Résumé Ce projet s’inscrit comme un effort de modélisation et de développement d’outils analytiques décrivant la focalisation non-paraxiale de champs électromagnétiques. Des solutions vecto- rielles sont développées, suivant une généralisation du formalisme intégral de Richards-Wolf. La thèse se scinde en deux principales avenues. La première consiste à décrire, en langage mathématique moderne, le formalisme de Richards-Wolf qui permet de décrire les champs électromagnétiques vectoriels au foyer de systèmes focalisants. Le formalisme est exploré et plusieurs solutions analytiques aux équations intégrales de Richards-Wolf sont introduites. La deuxième avenue consiste en la généralisation du formalisme de Richards-Wolf pour des systèmes à foyer étendu (par exemple, distribué sur une ligne). Utilisant une méthode com- binée, basée sur le tracé de rayon et le traitement intégral de la diffraction, le modèle permet une amélioration en trois volets des descriptions classiques des champs au foyer. En premier lieu, l’analyse vectorielle de la diffraction permet de s’affranchir de toute hypothèse paraxiale. En second lieu, l’analyse exacte et l’analogie rayon/onde plane uniforme permet d’éviter la description de systèmes à foyer étendu par des termes de phases aberrés, qui réduisent la robustesse du modèle et la justesse des solutions trouvées. Finalement, l’élégance analytique de la méthode permet une compréhension physique plus instinctive des phénomènes d’inter- férence au foyer de systèmes complexes et encourage le développement de méthodes inverses, permettant de retracer les conditions nécessaires à l’obtention d’un profil d’intensité et de phase données, sans a priori sur le système focalisant. Sur le plan concret, les outils mathématiques décrits et développés dans cette thèse permettent une avancée pour l’étude de phénomènes et le développement de technologies, notamment en microscopie à haute-résolution, mais également en stockage de données, en piégeage optique ou même en accélération de particules à l’échelle microscopique. Il s’agit de la première méthode systématique proposée pour calculer le profil de faisceaux focalisés par des sections coniques (sphères, ellipses, etc.) par des moyens analytiques. / This project is part of a global effort toward modelization and development of mathemat- ical tools describing non-paraxial focusing of electromagnetic fields. Vectorial solutions are proposed, according to a generalization of the Richards-Wolf formalism. The objective of this thesis is two-fold. The first part covers the Richards-Wolf formalism with a modern mathematical formulation, which permits the formal description of focused vectorial electromagnetic fields. An in-depth exploration of the theory is exposed and multiple analytical solutions of the integrals are given. The second part covers the generalization of the Richards-Wolf formalism to systems without a single-point focus, by combining geometrical optics and diffraction principles. The vectorial analysis agrees with the assumption of non-paraxial focusing while the development is free of constraints upon the existence of an optical focus. Finally, the analytical treatment helps forge a physical intuition of the electromagnetic solutions and the development of inverse methods, which would help find the necessary illumination upon a system to produce a given electromagnetic pattern near the focus. The mathematical tools presented in this thesis may lead to advances in high-resolution microscopy, data encryption, optical tweezers and particle acceleration.

Ce projet de maîtrise s’insère dans l’effort de modélisation entourant le phénomène de focalisation extrême amorcé dans les groupes de recherche des professeurs Thibault et Piché. Le mémoire présente d’abord une comparaison entre le formalisme de Richards-Wolf étendu (ERWT) et les solutions numériques de propagation d’onde électromagnétique obtenues à l’aide d’un algorithme FDTD. Les résultats montrent que l’utilisation du formalisme étendu permet de traiter le processus de focalisation non paraxiale pour une gamme étendue de surfaces réfléchissantes avec peu de variations entre les deux techniques. Les limitations intrinsèques à l’algorithme utilisé et la divergence de la fonction d’illumination imparfaitement traitée pourraient expliquer les déviations observées. Ensuite, cherchant à améliorer le traitement de cette illumination, le processus de focalisation inverse a été développé. En effet, il est possible de formuler une inversion du formalisme de Richards-Wolf (RWT) pour des systèmes à symétrie de révolution en définissant l’illumination à polarisation radiale en fonction d’une distribution recherchée au foyer selon un seul axe (radial ou sur l’axe optique). En utilisant un seul axe, le problème de surdéfinir le champ ne se pose pas et un critère est fourni afin de conclure de la validité physique du patron d’illumination calculé. Avec la méthode proposée, il est souvent possible d’obtenir des solutions analytiques qui sont essentielles à l’obtention d’une meilleure compréhension des différences entre les modèles paraxiaux et non paraxiaux. De plus, il est facile d’adapter cette dernière afin d’obtenir des solutions numériques pour des problèmes plus complexes. Ainsi, les figures d’illumination calculées peuvent directement être utilisées et sont particulièrement utiles lorsque la dimension optimale de la tâche focale pour une application donnée est connue. Un article a été soumis basé sur ces travaux. Enfin, une généralisation culminant avec le traitement de surfaces asphériques avec aberrations est présentée en adaptant le formalisme étendu (ERWT). Cet ajout au formalisme permet d’envisager de modéliser des surfaces complexes et possiblement hors de portée des corrections seulement en phase usuellement utilisées dans la littérature. Cependant, ces ajouts au formalisme complexifient de manière appréciable les intégrales de diffraction de Richards-Wolf. Finalement, une démonstration de la procédure a été effectuée pour un miroir parabolique comportant un léger tilt. / This project is part of the modeling effort around extreme focusing phenomenon taking place in the research groups of professor Thibault and Piché. At first, this thesis shows the comparison between the modeling by the extended Richards-Wolf formalism (ERWT) and by FDTD simulations of the field propagation. Both methods used for computing the electromagnetic distribution resulting from the reflection on a mirror in a non paraxial setup show satisfactory agreement. In fact, the extended formalism is suited to accurately model a large spectrum of reflecting surfaces such as elliptic mirrors, for which the description is not possible with the classical formalism of Richards-Wolf. Some intrinsic limitations of the used FDTD algorithm and the divergence of the illumination could explained the observed variations. Then, looking to solve the illumination problem, the inversion formalism has been developed. The integral of the Richards-Wolf formalism (RWT) of an axisymetric optical system can be inverted to define the radially polarized illumination pattern as a function of the electromagnetic distribution at the focus over a given axis (radial or the optical axis). Using only one axis at the focus, the field distribution is not over defined and a criterion is given to check the physical validity of the obtained illumination pattern. The method gives numerical or, in some cases, analytic solutions that can be used to obtain the optimized focal pattern fora given application. The analytical solutions are relevant as they can intuitively show the differences between the paraxial and non paraxial regimes. An article has been submitted on this particular subject. Finally, this thesis describes the generalization of the extended formalism to cover aspheric surfaces with aberrations. The procedure gives the possibility to accurately model complex reflecting surfaces that would otherwise be out of reach of the formalism. However, the complexity of the formalism increases compared to the initial diffraction integral. The proposed technique is demonstrated with a slightly tilted parabolic mirror.

En 1969, Lit et Tremblay [1] ont démontré qu'une série d'ouvertures circulaires disposées judicieusement sur un axe peut focaliser une onde sphérique. De telles structures agissent sur les distributions spatiale et spectrale des champs électromagnétiques et, par un simple facteur d'échelle, elles sont applicables à tout le spectre électromagnétique. Nous avons vu dans ces structures plusieurs applications potentielles, dont la focalisation de rayons X et le modelage d'impulsions laser. Afin d'investiguer la faisabilité éventuelle de ces applications, nous avons effectué des simulations numériques permettant d'étudier deux effets causés par une séquence d'ouvertures circulaires disposées axialement : la focalisation de faisceaux gaussiens et le modelage d'impulsions ultrabrèves. Les résultats de ces simulations ont montré qu'il est possible de focaliser un faisceau gaussien monochromatique divergent à l'aide de trois ouvertures circulaires coaxiales. Le point focal obtenu a une intensité allant jusqu'à 16 fois l'intensité du faisceau gaussien propagé dans le vide et il a une largeur à mi-hauteur transversale d'environ deux fois la longueur d'onde. Dans le cas des impulsions, un point focal a aussi été observé et, pour les impulsions d'une durée de 20 fs et moins dont le spectre est centré sur 800 nm, l'impulsion est dédoublée temporellement. Les structures étudiées peuvent donc être adaptées à la focalisation de rayons X et au modelage fréquentiel et temporel des impulsions brèves. Les calculs présentés dans ce mémoire peuvent aussi aider à prévenir des effets indésirables de focalisation de faisceaux ou d'impulsions brèves se propageant dans certaines nanostructures.

Nous déterminons expérimentalement la valeur de la puissance critique à l'autofocalisation dans l'air, l'argon et l'hélium en enregistrant le mouvement apparent du signal de fluorescence généré par une impulsion laser femtoseconde focalisée. Nous mesurons une puissance critique dans l'air de 10 GW, tel que précédemment établie [25], mesurons une puissance critique dans l'argon de 6,7 GW, tel que précédemment établie [20] et confirmons une puissance critique dans l'hélium de 268 GW, tel que précédemment établi [20]. À travers nos observations, nous constatons que la fluorescence au foyer géométrique survie au-delà de la puissance critique à l'auto-focalisation. À partir de ce constat, nous caractérisons systématiquement la distribution de fluorescence en fonction du rapport longueur focale f / Diamètre de faisceau D. Nos conclusions nous permettent de statuer sur l'évolution du processus de filamentation lorsqu'est modifiée sa géométrie de focalisation.