Dans ce mémoire, nous nous intéressons aux surfaces de translation. Ce sont des surfaces compactes munies d'une métrique plate, qui possèdent des singularités coniques et sur lesquelles, on peut choisir une direction verticale. De manière équivalente, une surface de translation est aussi une 1-forme holomorphe sur une surface de Riemann. Des exemples majeurs de telles surfaces sont les surfaces obtenues par “ dépliage ” de billards rationnels.Nous identifions deux surfaces de translation images l'une de l'autre par une isométrie préservant l'orientation et la direction verticale. La classe d'une surface par cette relation d'équivalence est encore une surface de translation que l'on appelle surface réduite de la surface de départ.Nous définissons les difféomorphismes affines d'une surface de translation comme les difféomorphismes de cette surface dont la différentielle est constante. Ils forment un groupe appelé le groupe affine de la surface.Le groupe SL(2,IR) agit linéairement sur l'ensemble des surfaces de translation. Le stabilisateur de la surface réduite d'une surface de translation est appelé le groupe de Veech de la surface de translation. Les éléments du groupe de Veech sont en fait les matrices jacobiennes des difféomorphismes affines. Ce groupe est un outil indispensable dans l'étude des surfaces de translation et notre travail en est une illustration. Si le groupe de Veech est un réseau de SL(2,IR), la surface est appelée surface de Veech.L'objectif de ce mémoire est de démontrer que, sur une surface de Veech donnée, les orbites denses du groupe affine s'équirépartissent sur la surface. Nous précisons bien sûr la notion d'équirépartition utilisée. Il est important de noter que les orbites qui ne sont pas denses sont finies et qu'il y en a au plus un nombre dénombrable. Ce résultat est d'abord établi pour la surface réduite de la surface de translation et permet d'en déduire le théorème pour la surface de départ. / In this thesis, we study translation surfaces. These are compact surfaces equipped with a flat metric and conical singularities. A vertical direction is fixed. Translation surfaces are in one to one correspondence with holomorphic 1-forms on Riemann surfaces. Important examples of translation surfaces arise from unfolding billiards in rational polygons.Two translation surfaces are identified if they are obtained one from the other by an isometry preserving the orientation and the vertical direction. The equivalence class of a surface is still a translation surface called the reduced surface. Affine diffeomorphisms on a translation surface are diffeomorphisms whose differential is constant. They form a group called the affine group. The group SL(2,R) acts linearly on the set of translation surfaces. The stabilizer of the reduced surface is the Veech group of the translation surface. The elements of the Veech group are in fact the derivative of the affine diffeomorphisms. This group is of great importance in the study of translation surfaces and our work illustrate this phenomenon. If the Veech group is a lattice in SL(2,R), the surface is called a Veech surface. The goal of this thesis is to prove that dense orbit of the affine group on a Veech surface are equidistributed in the surface. One has to explain precisely what equidistribution means in this context. It is important to notice that non dense orbits are finite and that the number of these orbits is at most countable. The result is first of all established for reduced surfaces and we deduce a general result for all surfaces.

Un origami, ou encore une surface à petits carreaux, est l'exemple le plus simple d'une surface de translation. Il s'obtient en collant entre eux un nombre fini de carreaux identiques. Le point le plus intéressant est l'étude du flot linéaire sur un origami, qui est un système dynamique continu lié à la dynamique des billards ou encore celle des échanges d'intervalles. Nous pouvons aussi nous intéresser au stabilisateur de l'action naturelle du groupe spécial linéaire sur les origamis, que nous appelons groupe de Veech de l'origami. Le but de cette thèse est l'étude de ces deux notions sur des exemples d'origamis infinis, obtenus en collant une infinité dénombrable de carreaux entre eux. Ces exemples sont obtenus comme revêtement galoisiens d'origamis finis, avec comme groupe de Galois des groupes abéliens, nilpotents ou plus compliqués. / An origami, or a square-tiled surface, is the simplest example of translation surface. An origami can be viewed as a finite collection of identical squares, glued together along their edges. We can study the linear flow on this origami, which is the geodesic flow for this kind of surfaces. This dynamical system is related to the dynamical system of billiard, or interval exchange transformations. We can also study the Veech group of an origami. The special linear group acts on the space of translation surface, and the Veech group of an origami is the stabilizer of this origami under this action. We know in particular that the Veech group is a fuchsian group. In this thesis, we work on some example of infinite origamis. These origamis are constructed as Galois covering of finite origamis. In these examples, the deck group will be an abelian group, a niltpotent group or something more difficult.

Un origami est un revêtement du tore T2, éventuellement ramifié au-dessus de l'origine.Cet objet a été introduit par William P. Thurston et William A. Veech dans les années 1970.Un origami peut être vu comme un ensemble fini de copies du carreau unitaire qui sont collées par translations. Ainsi, un origami est un cas particulier d'une surface de translation,un élément de l'espace des modules de surfaces de Riemann munies d'une 1-forme holomorphe.Un origami O avec n carreaux correspond à une paire de permutations (σ, τ ) Є 2 Sn X Sn définie à conjugaison près. Le groupe Mon(O) engendré par une telle paire s'appelle le groupe de monodromie de O. On dit qu'un origami est primitif si son groupe de monodromie est un groupe de permutation primitif. Il y a une action naturelle du groupeGL2(Z) sur les origamis, le stabilisateur de O pour cette action est le groupe de Veechdésigné par GL(O). Le groupe de monodromie est un invariant des GL2(Z)-orbites.Dans le chapitre 3 de la thèse, nous montrons que le groupe de monodromie de tout origami primitif à n carreaux dans la strate H(2k) est An ou Sn si n ≥ 3k + 2, et noustrouvons la borne exacte quand 2k + 1 est premier. La même proposition est vraie pourla strate H(1; 1) si n =/= 6. Dans le chapitre 4, nous considérons les origamis réguliers,i.e. ceux pour lesquels le nombre de carreaux est égal à l'ordre du groupe de monodromie.Nous construisons de nouvelles familles d'origamis intéressantes et cherchons leurs strates et groupes de Veech. Nous estimons également le nombre de GL2(Z)-orbites et strates distinctes des origamis réguliers ayant un groupe de monodromie donné. Afin de trouver une borne inférieure pour les origamis alternés, nous prouvons que chaque permutation dans An quifixe peu de points est le commutateur d'une paire engendrant An. Dans le chapitre 6, nous étudions une propriété de sous-groupes de PSL2(Z) qui est liée à la propriété d'être le groupe de Veech d'un origami.

Dans cette thèse, nous étudions plusieurs problèmes géométriques concernant les liens-selles de surfaces plates définies par des formes différentielles méromorphes ayant des pôles de degré arbitrairement grand. Dans le cas des 1-formes holomorphes, les surfaces sont d'aire finie et ont une infinité de liens-selles. Au contraire, pour les 1-formes méromorphes ainsi que les différentielles d'ordre supérieur (quadratiques et au delà) ayant des pôles dont le degré est suffisamment grand, les surfaces sont d'aire infinie et il est courant que le nombre de liens-selles soit fini. Nous étudions trois problèmes au sujet de telles surfaces. Le premier problème est la caractérisation des strates de différentielles dont les surfaces plates correspondantes ont toujours un nombre fini de liens-selles. Nous sommes parvenus à réduire le problème à un simple critère combinatoire relatif au profil de singularités de la strate. Pour ce premier problème, nous nous plaçons dans le cadre le plus général possible : celui des k-différentielles (de la forme f(z)dz^{k}) ayant au moins un pôle d'ordre supérieur ou égal à k. Le deuxième problème est celui de la caractérisation des groupes de Veech des surfaces plates avec pôles. Dans le cas classique des surfaces de (demi)-translation, il s'agit d'un problème très difficile. Ici, au contraire, la rigidité induite par la présence de pôles permet de donner une réponse complète. Enfin, nous proposons une caractérisation complète des familles de nombres complexes pouvant apparaître comme résidus aux pôles d'une différentielle méromorphe appartenant à une strate donnée. Ainsi, la géométrie plate permet de donner une réciproque au théorème des résidus dans laquelle on contrôle la multiplicité des singularités. Ce dernier résultat est le fruit d'une collaboration avec Quentin Gendron. / In this thesis, we consider several geometric problems about saddle connections of flat surfaces defined by meromorphic differentials with poles of arbitrarily large degree. In the case of holomorphic 1-forms, surfaces are of finite area an have infinitely many saddle connections. On the contrary, if we consider meromorphic 1-forms and differentials of higher orders (quadratic and beyond) with at least one pole whose degree is large enough, flat surface are of infinite area and their number of saddle connections may be finite. We study three problems about such surfaces. The first problem is the characterization of the strata of differentials such that the corresponding flat surfaces always have a finite number of saddle connections. We achieved to reduce the problem to a to single combinatorial criterium depending on the singularity pattern of the stratum. When we deal with this problem, we adopt the most general framework of k-differentials (of the form f(z)dz^{k}) with at least one pole of order at least k. The second problem is characterization of Veech groups of flat surfaces with poles. In the classical case of (half)-translation surfaces, it is a very difficult problem. Here, rigidity induced by the poles makes possible to provide a complete answer. Finally, we provide a complete characterization of the families of complex numbers that can appear as residues at the poles of a meromorphic differential belonging to a gien stratum. Thus, flat geometry provides a reciprocal to the residue theorem in which we control the multiplicities of the singularities. This last result is the product of a collaboration with Quentin Gendron.

Un origami est un revêtement du tore T2, éventuellement ramifié au-dessus de l'origine.Cet objet a été introduit par William P. Thurston et William A. Veech dans les années 1970.Un origami peut être vu comme un ensemble fini de copies du carreau unitaire qui sont collées par translations. Ainsi, un origami est un cas particulier d'une surface de translation,un élément de l'espace des modules de surfaces de Riemann munies d'une 1-forme holomorphe.Un origami O avec n carreaux correspond à une paire de permutations (σ, τ ) Є 2 Sn X Sn définie à conjugaison près. Le groupe Mon(O) engendré par une telle paire s'appelle le groupe de monodromie de O. On dit qu'un origami est primitif si son groupe de monodromie est un groupe de permutation primitif. Il y a une action naturelle du groupeGL2(Z) sur les origamis, le stabilisateur de O pour cette action est le groupe de Veechdésigné par GL(O). Le groupe de monodromie est un invariant des GL2(Z)-orbites.Dans le chapitre 3 de la thèse, nous montrons que le groupe de monodromie de tout origami primitif à n carreaux dans la strate H(2k) est An ou Sn si n ≥ 3k + 2, et noustrouvons la borne exacte quand 2k + 1 est premier. La même proposition est vraie pourla strate H(1; 1) si n =/= 6. Dans le chapitre 4, nous considérons les origamis réguliers,i.e. ceux pour lesquels le nombre de carreaux est égal à l'ordre du groupe de monodromie.Nous construisons de nouvelles familles d'origamis intéressantes et cherchons leurs strates et groupes de Veech. Nous estimons également le nombre de GL2(Z)-orbites et strates distinctes des origamis réguliers ayant un groupe de monodromie donné. Afin de trouver une borne inférieure pour les origamis alternés, nous prouvons que chaque permutation dans An quifixe peu de points est le commutateur d'une paire engendrant An. Dans le chapitre 6, nous étudions une propriété de sous-groupes de PSL2(Z) qui est liée à la propriété d'être le groupe de Veech d'un origami. / An origami is a covering of the torus T2, possibly ramified above the origin. This objectwas introduced by William P. Thurston and William A. Veech in 1970s. Un origami can beviewed as a finite collection of copies of the unitary square that are glued by translations.Thus, un origami is a particular case of a translation surface, that is, an element of the moduli space of Riemann surfaces equipped with a holomorphic 1-form.An n-square origami O corresponds to a pair of permutations (σ, τ ) Є 2 Sn X Sn defined up to conjugation. The group Mon(O) generated by such a pair is called the monodromy group of O. We say that an origami is primitive if its monodromy group is a primitive permutation group. There is a natural action of group GL2(Z) on the origamis, the stabilizer of O for this action is the Veech group denoted by GL(O). The monodromy group is aninvariant of the GL2(Z)-orbits.In the chapter 3 of the thesis, we show that the monodromy group of any primitive n-square origami in the stratum H(2k) is either An or Sn if n ≥ 3k + 2, and we find the exact bound when 2k + 1 is prime. The same proposition is true for the stratum H(1; 1) if n =/= 6.In the chapter 4, we consider the regular origamis, i.e. the origamis for which the number of squares equals the order of the monodromy group. We construct new families of origamis and investigate their strata and Veech groups. Also, we estimate the number of distinct GL2(Z)-orbits and strata of regular origamis with a given monodromy group. In order to find a lower bound for alternating origamis, we prove that each permutation in An which fixes few points is the commutator of a pair generating An. In the chapter 6, we study a subgroup property of PSL2(Z) that is related to the property to be the Veech group of an origami.