In this thesis we examine properties of Gelfand-Shilov spaces Ssσ and Pilipović spaces Σsσ. These are spaces of smooth functions which, along with their Fourier transforms, decay sub-exponentially. Results for the two types of spaces relating to Fourier transforms, analyticity of functions, triviality of the spaces and short-time Fourier transforms are explored. It is determined that Σsσ is nontrivial if and only if s+σ>1, and that results for Ssσ when s+σ≥1 can generally be found to have corresponding counterparts for Σsσ when s+σ>1.

Diese Dissertation ist dem Studium temperierter Distributionen mittels mikrolokaler Methoden gewidmet. Die fundamentale Größe der mikrolokalen Analysis, die Wellenfrontmenge, wird durch zwei analoge Konzepte ersetzt, die den pseudo-differentiellen SG- und Shubin-Kalkülen zugeordnet sind. Die Eigenschaften dieser globalen Wellenfrontmengen werden studiert und ferner werden unterschiedliche Möglichkeiten, diese globalen Singularitäten zu charakterisieren, untersucht, insbesondere mittels der FBI-Transformation. Zahlreiche Konstruktionen, die den klassischen Wellenfrontmengenbegriff beinhalten, werden in den globalen Kontext übersetzt, insbesondere Rechenoperationen mit temperierten Distributionen wie etwa (getwistete) Produkte, Pull-backs und Paarungen, für die mikrolokale Existenzkriterien angegeben werden. Als eine Anwendung wird eine Klasse von temperierten Oszillatorintegralen eingeführt, welche durch inhomogene Phasenfunktionen und Amplituden aus SG-Symbolklassen parametrisiert werden. Die SG-Wellenfrontmengen dieser Distributionen werden untersucht und es stellt sich heraus, dass diese durch eine Verallgemeinerung der Menge stationärer Punkte der Phasenfunktionen beschränkt werden. In diesem Kontext wird eine Verallgemeinerung des klassischen Begriffs einer konischen Lagrange-Untermannifaltigkeit des T*R^d vorgenommen und diese Objekte werden auf ihre Parametrisierungseigenschaften untersucht. Es stellt sich heraus, dass jedes solche Objekt lokal als die Menge der stationären Punkte einer SG-Phasenfunktion realisiert werden kann. Als weitere Anwendung werden einige Konstruktionen der axiomatischen Quantenfeldtheorie, die Distributionen beinhalten, im temperierten Kontext realisiert.

<p>We study the expansions of the elements in <em>S</em>(ℝ₊^d) and <em>S</em>&#39;(ℝ₊^d) with respect to the Laguerre orthonormal basis. As a consequence, we obtain the Schwartz kernel theorem for <em>S</em>(ℝ₊^d) and <em>S</em>&#39;(ℝ₊^d). Also we give the extension theorem of Whitney type for <em>S</em>(ℝ₊^d). Next, we consider the G-type spaces i.e. the spaces <em>G</em>_{<em>&alpha;</em>}^{<em>&alpha;</em>}(ℝ₊^d), &alpha;&ge;1&nbsp; and their dual spaces which can be described as analogous to the Gelfand-Shilov spaces and their dual spaces. Actually, we show the exist-ence of the topological isomorphism between the <em>G</em>-type spaces and the subspaces of the Gelfand-Shilov spaces <em>S</em>_&alpha;/2^&alpha;/2(ℝ^d), &alpha;&ge;1&nbsp;consisting of &quot;even&quot; functions. Next, we show that the Fourier Laguerre coecients of the elements in the <em>G</em>-type spaces and their dual spaces characterize these spaces through the exponential and sub-exponentia l growth of the coecients. We provide the full topological description and the kernel theorem is proved. Also two structural theorems for the dual spaces of <em>G</em>-type spaces are obtained. Furthemore, we dene the new class of the Weyl pseudo-dierential operators with radial symbols belonging to the G-type spaces and their dual spaces. The continuity properties of this class of pseudo-dierential operators over the Gelfand-Shilov type spaces and their duals are proved. In this way the class of the Weyl pseudo-dierential operators is extended to the one with the radial symbols with the exponential and sub-exponential growth rate.</p> / <p>Proučavamo razvoje elemenata iz <em>S</em>(ℝ₊^d) i <em>S</em>&#39;(ℝ₊^d) preko Lagerove ortonormirane baze. Kao posledicu dobijamo &Scaron;varcovu teoremu o jezgru za preko Lagerove ortonormirane baze. Kao posledicu dobijamo &Scaron;varcovu teoremu o jezgru za <em>S</em>(ℝ₊^d) i <em>S</em>&#39;(ℝ₊^d). Takođe, pokazujemo i Teoremu Vitnijevog tipa za <em>S</em>(ℝ₊^d) . Zatim, posmatramo prostore G-tipa i.e. prostore <em>G</em>_&alpha;^&alpha;(ℝ^d), &alpha; &ge; 1 i njihove duale koji su analogni sa Geljfand-&Scaron;ilovim prostorima i njihovim dualima. Zapravo, pokazujemo da postoji topolo&scaron;ki izomorfizam između prostora <em>G</em>-tipa i potprostora Geljfand-&Scaron;ilovih prostora <em>S</em>_&alpha;/2^&alpha;/2(ℝ^d), &alpha; &ge; 1 koji sadrže &quot;parne&quot; funkcije. Dalje, dokazujemo da Furije Lagerovi koeficijenti elemenata iz prostora <em>G</em>-tipa i njihovih duala karakteri&scaron;u ove prostore kroz eksponencijalni i sub-eksponencijalni rast tih koeficijenata. Opisujemo topolo&scaron;ku strukturu ovih prostora i dajemo &Scaron;varcovu teoremu o jezgru. Takođe, dve strukturalne teoreme za duale prostora <em>G</em>-tipa su dobijene. Dalje, defini&scaron;emo novu klasu Vejlovih pseudo-diferencijalnih operatora sa radijalnim simbolima koji se nalaze u prostorima <em>G</em>-tipa i njihovim dualima. Pokazana je neprekidnost ove klase Vejlovih pseudo-diferencijalnih operatora na prostorima Geljfand-&Scaron;ilova i na njihovim dualima. Na ovaj način klasa Vejlovih pseudo-diferencijalnih operatora je pro&scaron;irena na radijalne simbole koji imaju eksponencijalni i sub-eksponencijalni rast.</p>