Les travaux menés dans cette thèse sont en lien avec les inégalités fonctionnelles et géométriques, dans le cadre continu et discret. En particulier, nous exploitons le principe de monotonie le long du flot de la chaleur, dont les conséquences ont été nombreuses en analyse, géométrie et probabilité depuis les travaux fondateurs de Bakry et Émery. Plus récemment, ce principe a été utilisé pour répondre à des questions d'informatiques théoriques via l'analyse des fonctions booléennes. Dans une première partie, nous présentons diverses inégalités à intégrales multiples et inégalités de type géométriques obtenues par monotonie le long du semi-groupe de la chaleur. Nous caractérisons, par la plupart d'entre elles, les cas d'égalités et mettons en évidence des phénomènes de rigidité dans le cas de variétés riemanniennes. En particulier nous étudions la rigidité pour le théorème de comparaison isopérimétrique de Bakry-Ledoux en utilisant leur preuve par flot de la chaleur. Cette preuve a été exploitée par Mossel et Neeman pour obtenir un résultat de stabilité robuste dans le cas gaussien. Nous reprenons cette preuve et nous la simplifions, en particulier en éliminant la plupart des arguments spécifiques au cas gaussien. Cela laisse espoir d'obtenir une version quantitative pour des mesures log-concaves plus générales ou sur les sphères euclidiennes de grandes dimensions. La deuxième partie est consacrée à l'analyse des fonctions booléennes. Le résultat principal de cette partie est l'extension d'un critère dû à Benjamini, Kalai et Schramm liant sensibilité au bruit et influences d'une fonction booléenne. Ce critère a été récemment étendu sur l'espace gaussien à travers le concept d'influences géométriques. En particulier, nous donnons une nouvelle preuve quantitative de ce résultat, basée sur des arguments de semi-groupes. Le résultat ainsi obtenu s'étend à des modèles de graphes de Schreier plus généraux que le cube ainsi qu'à des modèles continus autre que l'espace gaussien. En particulier, la version quantitative sur les tranches du cube booléen a des conséquences en théorie de la percolation. Dans une dernier chapitre, nous mettons en lien ce critère quantitatif pour donner une généralisation à des graphes produits du théorème "Junta" de Friedgut. / The general topic of this Ph.D thesis is functional and geometrical inequalities, in both continuous and discrete setting. In particular, we make use of the monotone property along the heat flow, which had led to important developments in analysis, geometry and probability since the pioneer work of Bakry and Émery. More recently, this principle has been used in the analysis of Boolean functions in view of application in theoretical computer science. In the first part, we present some multiple integrals inequalities and geometric type inequalities obtained by monotonicity along the heat flow. We characterize, for most of them, equality cases and we put forward rigidity phenomenon in the setting of Riemannian manifolds. In particular, we study rigidity for the Bakry-Ledoux isoperimetric comparison theorem using their semigroup proof. This proof has been exploited by Mossel and Neeman to derive robust dimension free bounds for the Gaussian isoperimetry. We simplify their proof an in particular remove most of Gaussian-specific parts. This gives hope to derive robust estimates to more general log-concave measures or on high dimensional Euclidean spheres. The second part is devoted to analysis of Boolean functions. The principal contribution in this field is the extension of a criterion of Benjamini, Kalai and Schramm linking noise sensitivity and influences of a Boolean function. Such a criterion has been extended recently in continuous setting via the concept of geometric influence. We give a new, semigroup, proof of a quantitative version of it previously established in the discrete cube and in the Gaussian space. This quantitative version generalizes both to various models of Schreier graphs and more general continuous spaces. In particular, the quantitative version over the slices of the Boolean cube has consequences in percolation theory. In the last chapter, we link this quantitative criterion with a generalization over graph products of the "Junta" theorem of Friedgut.