Digital twins have become a large part of new cyber-physical systems as they allow for the simulation of a physical object in the digital world. In addition to the new approaches of digital twins, machines have become more intelligent, allowing them to produce more data than ever before. Within the area of digital twins, there is a need for a less complex approach than a fully optimised digital twin. This approach is more like a digital shadow of the physical object. Therefore, the focus of this thesis is to study machine states and statistical distributions for all sensors in a machine. Where as majority of studies in the literature focuses on generating data from a digital twin, this study focuses on what characteristics a digital twin have. The solution is by defining a term named digital machine template that contains the states and statistical properties of each sensor in a given machine. The primary approach is to create a proof of work application that uses traditional data mining technologies and clustering to analyze how many states there are in a machine and how the sensor data is structured. It all results in a digital machine template with all of the information mentioned above. The results contain all the states a machine might have and the possible statistical distributions of each senor in each state. The digital machine template opens the possibility of using it as a basis for creating a digital twins. It allows the time of development to be shorter than that of a regular digital twin. More research still needs to be done as the less complex approach may lead to missing information or information not being interpreted correctly. It still shows promises as a less complex way of looking at digital twins since it may become necessary due to digital twins becoming even more complex by the day.

Binomial AR(1) process is a model for integer-valued time series with a fi- nite range and discrete time. It has the binomial marginal distribution and the AR(1)-like autocorrelation structure. This thesis deals with deriving some ba- sic properties of this process, methods of parameter estimation and goodness of fit testing. Three methods of parameter estimation are presented: Yule-Walker, the conditional least squares and the maximum likelihood method together with proofs of their asymptotical properties. Next, the goodness of fit testing is pre- sented. At first, two known methods based on the marginal distribution and the autocorrelation function are summarized. Then our own method is added, based on the probability generating function. Several simulations are provided to show the properties of all tests. The application of this model is illustrated on a real dataset. 1

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Notre progiciel PoweR vise à faciliter l'obtention ou la vérification des études empiriques de puissance pour les tests d'ajustement. En tant que tel, il peut être considéré comme un outil de calcul de recherche reproductible, car il devient très facile à reproduire (ou détecter les erreurs) des résultats de simulation déjà publiés dans la littérature. En utilisant notre progiciel, il devient facile de concevoir de nouvelles études de simulation. Les valeurs critiques et puissances de nombreuses statistiques de tests sous une grande variété de distributions alternatives sont obtenues très rapidement et avec précision en utilisant un C/C++ et R environnement. On peut même compter sur le progiciel snow de R pour le calcul parallèle, en utilisant un processeur multicœur. Les résultats peuvent être affichés en utilisant des tables latex ou des graphiques spécialisés, qui peuvent être incorporés directement dans vos publications. Ce document donne un aperçu des principaux objectifs et les principes de conception ainsi que les stratégies d'adaptation et d'extension. / Package PoweR aims at facilitating the obtainment or verification of empirical power studies for goodness-of-fit tests. As such, it can be seen as a reproducible research computational tool because it becomes very easy to reproduce (or detect errors in) simulation results already published in the literature. Using our package, it becomes easy to design new simulation studies. The empirical levels and powers for many statistical test statistics under a wide variety of alternative distributions are obtained fastly and accurately using a C/C++ and R environment. One can even rely on package snow to parallelize their computations, using a multicore processor. The results can be displayed using LaTeX tables or specialized graphs, which can be directly incorporated into your publications. This paper gives an overview of the main design aims and principles as well as strategies for adaptation and extension. Hand-on illustrations are presented to get new users started easily.

V předložené práci se zabýváme problematikou stochastického modelování úro- kových sazeb. Jedním z nejobvyklejších postup· je modelovat dynamiku úroko- vých sazeb pomocí stochastické diferenciální rovnice difúze, jejímiž základními kameny jsou funkce driftu a funkce difúze. Od 70. let 20. století byla navržena celá řada model· tohoto typu, a ačkoli se tyto modely neustále zdokonalují, vyvstává přirozená otázka, zda se historicky pozorované úrokové sazby skutečně takovými difúzními rovnicemi řídily. V této práci budeme právě uvedenou hypo- tézu testovat pro několik nejběžnějších jednofaktorových model· úrokové sazby první generace. Z historických dat odhadneme obecnou momentovou metodou a metodou maximální věrohodnosti parametry jednotlivých difúzních rovnic a následně provedeme statistické testy dobré shody proložení těchto rovnic pozo- rovanými daty. 1

Η παρούσα διπλωματική εργασία αντλεί την θεματολογία της από την θεωρία ελέγχων καλής προσαρμογής. Δίνονται τα βασικά σημεία της θεωρίας ελεγχοσυναρτήσεων και στη συνέχεια παρουσιάζεται η επέκταση του έλεγχου των Kolmogorov-Smirnov στο διδιάστατο χώρο καθώς και μια τροποποίησή της. Βασικό βοήθημα για την επέκταση αυτή αποτελεί το θεώρημα του Rosenblatt, το οποίο προτείνει ένα μετασχηματισμό μιας απόλυτα συνεχούς k-διάστατης κατανομής σε ομοιόμορφη κατανομή στον k-διάστατο υπερκύβο. Παρουσιάζεται επίσης το στατιστικό Α, το οποίο προτάθηκε από τον Damico. Η ιδιαιτερότητα αυτού του στατιστικού είναι ότι έχει διακριτή κατανομή. Προτείνεται ένα στατιστικό για τον έλεγχο καλής προσαρμογής συνεχών δεδομένων αρχικά στις δύο και στη συνέχεια στις k διαστάσεις. Ως εργαλεία χρησιμοποιήθηκαν το στατιστικό Α και το Θεώρημα του Rosenblatt. Για διάφορα μεγέθη δείγματος, δίνονται ο πίνακας πιθανοτήτων για τις τιμές του στατιστικού καθώς και ο πίνακας με τις κρίσιμες τιμές για διάφορες τιμές του p-value. Οι πίνακες αυτοί προέκυψαν κυρίως με μεθόδους προσομοίωσης. Τέλος, υπολογίστηκε η ισχύς του ελέγχου και γίνεται σύγκριση με την ισχύ του διδιάστατου Kolmogorov-Smirnov. / This project is based in theory of goodness-fit-tests. We present the most important componenets of test funcion theory. Also, we present the extension of the Kolmogorov-Smirnov test in bivariate case and an approximation. This extension is based on Rosenblatt's theorem, which suggests a transformation of an absolutly continious k-variate distribution into the uniform distribution of the k-dimentional hypercube. Moreover, is presented the statistic A, which was suggested from Damico. The particularity of this statistic is that has a district contribution. We suggest a goodnes-of-fit test for continious data first on two dimensions and after on k dimensions. This new statistic uses Rosenblatt's transformation and the statistic A. For different sizes of sample, are given the table of probablities and the table with the critical values. These tables were arised with simulation methods. Finally, was computed the power of the test and was compared with the power of the bivariate Kolmogorv-Smirnov.

Notre progiciel PoweR vise à faciliter l'obtention ou la vérification des études empiriques de puissance pour les tests d'ajustement. En tant que tel, il peut être considéré comme un outil de calcul de recherche reproductible, car il devient très facile à reproduire (ou détecter les erreurs) des résultats de simulation déjà publiés dans la littérature. En utilisant notre progiciel, il devient facile de concevoir de nouvelles études de simulation. Les valeurs critiques et puissances de nombreuses statistiques de tests sous une grande variété de distributions alternatives sont obtenues très rapidement et avec précision en utilisant un C/C++ et R environnement. On peut même compter sur le progiciel snow de R pour le calcul parallèle, en utilisant un processeur multicœur. Les résultats peuvent être affichés en utilisant des tables latex ou des graphiques spécialisés, qui peuvent être incorporés directement dans vos publications. Ce document donne un aperçu des principaux objectifs et les principes de conception ainsi que les stratégies d'adaptation et d'extension. / Package PoweR aims at facilitating the obtainment or verification of empirical power studies for goodness-of-fit tests. As such, it can be seen as a reproducible research computational tool because it becomes very easy to reproduce (or detect errors in) simulation results already published in the literature. Using our package, it becomes easy to design new simulation studies. The empirical levels and powers for many statistical test statistics under a wide variety of alternative distributions are obtained fastly and accurately using a C/C++ and R environment. One can even rely on package snow to parallelize their computations, using a multicore processor. The results can be displayed using LaTeX tables or specialized graphs, which can be directly incorporated into your publications. This paper gives an overview of the main design aims and principles as well as strategies for adaptation and extension. Hand-on illustrations are presented to get new users started easily.

Benford’s Law states that the first significant digit for most data is not uniformly distributed. Instead, it follows the distribution: P(d = d1) = log10(1 + 1/d1) for d1 ϵ {1, 2, …, 9}. In 2006, my supervisor, Dr. Mary Lesperance et. al tested the goodness-of-fit of data to Benford’s Law using the first significant digit. Here we extended the research to the first two significant digits by performing several statistical tests – LR-multinomial, LR-decreasing, LR-generalized Benford, LR-Rodriguez, Cramѐr-von Mises Wd2, Ud2, and Ad2 and Pearson’s χ2; and six simultaneous confidence intervals – Quesenberry, Goodman, Bailey Angular, Bailey Square, Fitzpatrick and Sison. When testing compliance with Benford’s Law, we found that the test statistics LR-generalized Benford, Wd2 and Ad2 performed well for Generalized Benford distribution, Uniform/Benford mixture distribution and Hill/Benford mixture distribution while Pearson’s χ2 and LR-multinomial statistics are more appropriate for the contaminated additive/multiplicative distribution. With respect to simultaneous confidence intervals, we recommend Goodman and Sison to detect deviation from Benford’s Law.

Les tests d’adéquation font partie des pratiques qu’ont les statisticiens pour prendre une décision concernant l’hypothèse de l’utilisation d’une distribution paramétrique pour un échantillon. Dans ce mémoire, une application du test d’adéquation basé sur la fonction caractéristique proposé par Jiménez-Gamero et al. (2009) est faite dans le cas de la loi de Poisson bivariée. Dans un premier temps, le test est élaboré dans le cas de l’adéquation à une loi de Poisson univariée et nous avons trouvé son niveau bon. Ensuite cette élaboration est étendue au cas de la loi de Poisson bivariée et la puissance du test est calculée et comparée à celle des tests de l’indice de dispersion, du Quick test de Crockett et des deux familles de tests proposés par Novoa-Muñoz et Jiménez-Gamero (2014). Les résultats de la simulation ont permis de constater que le test avait un bon niveau comparativement aux tests de l’indice de dispersion et au Quick test de Crockett et qu’il était généralement moins puissant que les autres tests. Nous avons également découvert que le test de l’indice de dispersion devrait être bilatéral alors qu’il ne rejette que pour de grandes valeurs de la statistique de test. Finalement, la valeur-p de tous ces tests a été calculée sur un jeu de données de soccer et les conclusions comparées. Avec une valeur-p de 0,009, le test a rejeté l’hypothèse que les données provenaient d’une loi de Poisson bivariée alors que les tests proposés par Novoa-Muñoz et Jiménez-Gamero (2014) donnaient une conclusion différente. / Our aim in this thesis is to conduct the goodness-of-fit test based on empirical characteristic functions proposed by Jiménez-Gamero et al. (2009) in the case of the bivariate Poisson distribution. We first evaluate the test’s behaviour in the case of the univariate Poisson distribution and find that the estimated type I error probabilities are close to the nominal values. Next, we extend it to the bivariate case and calculate and compare its power with the dispersion index test for the bivariate Poisson, Crockett’s Quick test for the bivariate Poisson and the two test families proposed by Novoa-Muñoz et Jiménez-Gamero (2014). Simulation results show that the probability of type I error is close to the claimed level and that it is generally less powerful than other tests. We also discovered that the dispersion index test should be bilateral whereas it rejects for large values only. Finally, the p-value of all these tests is calculated on a real dataset from soccer. The p-value of the test is 0,009 and we reject the hypothesis that the data come from a Poisson bivariate while the tests proposed by Novoa-Muñoz et Jiménez-Gamero (2014) leads to a different conclusion.

Le but de ce mémoire de maîtrise est de décrire les propriétés de la loi double Pareto-lognormale, de montrer comment on peut introduire des variables explicatives dans le modèle et de présenter son large potentiel d'applications dans le domaine de la science actuarielle et de la finance. Tout d'abord, nous donnons la définition de la loi double Pareto-lognormale et présentons certaines de ses propriétés basées sur les travaux de Reed et Jorgensen (2004). Les paramètres peuvent être estimés en utilisant la méthode des moments ou le maximum de vraisemblance. Ensuite, nous ajoutons une variable explicative à notre modèle. La procédure d'estimation des paramètres de ce mo-\\dèle est également discutée. Troisièmement, des applications numériques de notre modèle sont illustrées et quelques tests statistiques utiles sont effectués. / The purpose of this Master's thesis is to describe the double Pareto-lognormal distribution, show how the model can be extended by introducing explanatory variables in the model and present its large potential of applications in actuarial science and finance. First, we give the definition of the double Pareto-lognormal distribution and present some of its properties based on the work of Reed and Jorgensen (2004). The parameters could be estimated by using the method of moments or maximum likelihood. Next, we add an explanatory variable to our model. The procedure of estimation for this model is also discussed. Finally, some numerical applications of our model are illustrated and some useful statistical tests are conducted.