Magíster en Ciencias de la Ingeniería, Mención Matemáticas Aplicadas / Ingeniero Civil Matemático / Se desarrolla un modelo dinámico a tiempo contínuo que permite el comercio de múltiples mercados financieros interconectados, organizados como limit order markets, en el cual agentes endógenamente toman decisiones óptimas para maximizar el valor esperado de sus ganacias. Los agentes toman sus decisiones considerando incentivos propios, condiciones de mercado, potenciales decisiones de negociación futuras y diferentes estrategias adoptadas por otros agentes. Se concentra el estudio al análisis de divulgación de profundidad y la fragmentación en el contexto de múltiples mercados. Se prueban tres escenarios principales: (i) un único mercado Transparente, (ii) un único mercado Opaco y (iii) un mercado múltiple interconectado entre una bolsa Transparente y una Opaca que comercian el mismo activo. Los resultados principales indican que, en el contexto de un único mercado, la divulgación de profundidad genera una competencia que incrementa el suministro de liquidez y, en consecuencia, reduce el spread, el ruido de mercado e incrementa la profundidad en los precios más competitivos y en el volumen total del libro. Los agentes con una valoración privada absoluta positiva del activo incrementan sus ganancias a costa de los agentes sin valoración privada, al disminuir sus costos de espera y aumentar sus ganancias por transacción. Estos beneficios son amplificados en el contexto de múltiples mercados debido a las restricciones para transar que generan una competencia más agresiva. Se encuentra que hay un flujo de liquidez hacia la componente Transparente debido a los agentes multi mercados proveedores de liquidez, lo cual reduce el spread e incrementa las profundidades. Para mantenerse atractivos, los agentes en la Bolsa Opaca también entran en competencia, lo cual reduce el spread y ruido de mercado en esta bolsa de similar manera. Los agentes multi mercados demandantes de liquidez son los que presentan el mejor rendimiento de todos, principalmente al reducir significativamente los tiempos de sus ejecuciones. / We develop a dynamic model in continuous time to simulate multi markets trading. Traders make endogenously sequential optimal decision to maximize their expected payoffs across different limit order markets, taking into account intrinsic incentives, markets conditions, potential future trading decisions and different strategies adopted by other agents. We focus our study in depth disclosure and lit fragmentation, and test three main scenarios: (i) a single Lit Market, (ii) a single Opaque Market and (iii) Multi Markets interconnected with both Lit and Opaque venues trading a single common asset. Our main results indicate that, in a single market environment, depth disclosure generates a competition that increments liquidity supply and as a consequence, reduces spread, microstructure noise and increases depth at best quotes and total depth of the book. Agents with a positive absolute private valuation of the asset increases their benefits at the expense of agents without a private valuation, by decreasing their waiting costs and increasing their money transfer. These benefits are amplified in a multi market environment due to trading restrictions that generates more aggressive competition. We find a liquidity flow to the Lit venue given by multi market liquidity suppliers, that reduces the spread and increases depths. To stay in competence agents in the Opaque Venue enter the competition as well, reducing spread and microstructure noise in that exchange too. Multi market liquidity demanders with the possibility to trade in both venues have the best performance of all agents, due to a significant reduction in their execution time.

Ingeniero Civil Matemático / El objetivo de este trabajo es revisar la historia de un problema formulado hace ya más de 250 años, y que todavía no ha abandonado el terreno de la conjetura. De hecho, las ecuaciones de Euler y de Navier - Stokes en tres dimensiones espaciales constituyen hoy en día un desafío para matemáticos, físicos e ingenieros; aunque mucho se ha descubierto, la naturaleza de las soluciones sigue siendo un gran misterio. Precisamente, se ignora si las soluciones de la ecuación de Euler o de Navier - Stokes tridimensional (en el caso incompresible), partiendo desde condiciones iniciales regulares, mantienen esta propiedad en todo tiempo posterior, o bien desarrollan en tiempo finito una singularidad. La investigación comienza con un repaso de aquellos conceptos esenciales de la mecánica de medios continuos que se consideran indispensables para un futuro estudio de la formación de singularidades en las soluciones de la ecuación de Euler o de Navier - Stokes tridimensional. Dentro de este repaso se otorga particular atención a la ecuación de evolución de la vorticidad, una de las herramientas fundamentales en el tratamiento matemático de los fluidos, ya sean ideales o viscosos. Posteriormente se revisan los resultados clásicos concernientes a la existencia, unicidad y regularidad de soluciones de la ecuación de Euler y Navier - Stokes incompresible (en los casos bidimensional y tridimensional). A partir de estos teoremas surge naturalmente el fenómeno del quiebre, en tiempo finito, de la regularidad de dichas soluciones. Este misterio ha sido parcialmente desvelado por el ya famoso criterio de Beale - Kato - Majda, que establece que si una solución inicialmente suave de la ecuación de Euler o de Navier - Stokes 3D desarrolla una singularidad en el instante $T^{*} > 0$, entonces su campo de vorticidad $\omega(t)$ se acumula tan rápidamente en el tiempo de modo tal que: $$ \lim\limits_{t \nearrow T^{*}} \int\limits_{0}^{t} \Vert \omega(s) \Vert_{L^{\infty}} \,ds = \infty. $$ Luego de elaborar un recuento histórico sobre algunos de los intentos que han sido llevados a cabo con la intención de poner fin a esta polémica (en el caso de la ecuación de Euler 3D), en el capítulo N°6 se describe detalladamente un experimento numérico del año 2014, diseñado por Thomas Hou y Guo Luo con el propósito de hallar potenciales soluciones singulares y axisimétricas de la ecuación de Euler 3D. La principal novedad de este trabajo de memoria está en el estudio del \textit{ansatz} auto - similar propuesto por Hou y Luo para formalizar sus observaciones numéricas: se demuestra analíticamente que dicho \textit{ansatz} no conduce hacia una solución singular de la ecuación de Euler incompresible y tridimensional. El trabajo de memoria concluye con la exposición de algunos resultados que son aplicables únicamente a la ecuación de Navier - Stokes incompresible y tridimensional, tales como la estimación de Caffarelli - Kohn - Nirenberg de la medida de Hausdorff del conjunto de puntos singulares, o bien, diversos teoremas del tipo Liouville en este contexto. / Este trabajo ha sido parcialmente financiado por el proyecto Fondecyt N° 1150066

Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática / En esta tesis doctoral se estudian algoritmos para resolver problemas de optimización convexa con estructura separable, y problemas de equilibrio económico de Walras. Así, la tesis se divide en dos partes. La primera parte corresponde al estudio teórico y numérico de un método de direcciones alternantes de multiplicadores el cual usa un término proximal interior. La segunda parte está dedicada al estudio numérico de algoritmos de segundo orden para resolver problemas de maximización de utilidades que aparecen en problemas de equilibrio en economía. En el primer capítulo se hace una revisión de algunos métodos de descomposición basados en el Lagrangeano aumentado. Luego, se hace una revisión de la definición y propiedades de las distancias proximales generalizadas. En el segundo capítulo, se prueba la convergencia global del método propuesto bajo supuestos estándares. Este método es llamado Método de Direcciones Alternantes con Regularización Proximal Interior (RIPADM). En el tercer capítulo, se establece la convergencia global de una variante del método RIPADM la cual añade un factor de relajación a la regla de actualización del multiplicador de Lagrange. En el cuarto capítulo, se implementa computacionalmente en Matlab, el método RIPADM, el ADM original y el método proximal de multiplicadores (PMM) para resolver el problema LASSO restringido y un problema de máquinas de soporte vectorial. En la implementación computacional del método RIPADM se usa la distancia proximal Log-quad, y la distancia Kullback-Leibler. En el quinto capítulo, se describe el modelo de intercambio puro de Arrow-Debreau, y se hace una revisión de un método recientemente propuesto para resolver problemas de equilibrio económico de Walras. En el sexto capítulo, se implementa computacionalmente el método punto-interior primaldual (PDIPM) y el método gradiente proyectado con aceleración (AGPM) para resolver problemas de maximización de utilidades que aparecen en problemas de equilibrio en economía. / This thesis deals with algorithms for solving convex optimization problems with separable structure, and Walras economic equilibrium problems. So the thesis is divided into two parts. The first part corresponds to a theoretical and numerical study of an alternating direction method of multipliers which uses an inner proximal term. The second one is focused on numerical study of algorithms for solving utility maximization problems that arise in equilibrium problems in economic. The first chapter includes a review of some decomposition methods based on the augmented Lagrangian. Then, the definition and properties of generalized proximal distances are given. In the second chapter, the global convergence of the proposed method is proved. This method is called Alternating Direction Method with Interior Proximal Regularization (RIPADM). The third chapter contains the proof of the global convergence of a variant of the RIPADM method which adds a relaxation factor in the update rule of Lagrange multiplier. The fourth chapter corresponds to the computational implementation in Matlab of the RIPADM method, the original ADM and proximal method of multipliers (PMM), to solve the LASSO problem and a support vector machine problem. In the computational implementation of the RIPADM method it is used the Log-quad distance, and also is used the Kullback-Leibler distance which is a Bregman distance. The fifth chapter includes a description of the pure exchange model of Arrow-Debreau, and a review of a recently proposed method to solve Walras economic equilibrium problems. The sixth chapter corresponds to the computational implementation of primal-dual interiorpoint method (PDIPM) and the projected gradient method with acceleration (AGPM) for solving utility maximization problems that appear in Walras economic equilibrium problems.