The purpose of the thesis is to investigate an approach to Lebesgue-Stieltjes measure and integration.

It is the purpose of this paper to define a Lebesgue integral over a measurable set, the integration being performed with respect to a monotone non-decreasing function as in the Stieltjes integral, and to develop a few of the fundamental properties of such an integral.

Hattendorff's theorem on the zero means and uncorrelatedness of losses in disjoint time periods on a life insurance policy is derived for payment streams, discount functions and time periods that are all stochastic. Thiele's differential equation, describing the development of life insurance policy reserves over the contract period, is derived for stochastic payment streams generated by point processes with intensities. The development follows that by Norberg. In pursuit of these aims, the basic properties of Lebesgue-Stieltjes integration are spelled out in detail. An axiomatic approach to the discounting of payment streams is presented, and a characterization in terms of the integral of a discount function is derived, again following the development by Norberg. The required concepts and tools from the theory of continuous time stochastic processes, in particular point processes, are surveyed. / Dissertation (MSc (Actuarial Science))--University of Pretoria, 2007. / Insurance and Actuarial Science / unrestricted

La méthode des régions-solutions a été développée par Frigon [7] en 2018 pour montrer l'existence de solutions à des équations différentielles ordinaires de premier ordre, dont le graphe d'une solution se trouve à l'intérieur d'une région-solution \(R \subset [0, T] \times \mathbb{R}^{N}\). Cette méthode est en particulier une généralisation des sous et sur-solutions et des tubes-solutions. On présente cette méthode et certains résultats d'existence qui en découlent. D'autre part, la dérivée de Stieltjes, communément appelée \(g\)-dérivée, est le fruit du travail de Pouso et Rodríguez [20] en 2014, permettant l'unification des équations différentielles classiques, des équations aux échelles de temps et des équations différentielles avec impulsions. Elle est en particulier liée au théorème fondamental du calcul pour l'intégrale de Lebesgue-Stieltjes. On présente la base de cette théorie dans un premier temps, puis la façon dont cette \(g\)-dérivée généralise d'autres types d'équations différentielles ou aux échelles de temps. On introduit en particulier la notion de \((g \times I_{\mathbb{R}^{N}})\)-différentiabilité et des résultats qui découlent de cette définition. On présente de plus une fonction exponentielle qui permet de résoudre les équations différentielles de Stieltjes linéaires, introduite par Frigon et Pouso [8]. Le but de ce mémoire est de généraliser la méthode des régions-solutions, dont la généralisation s'appellera \(g\)-région-solution, afin de montrer l'existence de solutions aux équations différentielles de Stieltjes. On présente plusieurs exemples de \(g\)-régions admissibles et de \(g\)-régions-solutions, puis des théorèmes d'existence se basant sur cette méthode. On donne de plus des exemples où on applique ces théorèmes. On termine ce mémoire en présentant deux applications des théorèmes d'existence à l'évolution d'une population de cerfs de Virginie ainsi qu'à l'évolution de la tension générée par une diode à effet tunnel résonnant (DTR) dirigée vers une diode laser (DL). / The method of solution-regions has been developed by Frigon [7] in 2018 to show the existence of solutions for first-order ordinary differential equations, where the graph of a solution is inside a solution-region \(R \subset [0, T] \times \mathbb{R}^{N}\). This method is in particular a generalization of the lower and upper solutions and of the solution-tubes. We show this method and some existence results which follow. On the other hand, the Stieltjes derivative, more commonly called \(g\)-derivative, is the fruit of the work of Pouso and Rodríguez [20] in 2014, which unifies classic differential equations, equations on time scales and differential equations with impulses. In particular, it leads to the fundamental theorem of calculus for the Lebesgue-Stieltjes integral. We start by showing the basis of this theory, and then the way this \(g\)-derivative generalizes other types of differential or time scale equations. We introduce in particular the \((g \times I_{\mathbb{R}^{N}})\)-differentiability and results that follow from this definition. Furthermore, we present an exponential function which solves linear Stieltjes differential equations. The goal of this thesis is to generalize the method of solution-regions, where the generalization will be called \(g\)-solution-region, to show the existence of solutions for Stieltjes differential equations. We present multiple examples of \(g\)-admissible regions and \(g\)-solution-regions, then we establish existence theorems based on this method. We also show examples where we apply these theorems. Finally, we end this thesis by showing two applications of the existence theorems to the evolution of a population of white-tailed deer and to the evolution of the voltage generated by a resonant tunneling diode (RTD) to a laser diode (LD).