Este trabalho consiste em um estudo teórico da coexistência de condensados de Bose-Einstein atômicos acoplados. Esta mistura de condensados pode consistir em átomos de um mesmo elemento em vários estados hiperfinos (estado interno). Outra situação em que esta mistura ocorre é quando um átomo em um único estado interno pode ocupar mais de um estados externo. As semelhanças e diferenças entre condensados de Bose-Einstein com vários estados internos e externos serão analisadas cuidadosamente. Somente na aproximação de Bose-Hubbard os estados externos serão tratados como internos. Condensados envolvendo duas ou mais espécies serão estudados com a aproximação de Thomas-Fermi com estados coerentes. Esta aproximação implica em desprezar o termo de energia cinética. Muitos resultados analíticos serão exibidos para a condição em que todos os comprimentos de espalhamento são iguais entre si. Esta condição é bastante próxima da observada em um condensado de vários estados internos. Além disso serão apresentados alguns resultados anaíticos onde o comprimento de espalhamento para espécies diferentes é zero. Esta condição é verificada para a aproximação de Bose-Hubbard para misturas de condensados com estados externos. O objetivo principal destes cálculos é estudar o papel da fase relativa entre as funções de onda nas soluções estacionárias e na evolução temporal destes sistemas. / This work consists of a theoretical study of the coexistance of coupled atomic Bose-Einstein condensates. These mixed condensates can consist of atoms of the same element in different hyperfine internal states. A different situation is that in which an atom in one internal state can ocupate different single particle external states. The similarities and differences between mixed Bose-Einstein condensates involving internal and external states will be analysed carefully. Only in the Bose-Hubbard approximation the external states can be treated like internal states. Condensates involving two or more species will be studied with in a Thomas- Fermi\'s approximation with coherent states. This approximation involves in discarding of the Hamiltonian the kinetic energy term. A number of analytical results are given for the case in which the different channel scatering lenghts are equal to each other. This condition is which well approximated in condensates involving many internal states. Beside some results will also be given for situations where the scatering lenghts for different species vanishes. This condiction is verified for the Bose-Hubbard approximation to externally mixed condensates. The principal goal of this calculations is to study the role of relative phase between the wave functions in the stationary solutions and in the time evolution of the systems.

Nesta tese estudamos o modelo CP^(N-1) em (2+1) dimensões do espaco-tempo, onde o campo básico está na representacão fundamental. Diferentemente do caso em que o campo básico está na representacão adjunta, já estudado na literatura, o modelo por nós estudado se reduz ao modelo supersimétrico usual no limite comutativo. Analisamos a estrutura de fase e calculamos as correcões dominantes e subdominantes na expansão 1/N. Provamos que a teoria é livre de singularidades infravermelhas não integráveis e é renormalizável na ordem dominante. A funcão de vértice de dois pontos do campo básico é calculada e renormalizada de uma forma explicitamente supersimétrica na ordem subdominante. / In this thesis we sutudy the noncommutative supersymmetric CP^(N-1) model in (2+1) space-time dimensions, where the basic field is in the fundamental representation which, differently to the adjoint representation already studied in the literature, goes to the usual supersymmetric model in the commutative limit. We analyse the phase structure of the model and calculate the leading and subleading corrections in the 1/N expansion. We prove that the theory is free of non-integrable IR/UV infrared singularities and is renormalizable in the leading order. The two point vertex function of the basic field is also calculated and renormalized in an expliciitly supersymmetic way up to subleading order.

Orientador: Manoel Ferreira Borges Neto / Banca: Sandra Regina Monteiro Masalskiene / Banca: Antonio Luís Venezuela / Resumo: O presente trabalho tem por objetivo abordar aspectos fundamentais da teoria de imersão proposta por John Nash em 1954, na qual foi mostrado que uma variedade continua com derivada continuação nua C1, pode ser imersa em espaços euclidianos de 2n dimensões. Faz-se importante citar que ao longo do trabalho serão destacados aspectos inovadores do Teorema de Nash, tais como a não necessidade da hipótese de analitici-dade conforme havia sido usada anteriormente por Janet-Cartan, além do aspecto da perturbação que permite construir qualquer outra variedade imersa por uma sequência de deformações infinitesimais. São discutidos também extensões do Teorema de Nash, sobretudo os trabalhos de Greene e de Gunther, e aplicações do método perturbativo de Nash nas Teorias unificadoras da física. / Abstract: The present work has for objective to approach basic aspects of the immersion theory proposal for John Nash in 1954, in which it was shown that a continuous variety with continuous derivative C1, can be immersed in Euclidean spaces of 2n dimensions. One becomes important to cite that throughout the work innovative aspects of the The- orem of Nash will be detached, such as the necessity of the hypothesis of in agreement analiticidade had not been used previously for Janet-Cartan, beyond the aspect of the disturbance that allows to construct any another immersed variety for a sequência of infinitesimal deformations. Extensions of the Theorem of Nash are also argued, over all the works of Greene and Gunther, and applications of the perturbativo method of Nash in the unifying Theories of the physics. / Mestre

A dinâmica da equação diferencial com retardo x 2 pontos + 2ax ponto + bx = f(x ), para a função não linear f(x) = tanh(x), foi analisada como função dos parâmetros a, b, e do retardo , onde x = x(t ). Esse modelo descreve um oscilador harmônico amortecido sujeito a retroalimentação com retardo . Nesse estudo, examinamos os casos de retroalimentação negativa ( < 0) e positiva ( > 0). Usamos o método de passos para mostrar a propriedade de suavização da solução, da equação diferencial não linear com retardo, com o crescimento de t. Fizemos a análise da estabilidade local, construímos as cartas de estabilidade no espaço de parâmetros, e mostramos que o espectro de autovalores é discreto e, no máximo, enumerável. Foram construídos diagramas de bifurcação que exibiram a ocorrência da bifurcação de Hopf supercrítica, da bifurcação de forquilha supercrítica, e da bifurcação de Hopf dupla. Para alguns pontos de bifurcação de Hopf dupla, ressonantes e não ressonantes, foi calculada numericamente a série temporal, construído o espaço de fase e gerado o mapa de primeiro retorno para uma dada seção de Poincaré. Por fim, realizamos a discretização da equação do oscilador e fizemos uma breve análise da dinâmica da equação não linear de diferenças resultante. / The dynamics of the delay differential equation x 2 pontos + 2ax ponto + bx = f(x ), for the nonlinear function f(x) = tanh(x), has been analyzed as a function of the parameters a, b, and the delay , where x = x(t ). This model describes a damped harmonic oscillator subject to feedback with delay . Here, we have examined the cases of negative feedback (< 0) and positive feedback ( > 0). The method of steps have been used to show the property of solutions smoothing, for the nonlinear delay differential equation, for the increasing t. We have analyzed the local stability, made the stability charts, and showed that the spectrum of eigenvalues is discrete and at most enumerable. We have constructed the bifurcation diagrams that showed the occurrence of supercritical Hopf bifurcation, the supercritical pitchfork bifurcation and double Hopf bifurcation. For some points of resonant and non-resonant double Hopf bifurcation we have numerically calculated the time series, produced the phase space, and generated the first return map for a given Poincaré section. Finally, we have performed a discretization of the equation and made a brief analysis of the dynamics of the resulting nonlinear difference equation.

Sólitons são soluções clássicas de equações de campos não lineares, que possuem energia finita e densidade de energia localizada. Eles constituem pacotes de energia que se movem de maneira uniforme e não dispersiva, assemelhando-se a partículas estendidas. Quando se estuda um sistema à temperatura finita é possível tecer um paralelo entre a teoria quântica de campos e a mecânica estatística. Neste trabalho calculamos, na aproximação de um laço, a correção quântica à massa do kink do modelo 4 acoplado a um campo fermiônico. As contribuições bosônica e fermiônica são calculadas à temperatura zero e o comportamento das flutuações a temperatura finita também é analisado. / Solitons are classical solutions of non-linear field equations, that have finite energy and localised energy density. They constitute non-dispersive localised packages of energy moving uniformly, resembling extended particles. When studying a system at finite temperature one can make an analogy between quantum field theory and statistical mechanics. In this work we calculate, in one loop approximation, the quantum correction to the mass of the kink of the model 4 coupled to a fermionic field. The bosonic and fermionic contributions are calculated at zero temperature and the behavior of the finite temperature fluctuations are also analysed.

Estudamos as restrições impostas pelo princípio da covariância sobre o procedimento de quantização em espaços planos e curvos. Mostramos que o conjunto de todas as quantizações covariantes em espaços planos em coordenadas retangulares é composto de ordenamentos de operadores de posição e momento e exibimos uma parametrização funcional deste conjunto. Deduzimos regras para a quantização covariante em espaços planos em coordenadas gerais. Generalizamos estas quantizações para espaços curvos e mostramos que nestes espaços, além da ambiguidade de ordenamento, surge uma nova ambiguidade relacionada à curvatura. Este novo tipo de ambiguidade explica o surgimento de uma classe grande de potenciais quânticos no problema da quantização de uma partícula não relativística em um espaço curvo. / We study the restrictions imposed by the covariance principle on the quantization procedure in flat and curved spaces. We show that the set of all covariant quantizations in flat spaces in rectangular coordinates is composed of position and momentum operator orderings and exhibit a functional parametrization of this set. We deduce rules for the covariant quantization in flat spaces in general coordinates. We generalize these quantizations for curved spaces and show that in such spaces, besides the ordering ambiguity, it appears a new ambiguity related to the curvature. This new kind of ambiguity explains the appearence of a wide class of quantum potentials in the problem of quantization of a non-relativistic particle in curved space.

As teorias de gravitação invariante por escala propõem uma variação com relação ao tempo da constante gravitacional ou da massa dos objetos que constituem o universo. Desta forma a intensidade da interação gravitacional também se torna variável, modificando sensivelmente o comportamento do universo. Algumas teorias foram propostas no decorrer do século, porém, descartadas devido a problemas técnicos e de concordância com dados observacionais. trabalho a ser apresentado nesta dissertação está fundamentado em uma teoria de gravitação invariante por escala, a qual vem atualmente sendo desenvolvida e é denominada teoria penta-dimensional Espaço-Tempo-Massa. Tal teoria propõe a quantidade de massa de repouso como uma quantidade extensiva, de maneira a introduzi-la na métrica e torná-la variável. Diversos trabalhos foram realizados com esta teoria, incluindo alguns, o estudo de modelos cosmológicos. Investigaremos aqui a extensão do modelo cosmológico de Bianchi tipo V, que é um dos mais importantes modelos do universo. Duas métricas foram propostas e as soluções das equações de campo da teoria SD-Espaço-Tempo-Massa para tais métricas foram obtidas. Tais soluções correspondem a espaços não-planos. Um estudo sobre singularidades na métrica e na curvatura foi realizado para ambas as métricas, em adição, o tensor de energia-momento induzido foi obtido para as métricas e as suas propriedades investigadas. Através da análise do tensor de Kretschmann verificou-se a ausência de singularidades efetivas nos modelos 5D abordados, sugerindo uma distribuição finita de energia devido a inclusão da massa de repouso. / The scale invariant gravitational theories propose the time variation either in the gravitational constant or in the rest mass of the objects that constitute the universe. By this way the intensity of the gravitational interaction varies as well, changing accordingly the behavior of the universe. Several theories have been proposed in the literature, however most of them have been discharged due to drawbacks in thecnicalities or lack of agreement with observational data. The work conducted here takes into account a 5-dimensional theory called SpaceTime- Mass, which proposes that the rest mass be na extensible quantity that change with time. Severa! investigations have been done so far with this theory, some o f them including cosmological studies. Here we will investigate the 5D extension of the Bianchi type V cosmological model, which is one of the most important model of the universe. Two metrics are proposed and the solution of the corresponding 5D-Spae-Time-Mass field equations are found. Both solutions shown to be non-flat spaces. The singularity behavior of the metric and curvature were done, the induced energy-momentum tensor for both metrics were determined and their properties were investigated. Through the analysis of the Kretschmann tensor, it has been shown that there is no effective singularity in the space, which suggest that there is a finite distribution of energy due to the inclusion of the rest mass variable.

As teorias de gravitação invariante por escala propõem uma variação com relação ao tempo da constante gravitacional ou da massa dos objetos que constituem o universo. Desta forma a intensidade da interação gravitacional também se torna variável, modificando sensivelmente o comportamento do universo. Algumas teorias foram propostas no decorrer do século, porém, descartadas devido a problemas técnicos e de concordância com dados observacionais. trabalho a ser apresentado nesta dissertação está fundamentado em uma teoria de gravitação invariante por escala, a qual vem atualmente sendo desenvolvida e é denominada teoria penta-dimensional Espaço-Tempo-Massa. Tal teoria propõe a quantidade de massa de repouso como uma quantidade extensiva, de maneira a introduzi-la na métrica e torná-la variável. Diversos trabalhos foram realizados com esta teoria, incluindo alguns, o estudo de modelos cosmológicos. Investigaremos aqui a extensão do modelo cosmológico de Bianchi tipo V, que é um dos mais importantes modelos do universo. Duas métricas foram propostas e as soluções das equações de campo da teoria SD-Espaço-Tempo-Massa para tais métricas foram obtidas. Tais soluções correspondem a espaços não-planos. Um estudo sobre singularidades na métrica e na curvatura foi realizado para ambas as métricas, em adição, o tensor de energia-momento induzido foi obtido para as métricas e as suas propriedades investigadas. Através da análise do tensor de Kretschmann verificou-se a ausência de singularidades efetivas nos modelos 5D abordados, sugerindo uma distribuição finita de energia devido a inclusão da massa de repouso. / The scale invariant gravitational theories propose the time variation either in the gravitational constant or in the rest mass of the objects that constitute the universe. By this way the intensity of the gravitational interaction varies as well, changing accordingly the behavior of the universe. Several theories have been proposed in the literature, however most of them have been discharged due to drawbacks in thecnicalities or lack of agreement with observational data. The work conducted here takes into account a 5-dimensional theory called SpaceTime- Mass, which proposes that the rest mass be na extensible quantity that change with time. Severa! investigations have been done so far with this theory, some o f them including cosmological studies. Here we will investigate the 5D extension of the Bianchi type V cosmological model, which is one of the most important model of the universe. Two metrics are proposed and the solution of the corresponding 5D-Spae-Time-Mass field equations are found. Both solutions shown to be non-flat spaces. The singularity behavior of the metric and curvature were done, the induced energy-momentum tensor for both metrics were determined and their properties were investigated. Through the analysis of the Kretschmann tensor, it has been shown that there is no effective singularity in the space, which suggest that there is a finite distribution of energy due to the inclusion of the rest mass variable.

A dinâmica da equação diferencial com retardo x 2 pontos + 2ax ponto + bx = f(x ), para a função não linear f(x) = tanh(x), foi analisada como função dos parâmetros a, b, e do retardo , onde x = x(t ). Esse modelo descreve um oscilador harmônico amortecido sujeito a retroalimentação com retardo . Nesse estudo, examinamos os casos de retroalimentação negativa ( < 0) e positiva ( > 0). Usamos o método de passos para mostrar a propriedade de suavização da solução, da equação diferencial não linear com retardo, com o crescimento de t. Fizemos a análise da estabilidade local, construímos as cartas de estabilidade no espaço de parâmetros, e mostramos que o espectro de autovalores é discreto e, no máximo, enumerável. Foram construídos diagramas de bifurcação que exibiram a ocorrência da bifurcação de Hopf supercrítica, da bifurcação de forquilha supercrítica, e da bifurcação de Hopf dupla. Para alguns pontos de bifurcação de Hopf dupla, ressonantes e não ressonantes, foi calculada numericamente a série temporal, construído o espaço de fase e gerado o mapa de primeiro retorno para uma dada seção de Poincaré. Por fim, realizamos a discretização da equação do oscilador e fizemos uma breve análise da dinâmica da equação não linear de diferenças resultante. / The dynamics of the delay differential equation x 2 pontos + 2ax ponto + bx = f(x ), for the nonlinear function f(x) = tanh(x), has been analyzed as a function of the parameters a, b, and the delay , where x = x(t ). This model describes a damped harmonic oscillator subject to feedback with delay . Here, we have examined the cases of negative feedback (< 0) and positive feedback ( > 0). The method of steps have been used to show the property of solutions smoothing, for the nonlinear delay differential equation, for the increasing t. We have analyzed the local stability, made the stability charts, and showed that the spectrum of eigenvalues is discrete and at most enumerable. We have constructed the bifurcation diagrams that showed the occurrence of supercritical Hopf bifurcation, the supercritical pitchfork bifurcation and double Hopf bifurcation. For some points of resonant and non-resonant double Hopf bifurcation we have numerically calculated the time series, produced the phase space, and generated the first return map for a given Poincaré section. Finally, we have performed a discretization of the equation and made a brief analysis of the dynamics of the resulting nonlinear difference equation.

Este trabalho consiste em um estudo teórico da coexistência de condensados de Bose-Einstein atômicos acoplados. Esta mistura de condensados pode consistir em átomos de um mesmo elemento em vários estados hiperfinos (estado interno). Outra situação em que esta mistura ocorre é quando um átomo em um único estado interno pode ocupar mais de um estados externo. As semelhanças e diferenças entre condensados de Bose-Einstein com vários estados internos e externos serão analisadas cuidadosamente. Somente na aproximação de Bose-Hubbard os estados externos serão tratados como internos. Condensados envolvendo duas ou mais espécies serão estudados com a aproximação de Thomas-Fermi com estados coerentes. Esta aproximação implica em desprezar o termo de energia cinética. Muitos resultados analíticos serão exibidos para a condição em que todos os comprimentos de espalhamento são iguais entre si. Esta condição é bastante próxima da observada em um condensado de vários estados internos. Além disso serão apresentados alguns resultados anaíticos onde o comprimento de espalhamento para espécies diferentes é zero. Esta condição é verificada para a aproximação de Bose-Hubbard para misturas de condensados com estados externos. O objetivo principal destes cálculos é estudar o papel da fase relativa entre as funções de onda nas soluções estacionárias e na evolução temporal destes sistemas. / This work consists of a theoretical study of the coexistance of coupled atomic Bose-Einstein condensates. These mixed condensates can consist of atoms of the same element in different hyperfine internal states. A different situation is that in which an atom in one internal state can ocupate different single particle external states. The similarities and differences between mixed Bose-Einstein condensates involving internal and external states will be analysed carefully. Only in the Bose-Hubbard approximation the external states can be treated like internal states. Condensates involving two or more species will be studied with in a Thomas- Fermi\'s approximation with coherent states. This approximation involves in discarding of the Hamiltonian the kinetic energy term. A number of analytical results are given for the case in which the different channel scatering lenghts are equal to each other. This condition is which well approximated in condensates involving many internal states. Beside some results will also be given for situations where the scatering lenghts for different species vanishes. This condiction is verified for the Bose-Hubbard approximation to externally mixed condensates. The principal goal of this calculations is to study the role of relative phase between the wave functions in the stationary solutions and in the time evolution of the systems.