Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2018. / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES). / Esta dissertação está dividida em duas partes e é baseada no Capítulo 8 do livro ProfiniteGroups [22] de J. S. Wilson, e no artigo Uncountablymany non-commensurablefinitelypresentedpropgroups [19] de I. Snopce. A parte I é um estudo de grupos profinitos de posto finito. Estudamos grupos solúveis profinitos de posto finito e fornecemos uma série de caracterizações dos mesmos. Então mostramos que um grupo profinito arbitrário de posto finito é construído a partir de um grupo pronilpotente de posto finito, um grupo solúvel de posto finito e um grupo finito. E a Parte II é uma descrição de grupos pro-p de posto finito. Provamos que existe uma quantidade não enumerável de grupos pro-p uniformes metabelianos não comensuráveis de dimensão m, onde m é maior ou igual do que 3, e consequentemente, existe uma quantidade não enumerável de grupos pro-p finitamente apresentados não comensuráveis com um número minimal de geradores igual a m e um número minimal de relações. / This master’s dissertation was divided into two parts, and it is based on the Chapter 8 of the book Profinite Groups of J. S. Wilson, and on the article Uncountably many non- commensurable finitely presented pro-p groups of I. Snopce. Part I is a study of profinite groups of finite rank. We study profinite soluble groups of finite rank and we give a number of characterizations of them. Then we show that an arbitrary profinite group of finite rank is built up from a pronilpotent group of finite rank, a soluble group of finite rank, and a finite group. Part II is an account of pro-p groups of finite rank. It is proved that there are uncountably many non-commensurable metabelian uniform pro-p groups of dimension m. Consequently, there are uncountably many non-commensurable finitely presented pro-p groups with minimal number of generators m and minimal number of relations.

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática, 2016. / Submitted by Albânia Cézar de Melo (albania@bce.unb.br) on 2016-05-19T16:10:50Z No. of bitstreams: 1 2016_MichellLucenaDias.pdf: 856927 bytes, checksum: 2b871492934cc334418b723610b6350f (MD5) / Approved for entry into archive by Patrícia Nunes da Silva(patricia@bce.unb.br) on 2016-05-27T14:24:06Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2016_MichellLucenaDias.pdf: 856927 bytes, checksum: 2b871492934cc334418b723610b6350f (MD5) / Made available in DSpace on 2016-05-27T14:24:06Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2016_MichellLucenaDias.pdf: 856927 bytes, checksum: 2b871492934cc334418b723610b6350f (MD5) / Neste trabalho mostramos a existência de subgrupos livres em grupos finitamente apresentados com mais geradores do que relações, e cujo posto coincide com a deficiência da apresentação correspondente. Apresentamos a demonstração no caso abstrato utilizando a imersão de Magnus e imersões de anéis de grupos em anéis com divisão, e no caso pro-p, indicando as modificações e introduzindo o conceito de filtração. Também mostramos como o primeiro caso pode ser deduzido a partir do segundo utilizando completamento pro-p. _____________________________________________________________________________ ABSTRACT / In this work we show the existence of free subgroups in finitely presented groups with more generators than relations, and such that its rank is equal to the deficiency of the corresponding presentation. We present the proof in the abstract case using the Magnus embedding and embedding of group rings in skew-fields, and in the pro-p case, indicating the modifications and introducing the concept of filtration. We also show as the first case can be deduced from second case using the pro-p completion.