Une partie symétrique X d'un groupe G est un sous-groupe K-approximatif s'il existe une partie finie E ⊂ G de taille K telle que X2 ⊂ E.X. L'étude combinatoire des groupes approximatifs a grandement bénéficié des apports de la Théorie des Modèles : en 2009, Hrushovski montre qu'une ultralimite de groupes approximatifs finis possède une composante connexe modèle-théorique, donc un quotient localement compact X/H. En appliquant les résultats de Gleason et Yamabe sur le cinquième problème de Hilbert, cela permet de trouver un morphisme vers un groupe de Lie, et d'en déduire des résultats de nilpotence. Cela a permis à Breuillard, Green et Tao de classifier tous les groupes approximatifs finis, en retrouvant un quotient X/H de manière combinatoire. Dans cette thèse, on s'intéresse à la construction d'un sous-groupe H type-définissable et d'indice borné, qui garantit l'existence d'un quotient localement compact. On montre que l'approche combinatoire de Breuillard, Green et Tao peut être vue de cette manière, et on la généralise à tous les groupes approximatifs définissablement moyennables. On montre aussi que si H est type-définissable dans un langage L∗, alors on peut construire un sous-groupe H qui est type-définissable sur un langage réduit L, et toujours d'indice borné. L'existence de H ne dépend donc pas du choix du langage / A symmetric subset X in a group G is a K-approximate subgroup if there exists a finite set E ⊂ G of cardinality K such that X2 ⊂ E.X. The study of approximate subgroups in multiplicative combinatorics experienced a significate advance through the use of model theory. In 2009, Hrushovski showed that an ultralimit of finite approximate subgroups has a model-theoretic connected component, thus a locally compact quotient X/H. Using the results of Gleason and Yamabe about Hilbert’s fifth problem, this allows the construction of a morphism to a Lie group, and deduce some results about nilpotency. This lead to the theorem of Breuillard, Green and Tao classifying all finite approximate subgroups, using a combinatorial construction of the quotient X/H. In this thesis, we are intersested in the conditions needed to construct a type definable subgroup H of bounded index in X. This implies the existence of a locally compact quotient.We show that the combinatorial construction of Breuillard, Green and Tao can be seen in a definable way, and give a generalisation to all definably amenable approximate subgroups. Also, we show that if H is type-definable in a language L∗, then it is possible to construct a subgroup H which is type-definable in a reduct L, still with bounded index. Thus the existence of a subgroup H does not depend on the choice of a base language.

Dans la premier partie de cette thèse, nous étudions la structure des sous-groupes approximatifs dans les groupes metabéliens (groupes résolubles de classe de résolubilité 2) et montrons que si A est un tel sous-groupe K approximatif, il est K^⁰(r) contrôlée (au sens du Tao) par un groupe nilpotent où $ r désigne le rang de $ G=Fit (G) et Fit (G) $ est le sous-groupe de fitting de G. La deuxième partie est consacrée à l'étude de la croissance des ensembles dans GLn(Fq) où Fq est un corps fini. Nous montrons une borne sur le diamètre (par rapport à n'importe quel système des générateurs) pour tous sous-groupes simples finis de ce groupe. Si G est un groupe fini simple de type Lie de rang n, et son corps de base est de taille borné, le diamètre du graphe du Cayley Gamma (G;S) serait borné par exp (O (n (log n) ^ 3)) . Si la taille du corps fini Fq n'est pas borné, notre méthode donne une borne de q ^ {O (n ( log nq) ^ 3) pour le diamètre.Dans la troisième partie nous nous sommes intéressés à la croissance des ensembles dans les boucles de Moufang commutatifs. Ceux-ci sont les boucles commutatifs respectant les identités de Moufang mais sans être (nécessairement) associatifs. Nous montrons que, si les tailles des ensembles des associateurs sont bornées alors la croissance des sous-structures approximatifs dans ces boucles est similaire à celle des groupes ordinaires. De cette façon dans le cadre des boucles de moufang commutatifs finiment engendré on a un théorème de structure pour ses sous-boucles approximatifs.Mots-clefs -sous-groupes approximatifs, groupes résolubles, diamètres des groupes, boucles de moufang commutatifs. / In the first part of this thesis, we study the structure of approximate subgroups inside metabelian groups (solvable groups of derived length 2) and show that if A is such a K-approximate subgroup, then it is K^(O(r)) controlled (in the sense of Tao) by a nilpotent group where r denotes the rank of G=Fit(G) and Fit(G) is the fitting subgroup of G.The second part is devoted to the study of growth of sets inside GLn(Fq) , where we show a bound on the diameter (with respect to any set of generators) for all finite simple subgroups of this group. What we have is - if G is a finite simple group of Lie type with rank n, and its base field has bounded size, then the diameter of the Cayley graph C(G; S) would be bounded by exp(O(n(logn)^3)). If the size of the base field Fq is not bounded then our method gives a bound of q^(O(n(log nq)3)) for the diameter.In the third part we are interested in the growth of sets inside commutative Moufang loops which are commutative loops respecting the moufang identities but without (necessarily)being associative. For them we show that if the sizes of the associator sets are bounded then the growth of approximate substructures inside these loops is similar to those in ordinary groups. In this way for the subclass of finitely generated commutative moufang loops we have a classification theorem of its approximate subloops.