monotonic function. The analysis of the operation of some systems like the cutting tool in the industry has shown that a system can deteriorated on one phase and improving on the next phase. Hence, some modifications have been made in the Weibull distribution in order to have non-monotonic basic risk functions, more specifically, the increasing-decreasing risk function. Despite these changes, taking into account extreme operating conditions and overestimating risks are problematics. We have therefore proposed from Gumbel's standard distribution, an increasingdecreasing risk function to take into account extreme conditions, and established mathematical proofs. Furthermore, an example of the application in the field of industry was proposed. This thesis is organized in four chapters and to this must be added a general introduction and a general conclusion. In the first chapter, we recall some basic notions about the Extreme Values Theory. The second chapter focuses on the basic concepts of survival analysis, particularly those relating to reliability analysis by proposing a function of increasing-decreasing hazard function in the proportional hazard model. Regarding the third chapter, it deals with the use of extreme order statistics in industry, particularly in the detection of defective parts, the reliability of the cutting tool and the modeling of the best roughness surfaces. The last chapter focuses on the prediction of potential victims in AGA from historical data using the Peaks-Over Threshold approach.