Este trabalho propõe uma extensão do método de propagação de feixe (BPM - Beam Propagation Method) para a análise de guias de ondas ópticos e acopladores baseados em materiais não-lineares do tipo Kerr. Este método se destina à investigação de estruturas onde a utilização da equação escalar de Helmholtz (EEH) em seu limite paraxial não mais se aplica. Os métodos desenvolvidos para este fim são denominados na literatura como métodos de propagação de feixe de ângulo largo. O formalismo aqui desenvolvido é baseado na técnica das diferenças finitas e nos esquemas de Crank-Nicholson (CN) e Douglas generalizado (GD). Estes esquemas apresentam como característica o fato de apresentarem um erro de truncamento em relação ao passo de discretização transversal, &#916x, proporcional a O(&#916x2) para o primeiro e O(&#916x4). A convergência do método em ambos esquemas é otimizada pela utilização de um algoritmo interativo para a correção do campo no meio não-linear. O formalismo de ângulo largo é obtido pela expansão da EEH para os esquemas CN e GD em termos de polinômios aproximantes de Padé de ordem (1,0) e (1,1) para CN e GD, e (2,2) e (3,3) para CN. Os aproximantes de ordem superior a (1,1) apresentam sérios problemas de estabilidade. Este problema é eliminado pela rotação dos aproximantes no plano complexo. Duas condições de contorno nos extremos da janela computacional são também investigadas: 1) (TBC - Transparent Boundary Condition) e 2) condição de contorno absorvente (TAB - Transparent Absorbing Boundary). Estas condições de contorno possuem a facilidade de evitar que reflexões indesejáveis sejam transmitidas para dentro da janela computacional. Um estudo comparativo da influência destas condições de contorno na solução de guias de ondas ópticos não-lineares é também abordada neste trabalho. / This work introduces an extension of the beam propagation method (BPM) for the analysis of optical waveguides and couplers based on Kerr-type nonlinear materials. This method is intended for the investigation of structures where the paraxial scalar Helmholtz equation (EEH) no longer holds. The numerical methods developed for this situation are known in the literature as wide-angle beam propagation methods. The formulation developed in this work is based on finite differences and on the Crank-Nicholson (CN) and Generalized Douglas (GD) schemes. These schemes are characterized by a truncation error with respect to the transverse discretization step, &#916x, proporcional to O(&#916x2) for the CN and to O(&#916x4) for the GD scheme. The convergence of the method for both schemes is optimized by the application of an iterative algorithm for the correction of the field in the nonlinear medium. The wide-angle formalism is obtained by the expansion of the EEH for the CN and GD schemes in terms of Padé approximant polynomials. The expansions addressed in this work utilize Padé approximants of order (1,0) and (1,1) for the CN and GD scheme, and (2,2) and (3,3) for the CN scheme. Approximants orders higher than (1,1) show serious stability problems. This problem is circumvented by rotating the approximants in the complex plane. Two boundary conditions on the edge of the computational window are also investigated: 1) transparent boundary condition (TBC) and 2) transparent absorbing boundary (TAB). These boundary conditions are necessary in order to avoid unwanted reflections back to computational domain. A comparative study of the influence of these boundary conditions on the solution of nonlinear optical waveguides is also addressed in this work.

Este trabalho propõe uma extensão do método de propagação de feixe (BPM - Beam Propagation Method) para a análise de guias de ondas ópticos e acopladores baseados em materiais não-lineares do tipo Kerr. Este método se destina à investigação de estruturas onde a utilização da equação escalar de Helmholtz (EEH) em seu limite paraxial não mais se aplica. Os métodos desenvolvidos para este fim são denominados na literatura como métodos de propagação de feixe de ângulo largo. O formalismo aqui desenvolvido é baseado na técnica das diferenças finitas e nos esquemas de Crank-Nicholson (CN) e Douglas generalizado (GD). Estes esquemas apresentam como característica o fato de apresentarem um erro de truncamento em relação ao passo de discretização transversal, &#916x, proporcional a O(&#916x2) para o primeiro e O(&#916x4). A convergência do método em ambos esquemas é otimizada pela utilização de um algoritmo interativo para a correção do campo no meio não-linear. O formalismo de ângulo largo é obtido pela expansão da EEH para os esquemas CN e GD em termos de polinômios aproximantes de Padé de ordem (1,0) e (1,1) para CN e GD, e (2,2) e (3,3) para CN. Os aproximantes de ordem superior a (1,1) apresentam sérios problemas de estabilidade. Este problema é eliminado pela rotação dos aproximantes no plano complexo. Duas condições de contorno nos extremos da janela computacional são também investigadas: 1) (TBC - Transparent Boundary Condition) e 2) condição de contorno absorvente (TAB - Transparent Absorbing Boundary). Estas condições de contorno possuem a facilidade de evitar que reflexões indesejáveis sejam transmitidas para dentro da janela computacional. Um estudo comparativo da influência destas condições de contorno na solução de guias de ondas ópticos não-lineares é também abordada neste trabalho. / This work introduces an extension of the beam propagation method (BPM) for the analysis of optical waveguides and couplers based on Kerr-type nonlinear materials. This method is intended for the investigation of structures where the paraxial scalar Helmholtz equation (EEH) no longer holds. The numerical methods developed for this situation are known in the literature as wide-angle beam propagation methods. The formulation developed in this work is based on finite differences and on the Crank-Nicholson (CN) and Generalized Douglas (GD) schemes. These schemes are characterized by a truncation error with respect to the transverse discretization step, &#916x, proporcional to O(&#916x2) for the CN and to O(&#916x4) for the GD scheme. The convergence of the method for both schemes is optimized by the application of an iterative algorithm for the correction of the field in the nonlinear medium. The wide-angle formalism is obtained by the expansion of the EEH for the CN and GD schemes in terms of Padé approximant polynomials. The expansions addressed in this work utilize Padé approximants of order (1,0) and (1,1) for the CN and GD scheme, and (2,2) and (3,3) for the CN scheme. Approximants orders higher than (1,1) show serious stability problems. This problem is circumvented by rotating the approximants in the complex plane. Two boundary conditions on the edge of the computational window are also investigated: 1) transparent boundary condition (TBC) and 2) transparent absorbing boundary (TAB). These boundary conditions are necessary in order to avoid unwanted reflections back to computational domain. A comparative study of the influence of these boundary conditions on the solution of nonlinear optical waveguides is also addressed in this work.