The study of biological diversity has seen a tremendous growth over the past few decades. Among the commonly used indices capturing both the richness and evenness of a community, the Berger-Parker index, which relates to the maximum proportion of all species, is particularly effective. However, when the number of individuals and species grows without bound this index changes, and it is important to develop statistical tools to measure this change. In this thesis, we introduce two estimators for this maximum: the multinomial maximum and the length of the longest increasing subsequence. In both cases, the limiting distribution of the estimators, as the number of individuals and species simultaneously grows without bound, is obtained. Then, constructing the 95% confidence intervals for the maximum proportion helps improve the comparison of the Berger-Parker index among communities. Finally, we compare the two approaches by examining their associated bias corrected estimators and apply our results to environmental data.

Orientador: Sandra Augusta Santos / Dissertação (mestrado profissional) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-10T15:15:17Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Piasson_Diego_M.pdf: 2885536 bytes, checksum: dca4487172738420af3b139864a437bd (MD5) Previous issue date: 2008 / Resumo: Este trabalho aborda a otimizacao de um processo de destilacao de uma mistura binaria em uma coluna de pratos, motivado pela destilacao do metanol no processo de produção do biodiesel. Mais especificamente, considera a minimização de uma função custo energetico envolvendo o calor do refervedor e a temperatura fornecida a carga de alimentação sujeita a restrições de equilibrio e canalizações. Esse problema foi formulado baseado no artigo de More A collection of Nonlinear Model Problems. Para a solução foi utilizada a metodologia dos multiplicadores de Lagrange delineada no Teorema de Karush-Kuhn-Tucker para otimização de problemas com restrições mistas. Os softwares Maxima e MatLab foram utilizados para a investigação numerica da solução do problema. Uma explanação do funcionamento da coluna tambem e feita, bem como a apresentação dos principais resultados envolvendo otimização, desde problemas irrestritos ate problemas com varias restrições mistas / Abstract: This work tackles the optimization of a distillation process of a binary mixture in a column with plates, which came from the methanol distillation in the production process of the biodiesel. More specifically, it considers the minimization of a cost objective function that encompass the heat rate supplied to the reboiler and the feed temperature, subject to equilibrium constraints and simple bounds. This problem was formulated based on Mor'e¿s article A collection of Nonlinear Model Problems. The Lagrange multiplier methodology was used for solve it, outlined in the Karush-Kuhn-Tucker Theorem for optimization problems with mixed constraints. The softwares Maxima and MatLab were employed for the numerical investigation of the problem solution. An explanation about the operation of the column is also included, together with the presentation of the main results encompassing optimization, from unconstrained to mixed constrained problems / Mestrado / Otimização / Mestre em Matemática

Orientador: Sandra Augusta Santos / Dissertação (mestrado profissional) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-10T20:13:19Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Padua_SuzanGrazielleBenettide_M.pdf: 4591824 bytes, checksum: 5cf7309d863c45d2b4a0f5c266f4a12b (MD5) Previous issue date: 2008 / Resumo: Este trabalho se inicia com um breve resgate histórico da abordagem de Fermat para encontrar máximos e mínimos sem o uso de derivadas. Em termos teóricos, trás uma discussão sobre máximos e mínimos de funções em Rn, com um estudo detalhado sobre a otimizacao sem restrições, destacando a regra de Fermat e a classificacao dos pontos críticos. Trata também da otimização com restrições, por meio dos Teoremas dos Mul-tiplicadores de Lagrange para restrições de igualdade e desigualdade, e para restrições mistas, o Teorema de Karush-Kuhn-Tucker (KKT). Do ponto de vista prático, apresenta uma aplicacao envolvendo uma coluna de destilacao do metanol vinculada 'a produção do biodiesel, com a otimização da proporção de metanol destilado / Abstract: This work begins with a brief historical overview of Fermat¿s method to find maxima and minima without derivatives. In theoretical terms, the elements concerning maximum and minimum of functions of n variables are discussed, together with a detailed study of unconstrained optimization, focusing on the Fermat¿s rule and the classification of critical points. Constrained optimization is also analyzed, by means of the Lagrange Multilplier Theorem for equality constrained problems, and the Karush-Kuhn-Tucker (KKT) Theorem for mixed constrained optimization. In practical terms, an application concerning a distillation column of methanol associated to the biodiesel production is presented, with the optimization of the proportion of methanol in the amount of material that is removed from the top of the column / Mestrado / Otimização / Mestre em Matemática