We say that (weak/strong) time duality holds for continuous time quasi-birth-and-death-processes if, starting from a fixed level, the first hitting time of the next upper level and the first hitting time of the next lower level have the same distribution. We present here a criterion for time duality in the case where transitions from one level to another have to pass through a given single state, the so-called bottleneck property. We also prove that a weaker form of reversibility called balanced under permutation is sufficient for the time duality to hold. We then discuss the general case.

Cette thèse est consacrée à l’étude de certains processus affines d’un point de vue théorique ainsi que appliqué par le biais d’applications en mathématiques actuarielles. Les processus affines sont des processus markoviens homogènes dont la transformée de Laplace du semi-groupe admet une structure exponentielle affine en son état initial. En vertu de leur riche structure, ces processus trouvent de nombreuses applications en biologie, physique et en mathématique de l’économie. Dans le chapitre 1, nous considérons les processus CBI (Continuous state Branching with Immigration) qui correspondent à un exemple de processus affines à valeurs dans la demi- droite réelle positive. Notre objectif dans ce chapitre consiste à étudier la transformée de Laplace du temps d’atteinte de ces processus à un niveau donné. Notre approche est basée sur un récent développement de Patie and Vigon [2015] concernant la théorie du potentiel pour la classe des processus de Markov complètement asymétriques à valeurs dans la droite réelle. Dans un premier temps, cette approche originale nous permet de donner une expression pour la transformée de Laplace du premier temps d’atteinte d’un niveau qui se trouve en dessous du point de départ du processus et ainsi de retrouver par une approche plus générale le résultat récemment obtenu par Duhalde et al. [2014]. Dans un deuxième temps, nous nous intéressons au cas où le niveau à atteindre se trouve au-dessus du point de départ du processus. Dans ce cadre, la situation est plus compliquée puisque le processus admet des sauts positifs. Néanmoins, nous sommes capable de donner une expression pour la transformée de Laplace de ce temps d’atteinte. Dans le chapitre 2, nous considérons les processus Wishart qui correspondent à un exemple de processus affines à valeurs dans le cône des matrices symétriques semi-définies positives. Plus précisément, nous considérons des processus de Wishart sans retour à la moyenne et nous étudions le problème de déterminer le plus petit instant tel que la transformée de Laplace du processus et/ou son intégrale devienne infinie. Le problème de déterminer le domaine maximal d’existence d’une transformée de Laplace est une préoccupation importante et cruciale, pas seulement d’un point de vue théorique, mais surtout pour des raisons pratiques liées à l’implémentation numérique. Sous une faible hypothèse de commutativité, nous obtenons le temps d’explosion de la transformée de Laplace jointe. Cette hypothèse disparaît lorsque l’on s’intéresse aux temps d’explosion de la transformée de Laplace de l’intégrale du processus ou du processus seul. De plus, nous expliquons le comportement du temps d’explosion en terme du rôle de la corrélation entre les facteurs positifs, ce qui va au-delà des résultats unidimensionnels que l’on peut retrouver dans la littérature. Dans le chapitre 3, nous considérons des modèles affines où une structure de dépendance entre les taux de mortalité et d’intérêt existe. Nous nous concentrons sur deux sortes de modèles. Le premier modèle suppose que les dynamiques de la mortalité et du processus de taux d’intérêt sont conduits par un processus de Cox-Ingersoll-Ross (CIR) multidimensionnel et le second par un processus de Wishart. Dans ce contexte, nos objectifs consistent à déterminer des formules pour les prix de certains contrats d’assurance tels que les options annuités garanties ainsi que d’étudier l’influence d’une structure de dépendance sur ces prix. En suivant la méthodologie introduite par Jalen and Mamon [2009], nous commençons par dériver une formule pour le prix de ces contrats. Ensuite, nous étudions la sensibilité du prix de ces contrats par rapport à la structure de dépendance entre les taux de mortalité et d’intérêt. Nous observons que dans un modèle affine général comme le modèle de Wishart qui permet de reproduire une structure de dépendance stochastique et plus riche entre les taux de mortalité et d’intérêt, plusieurs scénarios pour les prix peuvent être reproduits. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished