Neste trabalho desenvolvemos o estudo da álgebra linear, secções cônicas e aplicações. Apresentamos os conceitos mais importantes da álgebra linear, estudando os espaços vetorias, subespaços vetoriais, matriz de mudança de base, transformações lineares e produto interno. O principal resultado do trabalho é o teorema espectral que fornece ferramentas para se estudar as secções cônicas não elementares, ou seja, aquelas nas quais uma parábola, elipse ou hipérbole são apresentadas com seus eixos não paralelos aos eixos coordenados do plano cartesiano. Uma vez de posse deste teorema é mostrado um processo prático no qual transformamos uma equação ax2 +bxy +cy2 +dx +ey + g = 0 na equação k1 (x\')2 + k2 (y\')2 + (dx1 + ey1) x\' + (dx2 + ey2) y\' + g = 0 sem o termo misto xy, onde após a eliminação deste, podemos deduzir a equação da cônica identificando assim esta curva. Apresentamos exemplos de cônicas com eixos paralelos e não paralelos aos coordenados do plano cartesiano e utilizamos o software geogebra para visualização. Também discutimos algumas aplicações das cônicas como trajetória de corpos celestes (planeta Terra e um cometa), princípio de reflexão da parábola mostrando o porquê das antenas e dos captadores de ondas sonoras serem parabólicos. Demonstramos um teorema que denominei de identificador de uma curva cônica pois com ele é possível classificar a cônica sem realizar o processo prático, apenas para isso identificamos através da equação ax2 +bxy + cy2 +dx + ey +g = 0, quais os valores de a;b e c e feito isto calculamos o discriminante b2 - 4ac, analisamos os sinais e a nulidade, ou seja, se é maior que zero, menor que zero ou igual a zero, assim é possível classificar a cônica. / The paper develops the study of linear algebra, conic sections and applications. I present the most important concepts of linear algebra, studying vector spaces, vector subspaces, base change matrix, linear transformations, internal product. The main result of the work is the spectral theorem, which provides tools to study the non-elementary conic sections, that is, those in which a parabola, ellipse or hyperbola are presented with their axes not parallel to the cartesian planes coordinate axes. Using this theorem we show a practical process in which we transform an equation ax2 +bxy + cy2 +dx +ey +g = 0 into the equation k1 (x\')2 +k2 (y\')2 + (dx1 +ey1) x\' (dx2 + ey2) y\' +g = 0 without the mixed term xy, where after its elimination we can deduce the conic equation thus identifying the curve we are looking for. I present examples of conic with parallel and non-parallel axes to the coordinates of the Cartesian plane and use the geogebra software for visualization. I discuss some applications of the conic as a trajectory of celestial bodies (planet Earth and a comet), principle of reflection of parabola showing why the antennas and sound wave pickups are parabolics. I demonstrate a theorem that I named the identifier of a conic curve, with it it is possible to classify the conic without realizing the practical process only for this. I identify through the equation ax2 +bxy + cy2 +dx + ey + g = 0, what are the values of a;b, and c and, with this done, I compute the discriminant b2 - 4ac and analyze the signs and the nullity, that is, if it is greater than zero, less than zero or equal to zero, therefore is possible to classify the conic.

O problema de empacotamento de itens irregulares com balanceamento da carga é encontrado no carregamento de aviões, caminhões e navios. O objetivo é empacotar itens irregulares utilizando o menor número de recipientes possível de forma que os recipientes estejam balanceados, que os itens não se sobreponham e estejam inteiramente contidos no recipiente. Neste trabalho, propomos três heurísticas bases com três variações cada para o problema com recipientes retangulares e irregulares. As heurísticas utilizam abordagens diferentes para representar os itens e para fazer o balanceamento. Uma das heurísticas utiliza malha para representação dos itens e faz o balanceamento dividindo o recipiente em quadrantes e revezando a alocação dos itens entre eles de forma que o balanceamento é feito de forma indireta. Tal heurística resolve o problema tanto para recipientes retangulares quanto irregulares. A segunda heurística utiliza a representação dos itens por polígonos e impossibilita a sobreposição de itens utilizando a técnica do nofit polygon. A heurística constrói a solução item por item, sem posições fixas e a cada item alocado, os itens são deslocados em direção ao centro de gravidade desejado do recipiente. Esta heurística resolve apenas problemas com recipientes retangulares. A última heurística é uma adaptação da heurística anterior para a resolução do problema com recipientes irregulares, de forma que o problema é resolvido em duas fases. Cada heurística base possui três variações cada, totalizando nove heurísticas. As heurísticas foram comparadas com outro trabalho da literatura e conseguiram melhorar os resultados para nove das dezenove instâncias testadas. / The irregular bin packing problem with load balancing is found in the loading of airplanes, trucks and ships. The aim is to use as few bins as possible to pack all the items so that all bins are balanced, items do not overlap and are fully contained in the bin. In this work, we propose three base heuristics with three variations each for the problem with rectangular and irregular bin. The three heuristics use different approaches to represent the items and to balance the bin. One of the heuristics uses a grid to represent the items and does the balancing by dividing the container into quadrants and alternating the allocation of items between them so that the balancing is done indirectly. Such heuristic solves the problem for both rectangular and irregular bins. The second heuristic uses the representation of items by polygons and uses the nofit polygon technique. The heuristic constructs the solution item by item, with no fixed positions and with each item allocated, the items are shifted towards the desired center of gravity of the bin. This heuristic only solves problems with rectangular bins. The last heuristic is an adaptation of the previous one to solve the problem with irregular bins, so that the problem is solved in two phases. Each base heuristic has three variations, totaling nine heuristics. The heuristics were compared with other work in the literature and managed to improve the results for nine of the nineteen instances tested.

Neste trabalho desenvolvemos o estudo da álgebra linear, secções cônicas e aplicações. Apresentamos os conceitos mais importantes da álgebra linear, estudando os espaços vetorias, subespaços vetoriais, matriz de mudança de base, transformações lineares e produto interno. O principal resultado do trabalho é o teorema espectral que fornece ferramentas para se estudar as secções cônicas não elementares, ou seja, aquelas nas quais uma parábola, elipse ou hipérbole são apresentadas com seus eixos não paralelos aos eixos coordenados do plano cartesiano. Uma vez de posse deste teorema é mostrado um processo prático no qual transformamos uma equação ax2 +bxy +cy2 +dx +ey + g = 0 na equação k1 (x\')2 + k2 (y\')2 + (dx1 + ey1) x\' + (dx2 + ey2) y\' + g = 0 sem o termo misto xy, onde após a eliminação deste, podemos deduzir a equação da cônica identificando assim esta curva. Apresentamos exemplos de cônicas com eixos paralelos e não paralelos aos coordenados do plano cartesiano e utilizamos o software geogebra para visualização. Também discutimos algumas aplicações das cônicas como trajetória de corpos celestes (planeta Terra e um cometa), princípio de reflexão da parábola mostrando o porquê das antenas e dos captadores de ondas sonoras serem parabólicos. Demonstramos um teorema que denominei de identificador de uma curva cônica pois com ele é possível classificar a cônica sem realizar o processo prático, apenas para isso identificamos através da equação ax2 +bxy + cy2 +dx + ey +g = 0, quais os valores de a;b e c e feito isto calculamos o discriminante b2 - 4ac, analisamos os sinais e a nulidade, ou seja, se é maior que zero, menor que zero ou igual a zero, assim é possível classificar a cônica. / The paper develops the study of linear algebra, conic sections and applications. I present the most important concepts of linear algebra, studying vector spaces, vector subspaces, base change matrix, linear transformations, internal product. The main result of the work is the spectral theorem, which provides tools to study the non-elementary conic sections, that is, those in which a parabola, ellipse or hyperbola are presented with their axes not parallel to the cartesian planes coordinate axes. Using this theorem we show a practical process in which we transform an equation ax2 +bxy + cy2 +dx +ey +g = 0 into the equation k1 (x\')2 +k2 (y\')2 + (dx1 +ey1) x\' (dx2 + ey2) y\' +g = 0 without the mixed term xy, where after its elimination we can deduce the conic equation thus identifying the curve we are looking for. I present examples of conic with parallel and non-parallel axes to the coordinates of the Cartesian plane and use the geogebra software for visualization. I discuss some applications of the conic as a trajectory of celestial bodies (planet Earth and a comet), principle of reflection of parabola showing why the antennas and sound wave pickups are parabolics. I demonstrate a theorem that I named the identifier of a conic curve, with it it is possible to classify the conic without realizing the practical process only for this. I identify through the equation ax2 +bxy + cy2 +dx + ey + g = 0, what are the values of a;b, and c and, with this done, I compute the discriminant b2 - 4ac and analyze the signs and the nullity, that is, if it is greater than zero, less than zero or equal to zero, therefore is possible to classify the conic.

O problema de empacotamento de itens irregulares com balanceamento da carga é encontrado no carregamento de aviões, caminhões e navios. O objetivo é empacotar itens irregulares utilizando o menor número de recipientes possível de forma que os recipientes estejam balanceados, que os itens não se sobreponham e estejam inteiramente contidos no recipiente. Neste trabalho, propomos três heurísticas bases com três variações cada para o problema com recipientes retangulares e irregulares. As heurísticas utilizam abordagens diferentes para representar os itens e para fazer o balanceamento. Uma das heurísticas utiliza malha para representação dos itens e faz o balanceamento dividindo o recipiente em quadrantes e revezando a alocação dos itens entre eles de forma que o balanceamento é feito de forma indireta. Tal heurística resolve o problema tanto para recipientes retangulares quanto irregulares. A segunda heurística utiliza a representação dos itens por polígonos e impossibilita a sobreposição de itens utilizando a técnica do nofit polygon. A heurística constrói a solução item por item, sem posições fixas e a cada item alocado, os itens são deslocados em direção ao centro de gravidade desejado do recipiente. Esta heurística resolve apenas problemas com recipientes retangulares. A última heurística é uma adaptação da heurística anterior para a resolução do problema com recipientes irregulares, de forma que o problema é resolvido em duas fases. Cada heurística base possui três variações cada, totalizando nove heurísticas. As heurísticas foram comparadas com outro trabalho da literatura e conseguiram melhorar os resultados para nove das dezenove instâncias testadas. / The irregular bin packing problem with load balancing is found in the loading of airplanes, trucks and ships. The aim is to use as few bins as possible to pack all the items so that all bins are balanced, items do not overlap and are fully contained in the bin. In this work, we propose three base heuristics with three variations each for the problem with rectangular and irregular bin. The three heuristics use different approaches to represent the items and to balance the bin. One of the heuristics uses a grid to represent the items and does the balancing by dividing the container into quadrants and alternating the allocation of items between them so that the balancing is done indirectly. Such heuristic solves the problem for both rectangular and irregular bins. The second heuristic uses the representation of items by polygons and uses the nofit polygon technique. The heuristic constructs the solution item by item, with no fixed positions and with each item allocated, the items are shifted towards the desired center of gravity of the bin. This heuristic only solves problems with rectangular bins. The last heuristic is an adaptation of the previous one to solve the problem with irregular bins, so that the problem is solved in two phases. Each base heuristic has three variations, totaling nine heuristics. The heuristics were compared with other work in the literature and managed to improve the results for nine of the nineteen instances tested.

Problemas de corte e empacotamento de itens irregulares são problemas que visam determinar um leiaute ótimo de objetos pequenos dentro de objetos maiores, a fim de atender a uma demanda. Estes problemas têm grande importância prática, já que surgem em vários tipos de indústria (como a têxtil, a de móveis e a de calçados). O problema estudado neste trabalho é o problema de corte de itens irregulares em recipientes. Os recipientes são delimitados e o objetivo é encontrar um leiaute dos objetos menores, sem sobreposição, dentro dos objetos maiores utilizando a menor quantidade de recipientes. Propomos um novo método de resolução para o problema. Nosso método é um algoritmo que gerencia um conjunto de heurísticas, de baixo nível, específicas para a resolução do problema com recipientes retangulares e irregulares. Recipientes irregulares são polígonos convexos e não convexos, que podem ser furados. As heurísticas desenvolvidas utilizam uma malha de pontos sobre a técnica de no-fit polygon para evitar a sobreposição dos itens e encontrar posições viáveis no recipiente retangular ou irregular. Os experimentos computacionais foram feitos para um grande conjunto de instâncias, de recipientes retangulares e irregulares. Os resultados demonstram a competitividade do método, que obtêm resultados bons e algumas soluções ótimas, em um tempo computacional aceitável. / Cutting and packing of irregular items are problems that aim to determine the optimum layout of small objects within larger objects (that we call bins), in order to meet a demand. These problems have great practical importance, since they emerge in various types of industry (such as textile, furniture and shoemaking). The problem studied in this work is the irregular bin packing problem. The bins are enclosed and the goal is to find a layout of items, without overlap, within the bins by using the minimum quantity of them. We propose a new method of resolution to this problem. Our method is an algorithm that manages a set of low-level heuristics, specific to solve the problem with rectangular bins and irregular bins. Irregular bins are convex and non-convex polygons, which may contain holes. The developed heuristics uses a mesh of points and the technique of no-fit polygon to avoid the overlapping of items and find feasible positions in rectangular or irregular bins. The computational experiments were performed for a large set of instances, using both rectangular and irregular bins. The results demonstrate the competitiveness of the method, which can get good results and some optimal solutions within an acceptable computational time.

Problemas de corte e empacotamento de itens irregulares são problemas que visam determinar um leiaute ótimo de objetos pequenos dentro de objetos maiores, a fim de atender a uma demanda. Estes problemas têm grande importância prática, já que surgem em vários tipos de indústria (como a têxtil, a de móveis e a de calçados). O problema estudado neste trabalho é o problema de corte de itens irregulares em recipientes. Os recipientes são delimitados e o objetivo é encontrar um leiaute dos objetos menores, sem sobreposição, dentro dos objetos maiores utilizando a menor quantidade de recipientes. Propomos um novo método de resolução para o problema. Nosso método é um algoritmo que gerencia um conjunto de heurísticas, de baixo nível, específicas para a resolução do problema com recipientes retangulares e irregulares. Recipientes irregulares são polígonos convexos e não convexos, que podem ser furados. As heurísticas desenvolvidas utilizam uma malha de pontos sobre a técnica de no-fit polygon para evitar a sobreposição dos itens e encontrar posições viáveis no recipiente retangular ou irregular. Os experimentos computacionais foram feitos para um grande conjunto de instâncias, de recipientes retangulares e irregulares. Os resultados demonstram a competitividade do método, que obtêm resultados bons e algumas soluções ótimas, em um tempo computacional aceitável. / Cutting and packing of irregular items are problems that aim to determine the optimum layout of small objects within larger objects (that we call bins), in order to meet a demand. These problems have great practical importance, since they emerge in various types of industry (such as textile, furniture and shoemaking). The problem studied in this work is the irregular bin packing problem. The bins are enclosed and the goal is to find a layout of items, without overlap, within the bins by using the minimum quantity of them. We propose a new method of resolution to this problem. Our method is an algorithm that manages a set of low-level heuristics, specific to solve the problem with rectangular bins and irregular bins. Irregular bins are convex and non-convex polygons, which may contain holes. The developed heuristics uses a mesh of points and the technique of no-fit polygon to avoid the overlapping of items and find feasible positions in rectangular or irregular bins. The computational experiments were performed for a large set of instances, using both rectangular and irregular bins. The results demonstrate the competitiveness of the method, which can get good results and some optimal solutions within an acceptable computational time.