Estudando o processo q q BARRA W Brown, Mikaelian, Sahdev, Samuel descobriram um zero na distribuição angular do W quando seu momento magnético tem o valor característico de uma partícula de gauge. Goebel, Halzen e Leveille mostraram que este zero é uma consequência da fatorização da amplitude em um termo que contém a dependência da carga ou outros índices de simetria interna, e outro que contém a dependência dos spins ou índices de polarização. Esta fatorização existe em geral para amplitudes de processos envolvendo quatro partículas na aproximação árvore, quando uma ou mais destas partículas é um campo de gauge. Portanto a existência de um zero na seção de choque é uma prova direta da estrutura de gauge da teoria. A fatorização baseia-se em uma identidade, identidade de Jacobi espacial generalizada, cuja demonstração ou significado físico ainda não fora elucidado. O objetivo do presente trabalho é estudar esta identidade de Jacobi espacial generalizada. Para tanto calculamos, no capítulo I, a amplitude de um processo de espalhamento gluon-gluon envolvendo cinco partículas e reorganizando esta amplitude por analogia com um processo de interação fóton-pion, mostramos que não existe, no caso de cinco partículas, a identidade de Jacobi espacial generalizada, mas sim uma série de identidades espaciais parciais, que se compõe, no processo de quatro partículas, em uma única identidade. No capítulo II estudamos um processo envolvendo quatro partículas, das quais três campos escalares, porém agora aproximação de um loop, e mostramos que também não existe identidade de Jacobi espacial generalizada. / Brown, Mikaelian, Sahdev, and Samuel discovered that the angular distribution of the process q q BARRA W in lowest order has a zero, if the magnetic moment f the W has the characteristic value of a gauge field. Goebel, Halzen and Leveille showed that this zero is a consequence of a factorizability of the amplitude into one factor which contains the dependence on the charge or other internal, symmetry indices, and another which contains the dependence on the spin or polarization indices. This factorization is found to hold for any four particle tree-approximation amplitude, when one or more of the four particles is a gauge-field. Therefore, the study of the angular distribution of the process q q BARRA W, directly probes the gauge structure of the theory. The factorization hinges on a spatial generalized Jacobi identity obeyed by the polarization-dependent factors of the vertices, whose physical significance or general demonstration was not known. The purpose of the present work is to study this identity. With this in mind we work out, in chapter I, the amplitude of a scattering gluon-gloun with five particles. Reorganizing this amplitude by analogy with an interaction process photon-pion, we show that does not exist, in this case, the spatial generalized Jacobi identity, but instead many spatial partial identities that compose themselves, in the case of a four particle process, in one single identity. In chapter II, we study a process with four particles, three of them scalar fields, but in the one loop approximation, and show that, in this case too, does not exist the spatial generalized Jacobi identity.

Estudando o processo q q BARRA W Brown, Mikaelian, Sahdev, Samuel descobriram um zero na distribuição angular do W quando seu momento magnético tem o valor característico de uma partícula de gauge. Goebel, Halzen e Leveille mostraram que este zero é uma consequência da fatorização da amplitude em um termo que contém a dependência da carga ou outros índices de simetria interna, e outro que contém a dependência dos spins ou índices de polarização. Esta fatorização existe em geral para amplitudes de processos envolvendo quatro partículas na aproximação árvore, quando uma ou mais destas partículas é um campo de gauge. Portanto a existência de um zero na seção de choque é uma prova direta da estrutura de gauge da teoria. A fatorização baseia-se em uma identidade, identidade de Jacobi espacial generalizada, cuja demonstração ou significado físico ainda não fora elucidado. O objetivo do presente trabalho é estudar esta identidade de Jacobi espacial generalizada. Para tanto calculamos, no capítulo I, a amplitude de um processo de espalhamento gluon-gluon envolvendo cinco partículas e reorganizando esta amplitude por analogia com um processo de interação fóton-pion, mostramos que não existe, no caso de cinco partículas, a identidade de Jacobi espacial generalizada, mas sim uma série de identidades espaciais parciais, que se compõe, no processo de quatro partículas, em uma única identidade. No capítulo II estudamos um processo envolvendo quatro partículas, das quais três campos escalares, porém agora aproximação de um loop, e mostramos que também não existe identidade de Jacobi espacial generalizada. / Brown, Mikaelian, Sahdev, and Samuel discovered that the angular distribution of the process q q BARRA W in lowest order has a zero, if the magnetic moment f the W has the characteristic value of a gauge field. Goebel, Halzen and Leveille showed that this zero is a consequence of a factorizability of the amplitude into one factor which contains the dependence on the charge or other internal, symmetry indices, and another which contains the dependence on the spin or polarization indices. This factorization is found to hold for any four particle tree-approximation amplitude, when one or more of the four particles is a gauge-field. Therefore, the study of the angular distribution of the process q q BARRA W, directly probes the gauge structure of the theory. The factorization hinges on a spatial generalized Jacobi identity obeyed by the polarization-dependent factors of the vertices, whose physical significance or general demonstration was not known. The purpose of the present work is to study this identity. With this in mind we work out, in chapter I, the amplitude of a scattering gluon-gloun with five particles. Reorganizing this amplitude by analogy with an interaction process photon-pion, we show that does not exist, in this case, the spatial generalized Jacobi identity, but instead many spatial partial identities that compose themselves, in the case of a four particle process, in one single identity. In chapter II, we study a process with four particles, three of them scalar fields, but in the one loop approximation, and show that, in this case too, does not exist the spatial generalized Jacobi identity.

Systems of quasilinear partial differential equations of the first order, known as hydrodynamic type systems, are one of the most important classes of nonlinear partial differential equations in the modern theory of integrable systems. They naturally arise in continuum mechanics and in a wide range of applications, both in pure and applied mathematics. Deep connections between the mathematical theory of hydrodynamic type systems with differential geometry, firstly revealed by Riemann in the nineteenth century, have been thoroughly investigated in the eighties by Dubrovin and Novikov. They introduced and studied a class of Poisson structures generated by a flat pseudo-Riemannian metric, called first-order Poisson brackets of hydrodynamic type. Subsequently, these structures have been generalised in a whole variety of different ways: degenerate, non-homogeneous, higher order, multi-dimensional, and non-local. The first part of this thesis is devoted to the classification of such structures in two dimensions, both non-degenerate and degenerate. Complete lists of such structures are provided for a small number of components, as well as partial results in the multi-component non-degenerate case. In the second part of the thesis we deal with deformations of Poisson structures of hydrodynamic type. The deformation theory of Poisson structures is of great interest in the theory of integrable systems, and also plays a key role in the theory of Frobenius manifolds. In particular, we investigate deformations of two classes of structures of hydrodynamic type: degenerate one-dimensional Poisson brackets and non-semisimple bi-Hamiltonian structures associated with Balinskii-Novikov algebras. Complete classification of second-order deformations are presented for two-component structures.