Grafomotorick© obt­e (GD) vraznÄ ovlivuj­ kvalitu ivota koln­m vÄkem poÄ­naj­c, kde se vyv­jej­ grafomotorick© schopnosti, a do dchodov©ho vÄku. VÄasn diagnza tÄchto obt­­ a terapeutick zsah maj­ velk vznam k jejich zlepen­. Vzhledem k tomu, e GD souvis­ z v­cermi symptomy v oblasti kinematiky, zkladn­ kinematick© parametry jako rychlost, zrychlen­ a vih prokzaly efektivn­ kvantizaci tÄchto symptom. Objektivn­ vpoÄetn­ syst©m podpory rozhodovn­ pro identifikaci a vyeten­ GD vak nen­ dostupn. A proto je hlavn­m c­lem m© disertaÄn­ prce vzkum pokroÄil© metody parametrizace online p­sma pro analzu GD se speciln­m zamÄen­m na vyuit­ metod zlomkov©ho kalkulu. Tato prce je prvn­, kter experimentuje s vyuit­m derivac­ neceloÄ­seln©ho du (FD) pro analzu GD pomoc­ online p­sma z­skan©ho od pacient s Parkinsonovou nemoc­ a u dÄt­ koln­ho vÄku. Byla navrena a evaluovna nov metoda parametrizace online p­sma zaloena na FD vyuit­m Grnwald-Letnikova p­stupu. Bylo dokzno, e navren metoda vznamnÄ zlepuje diskriminaÄn­ s­lu a deskriptivn­ schopnosti v oblasti Parkinsonick© dysgrafie. StejnÄ tak metoda pozitivnÄ ovlivnila i nejmodernÄj­ techniky v oblasti analzy GD u dÄt­ koln­ho vÄku. Vyvinut parametrizace byla optimalizovna s ohledem na vpoÄetn­ nroÄnost (a o 80 %) a tak© na vyladÄn­ du FD. Ke konci prce byly porovnny v­cer© p­stupy vpoÄtu FD, jmenovitÄ Riemann-Liouvillv, Caputv spoleÄnÄ z Grnwald-Letnikovm p­stupem za Äelem identifikace tÄch nejvhodnÄj­ch pro jednotliv© oblasti analzy GD.

This master's thesis deals with solving fractional-order ordinary differential equations by the Adomian decomposition method. A part of the work is therefore devoted to the theory of equations containing differential operators of non-integer order, especially the Caputo operator. The next part is devoted to the Adomian decomposition method itself, its properties and implementation in the case of Chen system. The work also deals with bifurcation analysis of this system, both for integer and non-integer case. One of the objectives is to clarify the discrepancy in the literature concerning the fractional-order Chen system, where experiments based on the use of the Adomian decomposition method give different results for certain input parameters compared with numerical methods. The clarification of this discrepancy is based on recent theoretical knowledge in the field of fractional-order differential equations and their systems. The conclusions are supported by numerical experiments, own code implementing the Adomian decomposition method on the Chen system was used.

Thesis describes the design of the blocks of fractional-order filters approximation using a filter of higher order integer. Active filters of third-order are use to create filter of 1+alfa -order, where alfa is between zero to one. One of the filters is practically implemented and measured.

This thesis deals with the fractional (1+)-order filters. The proposed filters operate in the current-mode. The derivation of the filters has been achieved using a third-order aproximation of the coresponding fractional-order transfer functions. It also describes active elements such as universal current conveyor, current follower and operational transconductance amplifier. In the end of this thesis some new circuit solutions of the fractional-order filter are proposed. Then the proposed filters are realized and experimentally measured.

Thesis describes the design of the blocks of fractional-order filters approximation using a filter of higher order integer. Active filters of third-order are use to create filter of 1+alfa -order, where alfa is between zero to one. One of the filters is practically implemented and measured.

Die Dynamik von axialen Magnetlagern ist im besonderen Maße von den eingesetzten Materialien abhängig. Axiale Flussverläufe machen eine Blechung von Stator und Rotor unwirksam und hohe induzierte Spannungen rufen im Magnetkreis wirbelstrombedingte Gegenfelder hervor. Zusätzliche kompensierende Magnetisierungsströme lassen den messbaren Strom der Steuerspule dem kraftbildenden Hauptfluss vorauseilen. Durch Einsatz von Pulververbundwerkstoffen lässt sich dieser Effekt reduzieren. Aus mechanischen Gründen wird die rotierende Axiallager-Scheibe in konventionellen Anwendungen dennoch aus Stahl gefertigt. In dieser Diplomarbeit werden alternative Materialien und Ausführungsformen untersucht und die auftretenden Unterschiede im dynamischen Verhalten mit der Eisenkreiszeitkonstante quantifiziert. Neben dem zu Grunde liegenden analytischen Modell soll eine fortgeschrittene Systembeschreibung vorgestellt werden, die das atypische Übertragungsverhalten der Regelstrecke berücksichtigt. Dieses setzt sich aus Differenziergliedern gebrochen-rationaler Ordnung zusammen und bildet ein sogenanntes „Fractional-Order-System“. Die Modelle werden mittels FEM-Simulationen und Experimenten am eigens konstruierten Versuchslager verifiziert. / The dynamics of axial magnetic bearings are characterized by an above-average dependency on the used materials. Axially directed fields render laminated stators and rotors ineffective. High induced voltages inside the magnetic core evoke eddy currents and opposing fields, which are compensated by an additional magnetizing current. Therefore a significant delay between the measurable coil current and the force-related magnetic flux is observed. The use of soft magnetic composites can minimize this effect, though the bearing disk usually is manufactured from conventional steel for mechanical reasons in a wide range of applications. In this diploma thesis alternative materials and embodiments are considered and the occurring differences regarding the dynamic behavior will be quantified by means of the magnetic circuit time constant. Beside its underlying analytical model, an advanced system description is introduced to include the atypical transfer function of the closed loop control system, characterized by so-called Fractional-Order-Derivatives. All models will be verified by FE-analysis and experiments on a newly constructed magnetic bearing.

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Seit jeher sind Wirbelströme ein fester Bestandteil der Leistungsbilanz und Verlustberechnung in zahlreichen elektromagnetischen Energiewandlern. In aktiven Magnetlagern und Aktoren haben sie jedoch häufig einen zusätzlichen Einfluss auf die Kraftdynamik, da die einhergehende Feldverdrängung parasitäre Magnetisierungsströme hervorbringt, welche die meist strombasierten Kraftregler beeinträchtigen. Besonders betroffen sind die in dieser Dissertation beispielhaft betrachteten magnetischen Axiallager mit ihrer dreidimensionalen Flussführung, für welche die sonst übliche und effektive Blechung des Kerns unwirksam wird. Aus diesen Gründen werden regelungsbasierte Lösungen angestrebt. Bekannte fortschrittliche Topologien nutzen mitunter aufwendige Regler und Beobachter, wobei der direkte physikalische Bezug zu den mechanischen Parametern Steifigkeit und Dämpfung meist verloren geht. Diese Analogie zu mechanischen Lagern ist jedoch essentiell für eine einfache Inbetriebnahme des Magnetlagers, ein Grund, weshalb sich viele alternative Topologien nicht nachhaltig durchsetzen konnten und die dezentrale kaskadierte Lageregelung mit unterlagerter Stromregelung noch immer als weit verbreiteter Industriestandard gilt. Die in Axiallagern eingeschränkte Stabilität, Dynamik und Bandbreite aufgrund der Wirbelstromeffekte wird dabei zu Gunsten der einfacheren Anwendbarkeit toleriert. Diese Arbeit stellt ein fraktionales Kompensationsglied in Gestalt eines Flussschätzers vor, welches im Rückführungszweig der unterlagerten Regelung die Folgen der Wirbelströme dort herausrechnet, wo sie physikalisch wirken. Die resultierende modellbasierte Flussregelung erhält somit sämtliche physikalische Bezüge und die gute Anwendbarkeit, bei gleichzeitig verbesserten Regelungseigenschaften, sodass diesbezüglich keine Kompromisse notwendig sind. Das zugrundeliegende Modell leitet sich aus der Lösung der Diffusionsgleichung für den massiven Kern ab und stellt zunächst ein transzendentes fraktionales System dar, welches nicht direkt in einer Regelung anwendbar ist. Über Kettenbruchentwicklungen und Frequenzganganalysen ist es jedoch möglich, eine rationale Systembeschreibung zu ermitteln, die in Form einer digitalen Biquad-Filter-Kaskade auch in bestehende Mikroprozessor-Regelungen echtzeitfähig implementierbar ist. Die Arbeit dokumentiert das Vorgehen für eine Vielzahl von Randbedingungen und berücksichtigt verschiedene denkbare Einschränkungen, die in praktischen Anwendungen erwartbar sind. Der messtechnische Funktionsnachweis zeigt eine nahezu vollständige Kompensation der Wirbelstromeffekte in der unterlagerten Regelung, während sich die Bandbreite der Lageregelung nachweislich mindestens vervierfacht bei einem um bis zu 90 % Überschwingen gegenüber dem Industriestandard. / Eddy currents have always been part of loss calculations and power balances in numerous electromagnetic energy converters. In active magnetic bearings and actuators they additionally have a great influence on the force dynamic, as the concomitant magnetic skin effect provokes parasitic magnetizing currents that impair the usually current-based force controllers. Thrust bearings with their three-dimensional flux propagation, which serve as example in this thesis, are especially affected, due to the ineffectiveness of the commonly applied lamination of the iron core. For these reasons, control-based solutions are desired. Known advanced control topologies employ possibly intricating controllers and observers, which hardly preserve the direct physical reference to mechanical parameters like stiffness and damping. However, this analogy to mechanical bearings is essential for a simple bearing operation. That is one reason why many alternative topologies could not been established sustainably and the decentralized cascaded position control with subordinated current control is considered as the indisputable industry standard. Its limitation of stability, dynamic and bandwidth, caused by the eddy current effects in thrust bearings, is only tolerated, in favor of a superior applicability. This thesis introduces a fractional-order compensation element in the form of a flux estimator that compensates the eddy currents effects, where they physically occur, to wit, within the feedback path of the subordinated control. Hence, the resulting flux control maintains all physical references and the simple applicability, but does not compromise on the control characteristic in this regard. The underlying model is derived from the solution of the diffusing equation that describes the nonlaminated core. It firstly constitutes a transcendental fractional-order system, which cannot be directly applied to a bearing control. However, by the use of continued fraction expansions and frequency analysis, a rational system description is determinable, which can be implemented as biquad filter cascade for real-time application even in existing microprocessor controls. This work documents the procedure for a variety of boundary conditions while considering various possible restrictions, which are to be expected in practical applications. The experimental proof of concept reveals a nearly complete compensation of the eddy current effects in the subordinated control. The bandwidth of the outer position control is at least quadrupled, while the overshoot can be reduced by up to 90 % compared to the industry standard.

Die elektromagnetische Dynamik von axialen Magnetlagern ist im besonderen Maße von den eingesetzten Materialien abhängig. Axiale Flussverläufe machen eine Blechung von Stator und Rotor unwirksam und hohe induzierte Spannungen rufen im Magnetkreis wirbelstrombedingte Gegenfelder hervor. Zusätzliche kompensierende Magnetisierungsströme lassen den messbaren Strom der Steuerspule dem kraftbildenden Hauptfluss vorauseilen. Steigende Anforderungen an die Regeldynamik erfordern daher den Einsatz schwach elektrisch leitfähiger Kernmaterialien (Soft Magnetic Composites) oder eine Berücksichtigung der auftretenden Wirbelstromeffekte in der Regelstrecke unter Anwendung von Systemen gebrochenrationaler Ordnung. Beide Optionen werden in diesem Beitrag aus analytischer Sicht gegenübergestellt und ihre Anwendungsfälle diskutiert.

Dans ce mémoire, nous avons proposé une méthode basée sur l'utilisation de la généralisation du lemme de Gronwall-Bellman pour garantir des conditions suffisantes de stabilisation asymptotique pour une classe de systèmes non linéaires fractionnaires. Nous avons étendu ces résultats dans la stabilisation asymptotique des systèmes non linéaires singuliers fractionnaires et proposé des conditions suffisantes de stabilité asymptotique de l'erreur d'observation dans le cas de l'étude des observateurs pour les systèmes non linéaires fractionnaires et singuliers fractionnaires.Pour les systèmes non linéaires à dérivée d'ordre entier, nous avons proposé par l'application de la généralisation du lemme de Gronwall-Bellman des conditions suffisantes pour :- la stabilisation exponentielle par retour d'état statique et par retour de sortie statique,- la stabilisation exponentielle robuste en présence d'incertitudes paramétriques,- la commande basée sur un observateur.Nous avons étudié la stabilisation des systèmes linéaires fractionnaires avec les lois de commande suivantes~: retour d'état statique, retour de sortie statique et retour de sortie basé sur un observateur. Puis, nous avons proposé des conditions suffisantes de stabilisation lorsque le système linéaire fractionnaire est affecté par des incertitudes non linéaires paramétriques. Enfin, nous avons traité la synthèse d'un observateur pour ces systèmes. Les résultats proposés pour les systèmes linéaires fractionnaires ont été étendus au cas où ces systèmes fractionnaires sont singuliers.La technique de stabilisation basée sur l'utilisation de la généralisation du lemme de Gronwall-Bellman est étendue aux systèmes non linéaires fractionnaires et aux systèmes non linéaires singuliers fractionnaires. Des conditions suffisantes de stabilisation asymptotique, de stabilisation asymptotique robuste et de commande basée sur un observateur ont été obtenues pour les classes de systèmes non linéaires fractionnaires et non linéaires singuliers fractionnaires.Par ailleurs, une méthode de synthèse d'observateurs pour ces systèmes non linéaires fractionnaires et non linéaires singuliers fractionnaires est proposée. Cette approche est basée sur la résolution d'un système d'équations de Sylvester. L'avantage de cette méthode est que, d'une part, l'erreur d'observation ne dépend pas explicitement de l'état et de la commande du système et, d'autre part, qu'elle unifie la synthèse d'observateurs de différents ordres (observateurs d'ordre réduit, d'ordre plein et d'ordre minimal). / In this dissertation, we proposed sufficient conditions for the asymptotical stabilization of a class of nonlinear fractional-order systems based on the generalization of Gronwall-Bellman lemma. We extended these results for the asymptotical stabilization of nonlinear singular fractional-order systems and proposed sufficient conditions for the existence and asymptotic stability of the observation error for the nonlinear fractional-order systems and nonlinear singular fractional-order systems.For the nonlinear integer-order systems, the proposed generalization of Gronwall-Bellman lemma allowed us to obtain sufficient conditions for :- the static state feedback and the static output feedback exponential stabilizations,- the robust exponential stabilization with regards to parameter uncertainties,- the observer-based control.We treated three cases for the asymptotical stabilization of linear fractional-order systems : the static state feedback, the static output feedback and the observer-based output feedback. Then, we proposed sufficient conditions for the asymptotical stabilization of linear fractional-order systems with nonlinear uncertain parameters. Finally, we treated the observer design for the linear and nonlinear fractional-order systems and for the linear and nonlinear singular fractional-order systems.The stabilization technique based on the generalization of Gronwall-Bellman lemma is extended to nonlinear fractional-order systems and nonlinear singular fractional-order systems. Sufficient conditions for the asymptotical stabilization, the robust asymptotical stabilization and the observer-based control of a class of nonlinear fractional-order systems and nonlinear singular fractional-order systems were obtained.Furthermore, the observer design for the nonlinear fractional-order systems and nonlinear singular fractional-order systems is proposed. This approach is based on a parameterization of the solutions of generalized Sylvester equations. The conditions for the existence of these observers are given and sufficient conditions for their stability are derived using linear matrix inequalities (LMIs) formulation and the generalization of Gronwall-Bellman lemma. The advantage of this method is that, firstly, the observation error does not depend explicitly on the state and control system and, secondly, this method unifies the design of full, reduced and minimal orders observers