Étant donné un espace topologique filtré X, nous donnons des critères explicites pour pouvoir scinder sa filtratlon associée par rapport à une théorie généralisée de l'homologie, Nous reproduisons ainsi et de manière unifiée les scindements classiques de Snaith (pour les espaces de lacets), de Steenrod (pour les produits symétriques) et multiples autres exemples. Ces scindements sont de grande utilité en topologie algébrique. Nous étendons également le scindement de Steenrod aux espaces de permutations et puis donnons plusieurs nouvelles applications de nos techniques de scindements aux espaces de confïgurations, aux produits polyèdraux, aux fonctions rationnelles et aux espaces de « particules ». / Given a fïltered space X, we provide useful criteria to split the associated filtration on X with respect to a generalized homology theory. We recover in a unifïed way the classlcal splittings of Snaith (for iterated loop spaces), of Steenrod (for the symmetric products) and mam others (contïguratlon spaces, classifying spaces). We extend the splitting of Steenrod to permutation products and to other situations. We then apply our techniques to exhibit splittings for polyhedral spaces, rational functions and "particle spaces"

L'objectif de ce travail est l'étude de la K-théorie réelle connexe des 2-groupes abéliens élémentaires, c'est-à-dire, pour V un 2-groupe abélien élémentaire, l'objet kR^{\star}(BV ). Cet objet contient, entre autres, la K-théorie orthogonale connexe ko et la K-théorie unitaire connexe ku des 2-groupes abéliens élémentaires, et est naturellement muni d'une structure de Z[v1]-module, où v1 désigne la classe de Bott réelle, un relèvement équivariant en K-théorie réelle de la classe de Bott en K-théorie unitaire. En utilisant des outils provenant de la théorie d'homotopie stable Z/2-équivariante, et en particulier la tour des tranches, une tour naturelle dans la catégorie stable équivariante introduite dans les travaux récents de Hill, Hopkins et Ravenel, on montre que les éléments de torsion pour la classe de Bott réelle dans la K-théorie réelle des 2-groupes abéliens élémentaires sont annulés par la multiplication par v2 1. On effectue une étude détaillée de l'algèbre de Steenrod Z/2-équivariante A, constituée des opérations en HF2-cohomologie, et de sa relation avec l'algèbre de Steenrod classique modulo 2. On exhibe en particulier, pour tout entier n, des sous-algèbres extérieures de l'algèbre de Steenrod équivariante E(\beta_0,...,\beta_n), générées par certaines opérations \beta_ i, i entier, qui est une version Z/2-équivariante de la sous algèbre de l'algèbre de Steenrod modulo 2 engendrée par les n+1 premières opérations de Milnor. On s'intéresse ensuite l'algèbre homologique relative, dans la catégorie des E(\beta_0,\beta_1)-modules, relativement au sous-anneau E(\beta_0), et on introduit des outils de calcul très généraux permettant en particulier de déterminer tous les groupes d'extension relatifs Ext(F2,HF2^{\star}(BV )). On introduit ensuite la propriété de h-détection pour une tour d'objets dans une catégorie triangulée, et on relie les propriétés de h-détection à l'estimation de la v1-torsion de la K-théorie réelle connexe. On étudie ensuite l'obstruction pour qu'une tour vérifie la propriété de h-détection, pour h = 1 ou 2. On montre ensuite que l'obstruction pour que la tour des tranches de la K-théorie réelle vérifie la propriété de 2-détection est contrôlée par Ext(F2,HF2^{\star}(BV )), qu'on a calculé précédemment. Le résultat précédent concernant la v1-torsion de la K-théorie réelle des 2-groupes abéliens élémentaires suit. Une des applications de ce résultat est une détermination explicite de kR^{\star}(BV ).

Nous développons une version homotopique de la théorie de Morita classique en utilisant la notion de monade forte. C'était Anders Kock qui a montré qu'une monade T dans une catégorie monoidale E est forte si et seulement si la monade T est enrichie. Nous montrons que cette correspondance entre force et enrichissement se traduit par un 2-isomorphisme de 2-catégories. Sous certaines conditions sur la monade T, nous montrons que la catégorie homotopique des T-algèbre est équivalente au sens de Quillen à la catégorie homotopique des modules sur le monoïde d'endomorphismes de la T-algèbre T (I) librement engendré par l'unité I de E . Dans le cas particulier où E est la catégorie des Γ-espaces de Segal munie de la structure de modèle stable de Bousfi eld-Friedlander et T est la monade forte associée à une Γ-théorie bien pointée, nous retrouvons un théorème de Stefan Schwede, comme corollaire du théorème homotopique de Morita.