Dissertation (Ph.D.)--Auburn University, / Abstract. Vita. Includes bibliographic references (p.159-171).

Any natural surface is in essence non-smooth, consisting of more or less regular roughness and/or mobile structures of different scales. From a fluid mechanics point of view, these natural surfaces offer better aerodynamic performances when they cover moving bodies, in terms of drag reduction, lift enhancement or control of boundary layer separation; this has been shown for boundary layer or wake flows around thick bodies. The numerical simulation of microscopic flows around "natural" surfaces is still out of reach today. Therefore, the goal of this thesis is to study the modeling of the apparent flow slip occurring on this kind of surfaces, modeled as a porous medium, applying Whitaker's volume averaging theory. This mathematical model makes it possible to capture details of the microstructure while preserving a satisfactory description of the physical phenomena which occur. The first chapter of this manuscript provides an overview of previous efforts to model these surfaces, detailing the most important results from the literature. The second chapter presents the mathematical derivation of the volume-averaged Navier-Stokes equations (VANS) in a porous medium. In the third chapter the flow stability at the interface between a free fluid and a porous medium, formed by a series of rigid cylinders, is studied. The presence of this porous layer is treated by including a drag term in the fluid equations. It is shown that the presence of this term reduces the rates of amplification of the Kelvin-Helmholtz instability over the whole range of wavenumbers, thus leading to an increase of the wavelength of the most amplified mode. In this same context, the difference between the isotropic model and a tensorial approach for the drag term has been evaluated, to determine the most consistent approach to study these flow instabilities. This has led to the conclusion that the model that uses the apparent permeability tensor is the most relevant one. In the following chapter, based on this last result, the apparent permeability tensor, based on over one hundred direct numerical simulations carried out over microscopic unit cells, has been identified for a three-dimensional porous medium consisting of rigid cylinders. In these configurations the tensor varies according to four parameters: the Reynolds number, the porosity and the direction of the average pressure gradient, defined by two Euler angles. This parameterization makes it possible to capture local three-dimensional effects. This database has been set up to create, based on a kriging-type approach, a behavioral metamodel for estimating all the components of the apparent permeability tensor. In the fifth chapter, simulations of the VANS equations are carried out on a macroscopic scale after the implementation of the metamodel, to get reasonable computing times. The validation of the macroscopic approach is performed on a closed cavity flow covered with a porous layer and a comparison with the results of a very accurate DNS, homogenized a posteriori, has shown a very good agreement and has demonstrated the relevance of the approach. The next step has been the study of the passive control of the separation of the flow past a hump which is placed on a porous wall, by the same macroscopic VANS approach. Finally, general conclusions and possible directions of research in the field are presented in the last chapter.

Toute surface naturelle est par essence non lisse, elle est constituée de rugosités plus ou moins régulières et / ou de structures mobiles d’échelles variées. D’un point de vue mécanique des fluides, ces surfaces naturelles proposent des meilleures performances aérodynamiques en terme de réduction de traînée, d’augmentation de la portance ou de contrôle du décollement lorsqu’elles couvrent des corps en mouvement. Cela a été notament prouvé pour des écoulements de couches limites ou de sillage, autour de corps épais. La simulation numérique d’écoulements aux échelles microscopiques autour des surfaces « naturelles » demeure de nos jours encore hors de portée. En conséquence, la thèse a pour objet d’étudier la modélisation du glissement apparent de l’écoulement sur ce genre de surface, modélisée comme un milieu poreux, appliquant la théorie de la moyenne-volumique de Whitaker. Ce modèle mathématique permet globalement de représenter en moyenne les détails de la micro-structure de ses surfaces, tout en conservant une description satisfaisante des phénomènes physiques induits par l’écoulement. Le premier chapitre de ce manuscrit dresse un panorama des efforts antérieurs portant sur la modélisation de ces surfaces en précisant les résultats les plus importants issus de la littérature. Le deuxième chapitre présente la dérivation mathématique des équations de Navier- Stokes en moyenne volumique (VANS en anglais) dans un milieu poreux. Dans le troisième chapitre est étudiée la stabilité de l’écoulement à l’interface entre un fluide libre et un milieu poreux, constitué d'une série de cylindres rigides. La présence de cette couche poreuse est traitée par un terme de traînée dans les équations du fluide. On montre que l'ajout de ce terme réduit les taux d’amplification de l’instabilité de Kelvin-Helmholtz sur toute la gamme des nombre d’onde et ainsi augmente la longueur d’onde du mode le plus amplifié. Dans ce même contexte a été calculée la différence entre un modèle isotrope et une approche tensorielle pour le terme de traînée, afin de déterminer l’approche la plus consistante pour une étude de stabilité de ce type d’écoulement. Cela a mené à la conclusion que le modèle le plus pertinent est celui utilisant le tenseur de perméabilité apparent. Dans le chapitre suivant le tenseur de perméabilité apparent est identifié sur la base d’une centaine de simulations numériques directes, pour un milieu poreux tridimensionnel constitué de cylindres rigides, où le problème de fermeture est abordé par la méthode VANS. Dans ces configurations ce tenseur varie en fonction de quatre paramètres : le nombre de Reynolds, la porosité et l’orientation du gradient moyen de pression définie par deux angles d’Euler. Cette paramétrisation permet de capturer les effets tridimensionnels locaux. Cette base de données ainsi constituée a permis de créer, une approche de type kriging, un métamodèle comportemental pour estimer toutes les composantes du tenseur de perméabilité apparente. Dans le cinquième chapitre sont menées des simulations des équations VANS à l’échelle macroscopique après implémentation du méta-modèle qui autorise des temps de calcul raisonnables. La validation de l’approche à l’échelle macroscopique est effectuée sur un écoulement dans une cavité fermé couverte d’une couche poreuse et une comparaison avec les résultats d’un DNS très précise, homogénéisés a posteriori montre un très bon accord et démontre la pertinence de la démarche. L’étape suivante a consisté en l’étude du contrôle du décollement pour un écoulement autour d’une bosse poreuse par cette même approche VANS macroscopique. Enfin des conclusions générales et des directions de recherche possibles sont présentées dans le dernier chapitre. / Any natural surface is in essence non-smooth, consisting of more or less regular roughness and/or mobile structures of different scales. From a fluid mechanics point of view, these natural surfaces offer better aerodynamic performances when they cover moving bodies, in terms of drag reduction, lift enhancement or control of boundary layer separation; this has been shown for boundary layer or wake flows around thick bodies. The numerical simulation of microscopic flows around "natural" surfaces is still out of reach today. Therefore, the goal of this thesis is to study the modeling of the apparent flow slip occurring on this kind of surfaces, modeled as a porous medium, applying Whitaker's volume averaging theory. This mathematical model makes it possible to capture details of the microstructure while preserving a satisfactory description of the physical phenomena which occur. The first chapter of this manuscript provides an overview of previous efforts to model these surfaces, detailing the most important results from the literature. The second chapter presents the mathematical derivation of the volume-averaged Navier-Stokes equations (VANS) in a porous medium. In the third chapter the flow stability at the interface between a free fluid and a porous medium, formed by a series of rigid cylinders, is studied. The presence of this porous layer is treated by including a drag term in the fluid equations. It is shown that the presence of this term reduces the rates of amplification of the Kelvin-Helmholtz instability over the whole range of wavenumbers, thus leading to an increase of the wavelength of the most amplified mode. In this same context, the difference between the isotropic model and a tensorial approach for the drag term has been evaluated, to determine the most consistent approach to study these flow instabilities. This has led to the conclusion that the model that uses the apparent permeability tensor is the most relevant one. In the following chapter, based on this last result, the apparent permeability tensor, based on over one hundred direct numerical simulations carried out over microscopic unit cells, has been identified for a three-dimensional porous medium consisting of rigid cylinders. In these configurations the tensor varies according to four parameters: the Reynolds number, the porosity and the direction of the average pressure gradient, defined by two Euler angles. This parameterization makes it possible to capture local three-dimensional effects. This database has been set up to create, based on a kriging-type approach, a behavioral metamodel for estimating all the components of the apparent permeability tensor. In the fifth chapter, simulations of the VANS equations are carried out on a macroscopic scale after the implementation of the metamodel, to get reasonable computing times. The validation of the macroscopic approach is performed on a closed cavity flow covered with a porous layer and a comparison with the results of a very accurate DNS, homogenized a posteriori, has shown a very good agreement and has demonstrated the relevance of the approach. The next step has been the study of the passive control of the separation of the flow past a hump which is placed on a porous wall, by the same macroscopic VANS approach. Finally, general conclusions and possible directions of research in the field are presented in the last chapter.