L’objectif de cette thèse est d’obtenir des algorithmes sous linéaire permettant de répondre à des problèmes de décision dans les bases de données XML. Plus précisément, on s’inspire du property testing, pour décider approximativement si un arbre d’arité non bornée est valide par rapport à une DTD ; ou plus généralement si un tel arbre est reconnu par un automate d’arbre.Nous avons d’abord étudié le cas simple des mots, c’est-à-dire l’appartenance approchée d’un mot à un langage régulier défini par un automate non-déterministe. Sous la distance d’édition entres les mots, nous proposons un algorithme (ou tester) résolvant l’appartenance approchée en un temps polynomial : en la taille de l’automate aussi bien qu’en la précision (où le paramètre d’erreur). Nous avons aussi amélioré le précédent algorithme d’Alon, Krivelevich, Newman, et Szegedy, (2000) pour l’approximation de l’appartenance à un langage régulier modulo la distance de Hamming. Notre amélioration consiste à rendre cet algorithme polynomial en la taille de l’automate non-déterministe. Ensuite nous avons considéré l’appartenance approchée d’un arbre à un automate d’arbre sous la distance d’édition standard. Notre algorithme résout ce problème avec une complexité en temps exponentielle en la hauteur de l’arbre. Enfin nous avons considéré la validation approchée de DTD par rapport à la « strong edit distance » ; et nous obtenons dans ce cas un algorithme polynomial en la hauteur de l’arbre. Nous complétons nos résultats en prouvant une borne inférieure linéaire en la taille de l’arbre, pour la complexité de tout algorithme décidant l’appartenance approchée d’un arbre à une DTD, sous la strong edit distance. / Inspired by property testing, our objective is to obtain sublinear algorithms for deciding properties of XML databases approximatively. More precisely, we investigate the properties of whether an unranked tree is valid for a DTD, or more generally, whether it is recognized by a tree automaton. We start our studies by the simpler case of words and we considered the approximate membership problem for word non-deterministic automata. For this problem, we provide an efficient tester that runs in polynomial time in the size of the input automata and the error precision. We also improve the previous [Alon, Krivelevich, Newman, and Szegedy, 2000b] approximate membership tester for regular languages modulo the Hamming distance, so that it runs in polynomial time in the size of the input automata. Secondly, we study approximate membership testing for tree automata modulo the standard edit distance, and obtain a tester with run time exponential in the input tree depth. Next we consider approximate DTD validity modulo the strong edit distance. We then provide a tester that depends polynomially on the height of the tree. Finally, modulo the strong edit distance, we prove a linear lower bound on the depth of the input tree.

Cette thèse présente une étude dans divers domaines de l'informatique théorique de modèles de calculs combinant automates finis et contraintes arithmétiques. Nous nous intéressons aux questions de décidabilité, d'expressivité et de clôture, tout en ouvrant l'étude à la complexité, la logique, l'algèbre et aux applications. Cette étude est présentée au travers de quatre articles de recherche. Le premier article, Affine Parikh Automata, poursuit l'étude de Klaedtke et Ruess des automates de Parikh et en définit des généralisations et restrictions. L'automate de Parikh est un point de départ de cette thèse; nous montrons que ce modèle de calcul est équivalent à l'automate contraint que nous définissons comme un automate qui n'accepte un mot que si le nombre de fois que chaque transition est empruntée répond à une contrainte arithmétique. Ce modèle est naturellement étendu à l'automate de Parikh affine qui effectue une opération affine sur un ensemble de registres lors du franchissement d'une transition. Nous étudions aussi l'automate de Parikh sur lettres: un automate qui n'accepte un mot que si le nombre de fois que chaque lettre y apparaît répond à une contrainte arithmétique. Le deuxième article, Bounded Parikh Automata, étudie les langages bornés des automates de Parikh. Un langage est borné s'il existe des mots w_1, w_2, ..., w_k tels que chaque mot du langage peut s'écrire w_1...w_1w_2...w_2...w_k...w_k. Ces langages sont importants dans des domaines applicatifs et présentent usuellement de bonnes propriétés théoriques. Nous montrons que dans le contexte des langages bornés, le déterminisme n'influence pas l'expressivité des automates de Parikh. Le troisième article, Unambiguous Constrained Automata, introduit les automates contraints non ambigus, c'est-à-dire pour lesquels il n'existe qu'un chemin acceptant par mot reconnu par l'automate. Nous montrons qu'il s'agit d'un modèle combinant une meilleure expressivité et de meilleures propriétés de clôture que l'automate contraint déterministe. Le problème de déterminer si le langage d'un automate contraint non ambigu est régulier est montré décidable. Le quatrième article, Algebra and Complexity Meet Contrained Automata, présente une étude des représentations algébriques qu'admettent les automates contraints et les automates de Parikh affines. Nous déduisons de ces caractérisations des résultats d'expressivité et de complexité. Nous montrons aussi que certaines hypothèses classiques en complexité computationelle sont reliées à des résultats de séparation et de non clôture dans les automates de Parikh affines. La thèse est conclue par une ouverture à un possible approfondissement, au travers d'un certain nombre de problèmes ouverts. / This thesis presents a study from the theoretical computer science perspective of computing models combining finite automata and arithmetic constraints. We focus on decidability questions, expressiveness, and closure properties, while opening the study to complexity, logic, algebra, and applications. This thesis is presented through four research articles. The first article, Affine Parikh Automata, continues the study of Klaedtke and Ruess on Parikh automata and defines generalizations and restrictions of this model. The Parikh automaton is one of the starting points of this thesis. We show that this model of computation is equivalent to the constrained automaton that we define as an automaton which accepts a word only if the number of times each transition is taken satisfies a given arithmetic constraint. This model is naturally extended to affine Parikh automata, in which an affine transformation is applied to a set of registers on taking a transition. We also study the Parikh automaton on letters, that is, an automaton which accepts a word only if the number of times each letter appears in the word verifies an arithmetic constraint. The second article, Bounded Parikh Automata, focuses on the bounded languages of Parikh automata. A language is bounded if there are words w_1, w_2, ..., w_k such that every word in the language can be written as w_1...w_1w_2...w_2 ... w_k...w_k. These languages are important in applications and usually display good theoretical properties. We show that, over the bounded languages, determinism does not influence the expressiveness of Parikh automata. The third article, Unambiguous Constrained Automata, introduces the concept of unambiguity in constrained automata. An automaton is unambiguous if there is only one accepting path per word of its language. We show that the unambiguous constrained automaton is an appealing model of computation which combines a better expressiveness and better closure properties than the deterministic constrained automaton. We show that it is decidable whether the language of an unambiguous constrained automaton is regular. The fourth article, Algebra and Complexity Meet Constrained Automata, presents a study of algebraic representations of constrained automata and affine Parikh automata. We deduce expressiveness and complexity results from these characterizations. We also study how classical computational complexity hypotheses help in showing separations and nonclosure properties in affine Parikh automata. The thesis is concluded by a presentation of possible future avenues of research, through several open problems.

Le problème de séparation pour une classe de langages S est le suivant : étant donnés deux langages L1 et L2, existe-t-il un langage appartenant à S qui contient L1, en étant disjoint de L2 ? Si les langages à séparer sont des langages réguliers, le problème de séparation pour la classe S est plus général que le problème de l'appartenance à cette classe, et nous fournit des informations plus détaillées sur la classe. Ce problème de séparation apparaît dans un contexte algébrique sous la forme des parties ponctuelles, et dans un contexte profini sous la forme d'un problème de séparation topologique. Pour quelques classes de langages spécifiques, ce problème a été étudié en utilisant des méthodes profondes de la théorie des semigroupes profinis.Dans cette thèse, on s'intéresse, dans un premier temps, à la décidabilité de ce problème pour plusieurs sous-classes des langages réguliers. Dans un second temps, on s'intéresse à obtenir un langage séparateur, s'il existe, ainsi qu'à la complexité de ces problèmes.Nous établissons une approche générique pour prouver que le problème de séparation est décidable pour une classe de langages donnée. En utilisant cette approche, nous obtenons la décidabilité du problème de séparation pour les langages testables par morceaux, les langages non-ambigus, les langages localement testables, et les langages localement testables à seuil. Ces classes correspondent à des fragments de la logique du premier ordre, et sont parmi lesclasses de langages réguliers les plus étudiées. De plus, cette approche donne une description d'un langage séparateur, pourvu qu'il existe. / The separation problem, for a class S of languages, is the following: given two input languages, does there exist a language in S that contains the first language and that is disjoint from the second langage ?For regular input languages, the separation problem for a class S subsumes the classical membership problem for this class, and provides more detailed information about the class. This separation problem first emerged in an algebraic context in the form of pointlike sets, and in a profinite context as a topological separation problem. These problems have been studied for specific classes of languages, using involved techniques from the theory of profinite semigroups.In this thesis, we are not only interested in showing the decidability of the separation problem for several subclasses of the regular languages, but also in constructing a separating language, if it exists, and in the complexity of these problems.We provide a generic approach, based on combinatorial arguments, to proving the decidability of this problem for a given class. Using this approach, we prove that the separation problem is decidable for the classes of piecewise testable languages, unambiguous languages, and locally (threshold) testable languages. These classes are defined by different fragments of first-order logic, and are among the most studied classes of regular languages. Furthermore, our approach yields a description of a separating language, in case it exists.

Cette thèse présente une étude dans divers domaines de l'informatique théorique de modèles de calculs combinant automates finis et contraintes arithmétiques. Nous nous intéressons aux questions de décidabilité, d'expressivité et de clôture, tout en ouvrant l'étude à la complexité, la logique, l'algèbre et aux applications. Cette étude est présentée au travers de quatre articles de recherche. Le premier article, Affine Parikh Automata, poursuit l'étude de Klaedtke et Ruess des automates de Parikh et en définit des généralisations et restrictions. L'automate de Parikh est un point de départ de cette thèse; nous montrons que ce modèle de calcul est équivalent à l'automate contraint que nous définissons comme un automate qui n'accepte un mot que si le nombre de fois que chaque transition est empruntée répond à une contrainte arithmétique. Ce modèle est naturellement étendu à l'automate de Parikh affine qui effectue une opération affine sur un ensemble de registres lors du franchissement d'une transition. Nous étudions aussi l'automate de Parikh sur lettres: un automate qui n'accepte un mot que si le nombre de fois que chaque lettre y apparaît répond à une contrainte arithmétique. Le deuxième article, Bounded Parikh Automata, étudie les langages bornés des automates de Parikh. Un langage est borné s'il existe des mots w_1, w_2, ..., w_k tels que chaque mot du langage peut s'écrire w_1...w_1w_2...w_2...w_k...w_k. Ces langages sont importants dans des domaines applicatifs et présentent usuellement de bonnes propriétés théoriques. Nous montrons que dans le contexte des langages bornés, le déterminisme n'influence pas l'expressivité des automates de Parikh. Le troisième article, Unambiguous Constrained Automata, introduit les automates contraints non ambigus, c'est-à-dire pour lesquels il n'existe qu'un chemin acceptant par mot reconnu par l'automate. Nous montrons qu'il s'agit d'un modèle combinant une meilleure expressivité et de meilleures propriétés de clôture que l'automate contraint déterministe. Le problème de déterminer si le langage d'un automate contraint non ambigu est régulier est montré décidable. Le quatrième article, Algebra and Complexity Meet Contrained Automata, présente une étude des représentations algébriques qu'admettent les automates contraints et les automates de Parikh affines. Nous déduisons de ces caractérisations des résultats d'expressivité et de complexité. Nous montrons aussi que certaines hypothèses classiques en complexité computationelle sont reliées à des résultats de séparation et de non clôture dans les automates de Parikh affines. La thèse est conclue par une ouverture à un possible approfondissement, au travers d'un certain nombre de problèmes ouverts. / This thesis presents a study from the theoretical computer science perspective of computing models combining finite automata and arithmetic constraints. We focus on decidability questions, expressiveness, and closure properties, while opening the study to complexity, logic, algebra, and applications. This thesis is presented through four research articles. The first article, Affine Parikh Automata, continues the study of Klaedtke and Ruess on Parikh automata and defines generalizations and restrictions of this model. The Parikh automaton is one of the starting points of this thesis. We show that this model of computation is equivalent to the constrained automaton that we define as an automaton which accepts a word only if the number of times each transition is taken satisfies a given arithmetic constraint. This model is naturally extended to affine Parikh automata, in which an affine transformation is applied to a set of registers on taking a transition. We also study the Parikh automaton on letters, that is, an automaton which accepts a word only if the number of times each letter appears in the word verifies an arithmetic constraint. The second article, Bounded Parikh Automata, focuses on the bounded languages of Parikh automata. A language is bounded if there are words w_1, w_2, ..., w_k such that every word in the language can be written as w_1...w_1w_2...w_2 ... w_k...w_k. These languages are important in applications and usually display good theoretical properties. We show that, over the bounded languages, determinism does not influence the expressiveness of Parikh automata. The third article, Unambiguous Constrained Automata, introduces the concept of unambiguity in constrained automata. An automaton is unambiguous if there is only one accepting path per word of its language. We show that the unambiguous constrained automaton is an appealing model of computation which combines a better expressiveness and better closure properties than the deterministic constrained automaton. We show that it is decidable whether the language of an unambiguous constrained automaton is regular. The fourth article, Algebra and Complexity Meet Constrained Automata, presents a study of algebraic representations of constrained automata and affine Parikh automata. We deduce expressiveness and complexity results from these characterizations. We also study how classical computational complexity hypotheses help in showing separations and nonclosure properties in affine Parikh automata. The thesis is concluded by a presentation of possible future avenues of research, through several open problems.