Köln, University, Diss., 2003.

Zugl.: Köln, Univ., Diss., 2008

Konstanz, Univ., Diplomarb., 2005.

A graph is an abstract network that represents a set of objects, called vertices, and relations between these objects, called edges. Graphs can model various networks. For example, a social network where the vertices correspond to users of the network and the edges represent relations between the users. To better see the structure of a graph it is helpful to visualize it. The research field of visualizing graphs is called Graph Drawing. A standard visualization is a node-link diagram in the Euclidean plane. In such a representation the vertices are drawn as points in the plane and edges are drawn as Jordan curves between every two vertices connected by an edge. Edge crossings decrease the readability of a drawing, therefore, Crossing Optimization is a fundamental problem in Graph Drawing. Graphs that can be drawn with few crossings are called beyond-planar graphs. The topic that deals with definition and analysis of beyond-planar graphs is called Beyond Planarity and it is an important and relatively new research area in Graph Drawing. In general, beyond planar graphs posses drawings where edge crossings are restricted in some way. For example, the number of crossings may be bounded by a constant independent of the size of the graph. Crossings can also be restricted locally by, for example, restricting the number of crossings per edge, restricting the number of pairwise crossing edges, or bounding the crossing angle of two edges in the drawing from below. This PhD thesis defines and analyses beyond-planar graph classes that arise from such local restrictions on edge crossings. / Ein Graph ist eine Datenstruktur bestehend aus einer Menge von Objekten (die Knoten genannt werden) und einer Menge von Beziehungen (die Kanten genannt werden) zwischen Paaren von Objekten. Graphen modellieren verschiedene Arten von Netzwerken. Um die Struktur eines Graphen zu verdeutlichen, ist es hilfreich den Graphen zu visualisieren. Das Forschungsgebiet der Visualisierung von Graphen heißt Graphenzeichnen. Eine klassische Visualisierungsmethode für Graphen sind sogenannte Node-Link-Diagramme. Bei dieser Darstellung werden die Knoten als Punkte gezeichnet und für jedes Paar von Knoten, die im Graph benachbart sind, werden die entsprechenden Punkte durch eine Kurve verbunden. Bei solchen Darstellungen möchte man Kreuzungen zwischen Kanten vermeiden, weil Kreuzungen die Lesbarkeit einer Zeichnung verringern. Deswegen ist Kreuzungsminimierung ein fundamentales Thema im Graphenzeichnen. Graphen, die mit wenig Kreuzungen gezeichnet werden können, heißen beyond-planar. Das Thema, das sich mit Definition und Analyse von beyond-planaren Graphen beschäftigt, heißt Beyond Planarity und ist ein wichtiges, noch recht junges Forschungsgebiet im Graphenzeichnen. Generell gilt für beyond-planare Graphen, dass sie eine Zeichnung besitzen, bei der die Art der Kreuzungen irgendwie eingeschränkt ist; zum Beispiel, wenn die Anzahl der Kreuzungen durch eine Konstante beschränkt ist (unabhängig von der Größe des Graphen). Kreuzungen können auch lokal beschränkt werden, indem wir zum Beispiel höchstens eine konstante Anzahl von Kreuzungen pro Kante erlauben oder höchstens eine konstante Anzahl von sich paarweise kreuzenden Kanten erlauben. Kreuzungen können auch dadurch beschränkt werden, dass wir den Winkel, unter dem sich kreuzende Kanten schneiden, nach unten beschränken. Diese Dissertation beschäftigt sich mit Klassen von beyond-planaren Graphen, die durch solche lokalen Einschränkungen von Kreuzungen definiert sind. / A graph is an abstract network that represents a set of objects, called vertices, and relations between these objects, called edges. Graphs can model various networks. For example, a social network where the vertices correspond to users of the network and the edges represent relations between the users. To better see the structure of a graph it is helpful to visualize it. A standard visualization is a node-link diagram in the Euclidean plane. In such a representation the vertices are drawn as points in the plane and edges are drawn as Jordan curves between every two vertices connected by an edge. Edge crossings decrease the readability of a drawing, therefore, Crossing Optimization is a fundamental problem in Computer Science. This book explores the research frontiers and introduces novel approaches in Crossing Optimization.

Konstanz, Univ., Diplomarb., 2003.

In many cases, problems, data, or information can be modeled as graphs. Graphs can be used as a tool for modeling in any case where connections between distinguishable objects occur. Any graph consists of a set of objects, called vertices, and a set of connections, called edges, such that any edge connects a pair of vertices. For example, a social network can be modeled by a graph by transforming the users of the network into vertices and friendship relations between users into edges. Also physical networks like computer networks or transportation networks, for example, the metro network of a city, can be seen as graphs. For making graphs and, thereby, the data that is modeled, well-understandable for users, we need a visualization. Graph drawing deals with algorithms for visualizing graphs. In this thesis, especially the use of crossings and curves is investigated for graph drawing problems under additional constraints. The constraints that occur in the problems investigated in this thesis especially restrict the positions of (a part of) the vertices; this is done either as a hard constraint or as an optimization criterion. / Viele Probleme, Informationen oder Daten lassen sich mit Hilfe von Graphen modellieren. Graphen können überall dort eingesetzt werden, wo Verbindungen zwischen unterscheidbaren Objekten auftreten. Ein Graph besteht aus einer Menge von Objekten, genannt Knoten, und einer Menge von Verbindungen, genannt Kanten, zwischen je einem Paar von Knoten. Ein soziales Netzwerk lässt sich etwa als Graph modellieren, indem die teilnehmenden Personen als Knoten und Freundschaftsbeziehungen als Kanten dargestellt werden. Physikalische Netzwerke wie etwa Computernetze oder Transportnetze - wie beispielsweise das U-Bahnliniennetz einer Stadt - lassen sich ebenfalls als Graph auffassen. Um Graphen und die damit modellierten Daten gut erfassen zu können benötigen wir eine Visualisierung. Das Graphenzeichnen befasst sich mit dem Entwickeln von Algorithmen zur Visualisierung von Graphen. Diese Dissertation beschäftigt sich insbesondere mit dem Einsatz von Kreuzungen und Kurven beim Zeichnen von Graphen unter Nebenbedingungen (Constraints). Die in den untersuchten Problemen auftretenden Nebenbedingungen sorgen unter anderem dafür, dass die Lage eines Teils der Knoten - als feste Anforderung oder als Optimierungskriterium - vorgegeben ist.

Konstanz, Univ., Diss., 2007.

Techn. University, Diss., 2002--Berlin.

University, Diss., 2005--Köln.

Constraining graph layouts - that is, restricting the placement of vertices and the routing of edges to obey certain constraints - is common practice in graph drawing. In this book, we discuss algorithmic results on two different restriction types: placing vertices on the outer face and on the integer grid. For the first type, we look into the outer k-planar and outer k-quasi-planar graphs, as well as giving a linear-time algorithm to recognize full and closed outer k-planar graphs Monadic Second-order Logic. For the second type, we consider the problem of transferring a given planar drawing onto the integer grid while perserving the original drawings topology; we also generalize a variant of Cauchy's rigidity theorem for orthogonal polyhedra of genus 0 to those of arbitrary genus. / Das Einschränken von Zeichnungen von Graphen, sodass diese bestimmte Nebenbedingungen erfüllen - etwa solche, die das Platzieren von Knoten oder den Verlauf von Kanten beeinflussen - sind im Graphzeichnen allgegenwärtig. In dieser Arbeit befassen wir uns mit algorithmischen Resultaten zu zwei speziellen Einschränkungen, nämlich dem Platzieren von Knoten entweder auf der Außenfacette oder auf ganzzahligen Koordinaten. Für die erste Einschränkung untersuchen wir die außen k-planaren und außen k-quasi-planaren Graphen und geben einen auf monadische Prädikatenlogik zweiter Stufe basierenden Algorithmus an, der überprüft, ob ein Graph voll außen k-planar ist. Für die zweite Einschränkung untersuchen wir das Problem, eine gegebene planare Zeichnung eines Graphen auf das ganzzahlige Koordinatengitter zu transportieren, ohne dabei die Topologie der Zeichnung zu verändern; außerdem generalisieren wir eine Variante von Cauchys Starrheitssatz für orthogonale Polyeder von Geschlecht 0 auf solche von beliebigem Geschlecht.